|
| |
|
Слаботочка Книги при флюктуации в струне силы натяжения определяются законом Р = Р - - Рх cos Qt. Решение можно искать в виде и = и (t) sin (ях ) (если = О и V = 0). Для колебаний струны получим уравнение Матье (рис. 36.10) {а-2b COS 2т)ы = 0, где а = AnPjQfisP-., b = 2kPj/0PsZ, области устойчивости которого хорошо изучены в литературе.  Рис. 36.10. Области устойчивости (заштрихованы) уравнения Матье В ряде случаев, когда лента выполнена из полимерных материалов, которые вместо закона Гука подчиняются закону а = £ П + т] - лебаний можно использовать уравнение е, для продольных ко- ди с /, , д \ df \ dt (36.11) При и (х, t) = и (t) sin {лх/l) (36.11) приводится к виду Т]Ы + со ы = 0. Это уравнение заменой и = v приводится к стандартному виду dv au-\-bv cu-\-dv (36.12) Для рассматриваемого случая следует положить: а = -со; b = - £л2 с = 0; d = 1. Уравнение (36.12), связывающее и и v, можно проинтегрировать и получить фазовые кривые. Семейство фазовых кривых окружает особую точку (и = О, V = 0), являющуюся равновесной. Вид интегральных кривых, классификация которых представлена в табл. 36.3, и определяет тип особой точки и ее устойчивость, т. е. устойчивость равновесного положения. В равновесной точке с координатами х, г/о, где F (х, у) = О, Q (х, у) = О, справедливо представление (36.12) для любого нелинейного уравнения, приведенного к виду: dy Fix, у) дх Q(x,y) ; a = Fx{Xo, Уо); b = Fy{Xo, уо); c = Q{Xo, у); d = Qy {х, у). Лента устойчива, если параметр т] > 0. К задачам устойчивости относят и статистический анализ нелинейных систем на основе кинетических уравнений. Для систем с несколькими положениями устойчивого равновесия отказ обычно рассматривается как переброс системы через потенциальный барьер. Условие классификации Тип особой точки Условие неустойчивости Фазовый портрет для уравнения возле особой точки (0,0) (6 C)-f 4od>0 Узел ad-bc<iO b + oO Седло ad-boo ad -boo  
(fc-c)2+4cd<0 Центр b+cO Устойчива Фокус b + сфО h f oO  (6 c)2-i-4Hrf=0 Узел ft-f c>0  Пусть уравнение записывается для фазовых координат Xj в виде dxj dt Здесь »]); - случайные возмущения, вызванные механическим воздействием. При выполнении условия М (41),} - 0; М (4)} = (Xl, .... Хп)б (4 - t) переходная функция марковского процесса может быть найдена из уравнения др "V а г. , 1 V 2 йхг 2 dxidxk пример Ж,8. Рассмотрим электронный прибор, электрический параметр п которого ©яисывается уравнением где R, С S- электрические параметры; i = ф («) вольт-амперная характеристика прибора в цепи схемы (рис. 36.11). П-рибор имеет три состояния равновесия, ксуторые определяются из условия е - /?ф (ы) - ы = 0..Требуется определить показатели безотказности.  Рис. 36.11. Характеристика прибора с тремя положениями равновесия Решен и е. Под воздействием вибраций состояния могут случайным об-1разом меняться. Кинетическое уравнение для прибора др dt е-/?ф (и)-и 2 ди Это. уравнение можно проинтегрировать для стационарных состояний р G ехр J QC где G - константа. По площади интегралов слева и справа от точки неустойчивого равновесия (среднее из трех решений) можно оценить относительную частоту пребывания системы в неработоспособном состоянии.  Рис. 36,12. Фазовый портрет нелинейной перио.чической системы с затуханием Пример 36.9. Некоторые устройства электроники и автоматики подчиняются следующему нелинейному уравнению движения: - sinnu == -~v. где F - максимальная сила взаимодействия электродов прибора. Отказ прибора рассматривается как неуправляемый переброс через потенциальный барьер, вызванный возмущением v. Требуется определ.ить вероятность безотказной работы. Решение. Кратковременный импульс силы (ударное воздействие) может вызвать переброс (см. рис. 36,12) ири критическом значении скорости = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 [189] 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |