Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 [193] 194 195 196 197 198 199

Теорема Чебышева. Если в п независимых опытах получены реализации Ъ,,, Ъ,,..., г,, случайной величины , то при и ->-оо среднее арифметическое сходится по вероятности к математическому ожиданию этой случайной величины, т. е. при любом

\\тР

П-*!х>

-2.-м()

= 0.

Обобщенная теорема Чебышева. Если <), (),...,(") - независимые случайные величины с математическими ожиданиями соответственно МЮ, М(),...,М(") и ограниченными дисперсиями D(i), D(2), D("), то при п-оо среднее арифметическое наблюденных значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, т. е. при любом е > О

П->оо

= 0.

Теорема Маркова. Результат обобщенной теоремы Чебышева справедлив и для зависимых случайных величин, если выполняется условие

П-*оо

= 0.

Центральная предельная теорема. Если j, I2,..., In - независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие математическое ожидание М и дисперсию а, то при

п->оо распределение нормированной случайной величины = 2 1г сходится к нормальному

limPJa< <ь\ = ~ Ге-/2л=Ф(6)-Ф(а).

Теорема Лапласа. Если проводится и независимых опытов, в каждом из которых некоторое событие осуществляется с вероятностью р, то

ПшР{а<-Б

<Ь] = Ф{Ь)-Ф{а),

где Vji - число появлений интересующего события в п опытах.

П1.7. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О СЛУЧАЙНЫХ ПОТОКАХ

П1.7.1. Определения. Потоком однородных событий называется случайный процесс, образованный совокупностью случайных моментов t,, 4, tk, th+г, • появления этих событий, где ы-1> fe, й>1.

В теории надежности обычно исследуются потоки двух видов: поток моментов отказов (устройства) и моментов окончания ремонтов (отказавшего устройства).

В общем случае для задания потока необходимо задать для каждого п > 1 распределение случайного вектора (z, Za,..., z„), где

2k=tk-tk-i< й>1, 0=0.

Если случайные величины z, Z2,...,z„ независимы в совокупности, то соответствующий поток называется потоком с ограниченным последействием. Для задания такого потока, очевидно, достаточно задать набор функций распределения

Fk{t)P{Zk<t), k>\.

Поток с ограниченным последействием, для которого

fa (О = f3 (О = ... = £ (О,

называется рекуррентным потоком с запаздыванием, определяемым функциями распределения Fl (t) и F (f).

Рекуррентный поток с запаздыванием, для которого Fi (t) также равно F (t), называется просто рекуррентным потоком. В этом случае F (f) - функция распределения длины промежутка между любыми двумя последовательными моментами наступления событий.

Рекуррентный поток, для которого

f(0 = l-е""", а>0,

называется пуассоновским потоком, при этом а (среднее число событий, наступающих в единицу времени) есть интенсивность пуассоновского потока. Для пуассоновского потока вероятность pjj (/q, t), ft О, наступления ровно ft событий в промежутке (о. о + 1)

и не зависит от to, т. е. в пуассоновском потоке время ожидания наступления нового события не зависит от того, сколько прошло времени после последнего наступления события; это свойство называется отсутстеием последействия.

Для пуассоновского потока математическое ожидание случайного числа т] (t) событий, наступивших за время /,

Мп(0= 2 kpk(t)=at. &=о

Пуассоновский поток можно также определить тремя характеристическими свойствами, которые, являясь в известном смысле качественными, приводят к строгому определению, данному выше. Эти характеристические свойства следующие:

свойство стационарности, которое означает, что вероятностные характеристики потока для любого интервала времени зависят только от протяженности этого интервала, но не зависят от момента, когда он начинается;

свойство ординарности, которое означает, что в бесконечно малом интервале времени вероятность появления более чем одного события есть величина большего порядка малости, чем вероятность появления ровно одного события;

свойство отсутствия последействия, которое означает, что вероятность появления события в потоке, начиная с некоторого произвольного момента времени, не зависит от всей предшествующей реализации этого потока.

Для того чтобы поток событий был стационарным ординарным потоком с отсутствием последействия, необходимо и достаточно, чтобы он был пуассоновским.

Стационарный ординарный поток с ограниченным последействием называется потоком Пальма. Поток однородных событий является потоком Пальма, если это есть рекуррентный поток с запаздыванием, определяемый функциями

Fi(t) = a[\-F(u)\du и f(0. о

где a-i = j" [1-f («)]d«. • .

Альтернирующий процесс восстановления. Процесс функционирования любого устройства с точки зрения надежности может быть представлен в виде чередующейся последовательности интервалов нормального функционирования и интервалов простоя (ремонта) устройства

в, li.....Oft, Ifi, где - случайное время работы устройства с момента окончания пре

дыдущего ремонта до момента наступления следующего ft-ro отказа; - случайное время простоя (ремонта) из-за k-ro отказа.

Если все величины имеют одно и то же распределение f (/), а случайные величины 1й имеют одно и то же распределение G (t), причем все рассматриваемые случайные величины взаимно независимые, то говорят, что имеет место альтернирующий процесс восстановления.

П1.7.2. Просеивание (разрежение) потока. Рассмотрим рекуррентный поток событий {th}. Поставим в соответствие каждому моменту наступления события tj, ft 1, случайную величину 6fi = б (fft), принимающую значение О с вероятностью (jfj и значение 1 с вероятностью pft. Величину 6ft назовем индикатором события н будем считать, что реализация 6ft = 1 сохраняет событие в момент /ft, а реализация 6 = О приводит к исключению события. Применение оператора 6 = (6, ба,...) к рекуррентному потоку формирует новый просеянный, или разреженный, поток событий {tk}Q, у которого события остались лишь в те моменты tl, которым соответствует реализация случайной величины Sft = 1.

В частности, если положить Pft = р для всех ft 1 и применить последовательно процедуру разрежения к произвольному рекуррентному потоку, то результирующий поток после соответствующего нормирования, а именно после сжатия в р- раз масштаба времени, будет асимптотически пуассоновским (теорема Реньи).

Применение однократной процедуры разрежения к пуассоновскому потоку с параметром "к при pjj -= р приводит вновь к пуассоновскому же потоку с параметром Я - рЯ.

Если же pfe = 1 для всех к = /, 2i,...,tni, i 2, при фиксированном i к pj О-для остальных k, то при применении процедуры разрежения к пуассоновскому потоку получим в качестве просеянного поток Эрланга i-ro порядка.

Случайный интервал между соседними событиями в разреженном потоке характеризуется математическим ожиданием

Tk==Tklp,

где - математическое ожидание величины случайного интервала между событиями в исходном рекуррентном потоке.

П 1.7.3. Суперпозиция (наложение) потоков. Рассмотрим п «источников», порождающих события. Поток, событиями которого являются события, поступившие от всех «источников», называется суммарным потоком, т. е. суммарный поток получается суперпозицией {наложением) исходных потоков событий.

Если слагаемые потоки независимы между собой и каждый представляет собой пуассоновский поток, то суммарный поток будет также пуассоновским с интенсивностью а,, равной сумме интенсивностей слагаемых потоков, т. е.

где ttj - интенсивность i-ro суммируемого пуассоновского потока; п - число суммируемых потоков.

В теории восстановления доказывается, что суперпозиция произвольных потоков асимптотически сходится к пуассоновскому потоку при сравнительно слабых ограничениях на составляющие потоки (теорема Григелиониса). Интенсивность суммарного потока при этом

1

где Ti - среднее расстояние между двумя соседними событиями в "i-м потоке; п - число потоков.

П1.8. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Испытание (или опьш)-осуществление на практике какого-нибудь комплекса условий. Реализация случайного события - событие, которое осуществилось в результате проведения опыта.

Реализация случайной величины - величина, которая получена в результате проведения опыта.

Генеральная совокупность - множество, включающее все однородные объекты с исследуемыми качествами.

Случайная выборка - часть генеральной совокупности, отобранная наугад.

Репрезентативная (представительная) выборка - выборка, в которой пропорции объектов различных типов в среднем соответствуют пропорциям в генеральной совокупности.

Статистические оценки - числовые характеристики ф (х,, Х2,... Хп) эмпирического распределения, полученные в результате обработки случайной выборки объема п.

Частость (относительная частота) случайного события. Если N раз проведен опыт, в котором возможно появление некоторого события А, и при этом раз это событие фактически имело место, то частость появления указанного события

и/д.(Л) = Пд,/Л/-.

Вероятность случайного события (статистическое определение). Мож но заметить, что при увеличении числа опытов N значение (А) начинает все более и более устойчиво приближаться к некоторому числу р (А). Вероятность случайного события может быть определена как предел W (А) прн безграничном увеличении числа опытов N:

]imWi(A)nmnfj/N-r=p(A).

N->oo n->oo

Величина сходится по вероятности к величине р, если для любого сколь угодно малого Е может быть выбрано такое N, что вероятность выполнения неравенства Wj - - р I <: Е будет сколь угодно близка к единице, т. е.

lim РЛГу-р]<рЛ.-=1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 [193] 194 195 196 197 198 199