|
| |
|
Слаботочка Книги Решение. Модель приближенно относится к случаю с Я, = const, р = const (случай 1 в табл. 31.2). По табл. 31.2 определим параметры pi, и az- Pi = 950-10-3 0,95; = 0,051; у = 0,07; 0,= Z-IO*. -(О.ОТ-0,061)» 1,02. 1 +0,95 С помощью табл. 31.1 по известным % и (% 2,5; = I) находим К = 0,939 (интерполяция по а). Если система отключается при наступлении ее отказа, то имеем: У2 = 0,052; = = 0,001; ai = 2,56; « 2-10« bl 0,001 » 0,05. 1+0,950 По табл. 31.1 находим К ~ 0,995. 31.3. МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИИ Для определения начальных моментов распределения наработки до отказа необходимо рассмотреть обратные уравнения процесса «гибели и размножения». Непрерьшным аналогом для данной системы уравнений является обратное уравнение Колмогорова р{х, y,t)=a(x)- р{х, y,t)+b(x)- p(x,y,t), (31.8) dt дх " дх а {х) = -[р (х) - К (х)] n-i, b (х) = [р (X) + % {х)\ [УЪг]-, где р (х, у, t) - вероятность нахождения процесса в точке у < в момент времени t при начальном положении х при / = 0. Таким образом, в обратном травнении (31.8) координата начального положения х - переменная, у-фиксированная величина. При у = Ух р(х, у, t) = f {х, f) - плотность распределения наработки до отказа системы с начальным положением х. Граничные и начальные условия для / (х, t) имеют вид: /(X, 0) = 0; /(f/i, {) = О, х<ух, д Пусть lUs (х) = J tf (х, t) dt - начальный момент s-ro порядка для наработ- ки до отказа системы. Применив к (31.8) преобразование Меллина М {/ (0} = j -7 (О dt =/* (S) = /п, х, > получим для целых s = 1, 2, ... b (х) ~ т, (х) + а (X) т, (х) -= -sm, i (х), тАудО, -mAx)U=o=0. (31.9) В данном случае обратный переход к оригиналу не нужен, так как имеет физический смысл само преобразование Меллина функции / (х, f). Решение для (х) в рекуррентной форме есть т,(х)=екр J3(x)dx Ksfc(x)-i/n, , (х)ехр -Cp(2)dz * Lo J lo L 0 . {x) = -a (x) b Для моментов nis (x) времени восстановления имеем J exp Jsfc(x)-im3 i(jt;)exp -(2)2 rfy, (31.10) vt-n- Lo J li- 0<yi<X<i/2<l. L 0 dx dy, (31.11) В частности, при s = \ vi x = y-- nr из (31.10) получаем формулу для наработки на отказ: То п-ехр Jp(x)dx р(л:)-1ехр -l{z)dz -О Jo L о Аналогично из (31.11) при s = 1 и х = г/ находим выражение для среднего времени восстановления: т л; ехр При Я, = const и р = const имеем: 1 4-2 X J3(x)dx J6(x)-iexp - Jp(z)dz г ехр[Ы -I. ехр[ -р(г-t/i)] /о----7-, Т ----. [x - л [x-л Во избежание утомительного интегрирования в (31.10) и (31.11) в случае переменных ft (у) и Я {у) можно пользоваться формулой То\1 {уд~ п-к Шу, = 1 + п-)]-\ где К iyi\yz = Ух + п-) - значение К Ш при = г/i + п~\ для определения которого используются табл. 31.1 и 31.2. 31.4. ВЕРОЯТНОСТЬ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ Рассмотрим обратное уравнение при постоянных значениях коэффициентов а и b --q (X, Уг, о "l q yi,)+b-Q (х, Ух, о, (31.12) где Q (х, Ух, - вероятность перехода системы за время не более t в поглощающее состояние Ух, т. е. Q (х, у, t) - вероятность отказа системы за время t. Применяя к (31.12) преобразование Лапласа и учитывая начальные и граничные условия Q (х. Ух, 0) = 0; Q (Ух, ух, f)=l, х<:уг, приходим к решению в изображениях 0*(Х и -1 IPI - Рг ехр [Ml 1 Piexp[p2«/i]-p2exp[Pij/J • о а , ( I S \1/2 (31.13) Для высоконадежных систем или систем кратковременного действия при Р (х, Ух, t) = 1 - Q (х. Ух, t), близких к единице, имеем (для больших s) Из (31.13) вытекает Р* (х. Ух, S) л? S- 1 -ехр (У1--») -У.(У.-Х) (31.14) Обратный переход к оригиналу в (31.14) дает Р (х. Ух, t) 1 -ехр (У1-х) 1 -Ф К V2bt)\ где Ф (г) = 1/2й1 е 2 dx - нормальная функция распределения. При X = О имеем решение для Р (О, Ух, t) при полностью исправном начальном состоянии. При X = ух~ п- р(ух - п-. Ух, t) соответствует случаю неисправных резервных элементов в начальный момент времени. 31.5. НЕМАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ НАДЕЖНОСТИ Предварительно рассмотрим модель с эрланговским временем восстановления с г фазами и параметром р. Наработка между отказами распределена экспоненциально с параметром X (у). Введением промежуточных состояний, соответствующих моментам окончания фаз восстановления, система сводится к марковской модели. Обозначив р = рг-1, приходим к уравнениям Колмогорова с коэффициентами: «(у) = - [р - > (У)Ь b (У) = (\2)- [рг-1 + I (у)]. (31.15) Формулы (31.15) при г - 1 совпадают с результатами, полученными для чисто марковских моделей, а при г = оо дают предельный вариант с постоянным временем восстановления: а{у) = - [р - X (у)]; b (у) = (У2п)- I (у). (31.16) Для оценок можно использовать табл. 81.1. Для перехода к моделям с произвольным распределением времени восстановления воспользуемся известным результатом, что непрерывная положительная случайная величина с плотностью р(х) представима гиперэрланговским распределением вида pix) = -Pem-li]f~ (31.17) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 [173] 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |