Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 [191] 192 193 194 195 196 197 198 199

п - 1 п п - 2 п - 1

, = 1 i = i/ = ,+ l /=1 / = i4-lft=/+l

\j = i /

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Используя следствие 3 для независимых (в совокупности) событий, теорему умножения вероятностей можно записать в виде . /

\г=1 / г=1

P(Ai).

Следствия. 1. Для несовместных случайных событий и А

Р (A,A) = Р {е) = 0.

2. Независимые случайные события А, и А всегда совместны, так как

Р {АхАА) > Р {Ах) Р (Ла) > О,

если Ах или Лг не являются невозможными событиями.

Теорема сложения для совместных случайных событий. Для совместных событий Л и Л 2 можно записать

Р (Ах\/А) = Р {А,)+Р (А)-Р (Ах/\А).

Для и совместных случайных событий Л, А,..., An

(„ \ п п-1 п п-2 п-1 п

иг =23ИО- 23 23 PiAiAAj)+- 2 23 ИгЛЛлЛ)-i=i I £=1 г=1 ;=i+i i=i fe=/+i

,. / « \

ЫТИЙ из выраже!

(i/)--(J/)

и ==1-П (I-P(O). \( = i / i=i

-••+(-!)

Для независимых (в совокупности) событий из выражения Р

получаем

Формула полной вероятности. Если событие Лц может осуществиться лишь при условии, что произошло какое-нибудь событие Л из числа несовместных событий Л, А,..., Л„, то вероятность события Р (Ло) может быть вычислена по формуле

Действительно,

Р(Ло)= P(Ai)P(A\At).

£=1

( " \

Р (Ло) = Р и (Л„лЛ-) = 2 Р (AohAi), \.-=1 / 1 = 1

причем

Р {AohAi)=--P (Ai)P (A\Ai).

откуда и следует требуемый результат.

Формула вероятностей гипотез (формула Байеса). Несовместные события Л, А, Л„, при которых только и может наступить событие Aq, называют гипотезами относительно Лр.

Вероятность Р (Ai) осуществления гипотезы Ai, вычисленная безотносительно к событию Л о, называется априорной вероятностью.

Условная вероятность гипотезы At, вычисленная в предположении, что событие А „ имело место, называется апостериорной вероятностью и определяется по формуле

p.л>л P{At)P{A„\At) P{At)P(Ao\At) P(At\A,)- р

;P{At)P{Ao\Ai)

П1.3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Случайная величина - величина, значение которой может случайным образом меняться от опыта к опыту.

Детерминированная величина - неслучайная величина.

Дискретная случайная величина - случайная величина, которая может принимать только конечное или счетное множество значений.

Непрерывная случайная величина - случайная величина, которая может принимать любые значения из замкнутого нли открытого (возможно, бесконечного) интервала.

Функция (интегральная функция) распределения случайной величины - вероятность события I где x - переменная величина:

F (X) Р{1 X}. Следствия. 1. Из определения функции распределения следует: f ( оо) = 0; £(+«.)= 1; О < f (jcX 1.

2. Из определения функции распределения следует

P{xi<lx}- F (х) - F (х{).

Плотность распределения случайной величины (дифференциальная функция распределения, плотность вероятности) - предел отношения вероятности того, что случайная величина I при испытании примет значение, лежащее в интервале [х, х + Ах], к величине интервала Д X, когда Ах -j- 0:

f,s ,• F(x+Ax)-F(x) d

f (x) = \im---F (x)-F X.

длг->о Ax dx

Плотность распределения имеет следующие очевидные свойства:

+ 00

f (х)0 для всех значений х; .f / (х) dx = 1.

.- оо

3. Из определения плотности распределения следует

F(x)= f f(x)dx--- f dF(x).

- oo -oo

4- Из предыдущего следствия получаем

b ft

P(a<xb) = F(b)-P (a) f (x) dx=. dF (x).

Условной плотностью распределения случайной величины в точке х будем называть плотность распределения, вычисленную при условии, что случайная величина больше, чем X - Ах, при Ах 0;

Я (х) -/ (X)/ и -Р (X)].

Заметим, что могут быть определены условные плотности распределения и для других условий, однако в теории надежности наиболее важна именно данная условная плотность.

П1.4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины определяется следующим образом:

для дискретных случайных величин

fMl)=XiP{x==Xi); I

для непрерывных случайных величин . . .

-j-oo -j-oo

M(g)= J xf(x)dx= J xdFix),

- oo -oo

причем для неотрицательных непрерывных случайных величин

M{l) = Jll-F{x)]dx=Jp{x)dx.

Математическое ожидание является начальным моментом первого порядка для распределения F (х). Начальный момент п-го порядка для случайной величины

Мп()= ] xdF(x).

- оо

в тексте Mg) обозначается просто М ().

Из определения математического ожидания следует:

1) если с - некоторая константа, то

М (cl) = сМЦ);

I "

2) М

\i=\

3) M(c+) = c-i-M{g);

4) для произведения независимых случайных величин

п \ п «=1 / i=\

(п \

i=\ I

= П M{ii)-

Дисперсия случайной величины - характеристика разброса случайной величины \, определяемая по формулам

D (I) = М (I - М (x)f = М (2) (М (х))2. Удобно записывать D () в обобщенной форме:

; • • D()= J (л;-M(x)f df (x).

Дисперсия является центральным моментом второго порядка для распределения F (л:) Центральный момент п-го порядка случайной величины

D„()= j" U--MWf (л).

- oo

в тексте Dj () обозначается просто D (g). Из определения дисперсии следует:

1) D (с) = 0;

2) D (сх) = cD (х);

3) D (с+ = D (х);

4) для суммы независимых случайных величин

(п \ п

t = l / г = 1

Начальные и центральные моменты распределения первых порядков связаны между собой следующими соотношениями:

Da = - М2;

D.4 = - 3 MjMj -f 2 Mf;

D4 = - 4 MgMj + 6 M2M2 - 3 Mf.

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение - величина, определяемая по формуле

а = 1/Щ1Г.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 [191] 192 193 194 195 196 197 198 199