|
| |
|
Слаботочка Книги Введем д: - булеву переменную (индикатор), которая принимает два зна" чения: 1, если i-й элемент системы работоспособен, О, если 1-й элемент системы неработоспособен. Вероятность работоспособного состояния 1-го элемента находится как математическое ожидание pj = Мх. Обозначим через X = (д:,, x„) n-мерный вектор, характеризующий состояние системы, определяемое при фиксированной структуре состоянием ее элементов (п - число элементов в системе). В дальнейшем будет удобно также использовать обозначение Х; = (Xi, х, Xi-i, Xj+i, Хп), (7.1) т. е. (п - 1)-мерный вектор, у которого отсутствует i-я компонента. И вообще Ха есть вектор X, у которого отсутствуют компоненты Xj, для которых i G сс (размерность этого вектора равна п - а). Введя соответствующий критерий отказа для системы, можно задать соответствующую булеву функцию, называемую в данном случае структурной функцией системы вида 1, если состояние X соответствует работоспособности системы, если состояние X соответствует неработоспособности системы. Вероятность работоспособного состояния системы определяется как математическое ожидание структурной функции: h = МФ (X). Эту величину можно найти и с помощью функции надежности системы, которая выражает показатель надежности системы через показатели надежности ее элементов: /г(р) = h (pi, Pn), где р= (pi, .... Pn). Структура систейы называется монотонной, если выполняются следующие условия: а) Ф (1) = 1, где 1 = (1, 1, .... 1); б) Ф (0) = О, где О = (О, О, 0); в) Ф (X) > Ф (Y), если X > Y, где условие понимается как совокупность п условий Xi > Ui для 1 = 1, п, причем неравенство хотя бы один раз выполняется строго. 7.3. МЕТОД ПРЯМОГО ПЕРЕБОРА Произвольная система, состоящая из п элементов, каждый из которых может находиться в состоянии работоспособности и в состоянии отказа, может находиться в 2" различных состояниях: Яо - все п элементов работоспособны; Hi - отказал i-й элемент, остальные работоспособны; - отказали /-й и-/-й элементы, остальные работоспособны; Hi 2.....п - отказали все элементы. Если каким-либо образом определен критерий отказа системы, то все множество ее состояний можно разделить на два подмножества: подмножество состояний работоспособности § и подмножество состояний отказа Тогда, если для каждого состояния На вычислить вероятность его появления Ра. то вероятность состояния работоспособности системы в целом можно записать как Если система состоит из взаимно независимых элементов, соответствующих состояний вычисляются по формулам: то вероятности 1=1 k=\ к Ф1 PoytPo, Pi,j = qiqj П РкУсУзРо, к= I k ф i.j Pu2,..;n=PoV[ Те -Пяь где pi и qi - вероятности состояния работоспособности и неработоспособности 1-го элемента -системы; = qt/pt. Если pi - вероятность работы до отказа для i-ro элемента, т. е. pi (f) = = 3 {h > 0> где Zi - случайная наработка до отказа i-ro элемента, то формула для Р позволяет вычислять вероятность безотказной работы системы до отказа, т. е. Р (t) = {Z > t}, где Z - случайная наработка до отказа системы. В этом случае можно вычислять и среднюю наработку системы до отказа по общей формуле = Pit)dt. Если Pi - коэффициент готовности (нестационарный коэффициент готовности, коэффициент оперативной готовности или нестационарный коэффициент оперативной готовности) i-ro элемента, то вероятность Р является коэффициентом готовности (нестационарным коэффициентом готовности, коэффициентом оперативной готовности или нестационарным коэффициентом оперативной готовности) системы в целом. Пример 7.1. Мостиковая схема (см. рис. 7.2) состоит из идентичных элементов, каждый из которых характеризуется вероятностью безотказной работы р (t) = е- с параметром X = 0,01 ч-. Требуется найти вероятность безотказной работы схемы за = 10 ч и среднее время работы до отказа. Решение. Составляем таблицу возможных состояний (табл. 7.1) и по рис. 7.2 непосредственно определяем, к какому из подмножеств F или отно сится то или иное состояние. В таблице = 1 означает, что i-й элемент исправен, а Xi = О - что он неисправен. Таблица 7.1 Возможные состояния схемы к примеру 7.1
; Таким образом, Р (О = f it) + 5<? it) if) + 8<f (О р if) + 2<f it) p if). (7.2) Иногда при расчете P (ff для малых значений t удобнее сделать замену р = I - q и записать Р = 1 2,f - 23 + 5<?* - 2дК (7.3) При <?(= 10) = 1 - е-"!» 0,1 имеем Р ( = 10) = 1 - 2-0,01 - 2 X X 0,001 + ... « 0,978. В то же время для вычисления средней наработки до отказа удобнее представить Р (f) как функцию от р, так как в этом случае легко находится требуемый интеграл. Тогда Р (О = 2рБ (t) - 5р* (О + 2р« (О + 2р (0. (7.4) Интегрируя Р (f) с учетом того, что р* (f) = е-**, получаем Т = 2Т/5 - 5Г/4 + 2Т/3 + Г = 49Т/60 « 82 ч. 7.4. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСОБОГО ЭЛЕМЕНТА В редких случаях удается воспользоваться известной из математической логики теоремой о разложении функции логики по любому аргументу. Применительно к задачам надежности эта теорема может быть сформулирована следующим образом: h (р) = р,МФ (Х„ = 1) + <?,МФ (Х„ Xi = 0), где МФ (Xj, Xi = 1) - вероятность состояния работоспособности системы при условии, что 1-й элемент абсолютно надежен; МФ (Х, Xi = 0) -та же вероятность при условии, что /-Й элемент заведомо отказал; Xj- определено условием (7.1). Можно использовать подобное разложение функции h (р) относительно нескольких элементов, однако в этом случае процедура будет сводиться к своеобразному перебору. Например, для разложения по двум элементам h (Р) = РеР-МФ (X,,., Xil, л;,- = 1) + рг<?МФ (Х,,-, Xi== I, х, = 0) + + qtPjMO (Xij, Xi = О, Xj = 1) + qtjMO (Xj,-, Xi == 0, Xj = 0), . где Xij определено в соответствии с (7.1). Заметим, что каких-либо четких рекомендаций по выбору элемента, относительно которого производится разложение функции Р (f), сделать в общем случае не удается. Пример 7.2. Рассмотрим ту же мостиковую схему, что и в предыдущем примере. Найдем выражение для вероятности безотказной работы. В качестве элемента, относительно которого производится разложение, возьмем Xg. При Xs = 1 мостиковая схема превращается в параллельно-последовательное соединение (рис. 7.3), где перемычка вместо элемента х означает, что это соединение присутствует всегда, т. е. элемент Xg абсолютно надежен. При этом Р (3 = 1) = (1 - <?1?2) (1 - <?3<?4). При Xg = О мостиковая схема превращается в последовательно-параллельное соединение (рис. 7.4), где отсутствие элемента х эквивалентно тому, что этот элемент постоянно находится в состоянии отказа. При этом Р (АГз = 0) = 1 - (1 - PiP4) (1 - РаРб). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 [30] 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||