Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [31] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Рис. 7.3. Представление мостиковой схемы в виде параллельно-последовательного соединения при достоверно исправном диагональном элементе (хз=1)

-аз-[ю-

Рис. 7.4. Представление мостиковой схемы в виде последовательно-параллельного соединения при достоверно отказавшем диагональном элементе (л:з=0)

Окончательно находим

Р = Рз (1 - <?1<?2) (1 - <?з<?4) + 9з П - (1 - PiPi) (1 - pps)],

что при идентичных элементах дает

Р = р (1 2)2 (1 (1

Нетрудно убедиться, что эта запись эквивалентна (7.2)-(7.4) с точностью до группирования членов.

7.5. АНАЛИТИКО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД

7.5.1. Предварительные замечания. При исследовании сложных систем с монотонной структурой, в частности информационных сетей, в которых количество элементов велико, ни одни из приведенных выше методов не оказывается достаточно эффективным. В этом случае естественно использовать для получения численных значений различных показателей надежности метод статистического моделирования. Однако если элементы системы достаточно надежны, а система обладает определенной избыточностью, то прямое использование метода статистического моделирования также мало эффективно, так как многие реализации неинформативны (очень часто проявляются реализации, когда не отказала ни одна линия связи или возник ровно один отказ, что обычно не сказывается на работоспособности сети в целом). В этом случае для изотропных сетей, т. е. таких, у которых все элементы практически равнонадежны, можно использовать смешанные аналитики-статистические методы оценки.

.5.2. Метод моделирования отказов системы в фиксированных состояниях. В этом случае аналитически вычисляются вероятности того, что в системе окажется ровно k отказавших элементов, а условные вероятности отказа системы в этом состоянии находятся с заданной точностью методом статистического моделирования. Алгоритм оценки состоит в следующем:

1) аналитически вычисляются вероятности различных типов состояний системы: Я(о) - работоспособность всех элементов системы; Hd-отказ ровно одного элемента; Я() - отказ ровно k элементов.

Вероятность события Я()

где р - вероятность состояния работоспособности элемента системы (<? = 1 - р);

2) методом статистических испытаний находятся оценки условных вероятностей Ф(,) того, что система, находящаяся в состоянии Н), работоспособна по выбранному критерию;

3) вычисляется полная вероятность работоспособности системы:

(7.5)

Примечания. 1. Если система построена таким образом, что отказ / любых элементов не приводит к отказу системы в целом, т. е. минимальное сечение данной системы имеет мощность то

k = 0 ft = /-l-i

При этом чем больше /, тем более эффективен смешанный аналитико-статистический метод оценки.

2. Биномиальное распределение является унимодальным, т. е. имеет вполне определенно выраженный максимум вероятности P(h) по k. Если вероятность q достаточно мала, то с некоторого номера k вероятность P(ft) начинает довольно быстро убывать. Это позволяет в каждом конкретном случае (в зависимости от заданной точности расчета) определять, для

каких значений k можно не находить оценки Ф(ц статистическим моделированием.

В ТО же время для малых значений k в системах с большой избыточностью

Ф() близка к единице, т. е. в конкретном случае для систем, у которых минимальные сечения наименьшей мощности (по числу элементов, в них входящих) встречаются достаточно редко, фактически суммирование в первом слагаемом можно производить не до /, а до некоторого большего номера, определяемого в каждом конкретном случае.

Обычно в качестве критерия работоспособности системы типа информационной сети выбирается наличие связи (включая транзитные) между всеми элементами, т. е. связность сети. В этом случае Oip„) есть условная вероятность связности сети при отказе ровно k ребер, которая находится следующим образом.

С помощью метода статистических испытаний осуществляется конкретная реализация ровно k отказов тех или иных ребер. (Например, выбираются k различных случайных целых чисел, равномерно распределенных в интервале [1, п]-) Далее эта конкретная реализация сети проверяется на связность. Если данная реализация удовлетворяет критерию, т. е. сеть связана, то в счетчик числа успешных исходов к имеющемуся там числу прибавляется единица. Условная вероятность Ф(й) вычисляется как

ще Nk - полное число реализаций при k отказавших ребрах; (Nf,) - число успешных исходов из общего числа реализаций.

7.5.3. Метод моделирования накопления отказов элементов до отказа системы. В этом случае методом статистических испытаний оценивается живучесть сеги: случайным образом переводятся в состояние отказа элементы системы до тех пор, пока система по выбранному критерию (например, по критерию связности) не переходит в состояние отказа. Число элементов, при котором впервые в данной реализации произошел отказ системы s, запоминается. После проведения необходимой серии испытаний объема N на основании полученных значений ks строится кривая вероятности отказа системы в зависимости от числа отказавших элементов по формуле

1, если kg-k.

где б (А:,)

(О, если kg > k.

(Здесь в явном виде учитывается монотонный характер рассматриваемой структуры системы: если система находится в состоянии отказа при отказе некоторой совокупности элементов, то добавление новых отказов элементов не может изменить ее состояние.)

Дальнейший расчет производится по формуле (7.5).

7.5.4. Метод убыстрения статистических испытаний. При высокой исходной надежности pi элементов или большой структурной избыточности, характерной для сложных технических систем, подавляющее большинство реализаций при проверке на работоспособность имеет малую информативность. Поэтому необходимо найти такое преобразование характеристик системы, которое позволило бы искусственно уменьшить исходную надежность ее элементов, чтобы можно было быстрее набрать необходимую статистику отказов, а затем найти обратное преобразование, позволяющее пересчитывать результаты для получения истинных показателей надежности.

1. Прямое преобразование. Рассмотрим некоторое сечение и, в которое входит ровно Z элементов. Частота выпадания такого разреза при статистических, испытаниях стремится по ходу испытаний к его вероятности, равной

Р„ = П р П (1 - pj). Если обозначить через n общее число элементов си-

iu /ей -стемы, то

ри(п Pi] П (\-p,)IPi-

Вместо элемента с надежностью pj введем элемент с меньшей надежностью pj, такой, чтобы удовлетворялось условие

(i-p;)/p; = v(i-p,-)/p,-, {7.б>

Pf = PjiPj + yii-Pj)-. (7.7)

Если произвести преобразование (7.6) для всех элементов сети, то вероятность выпадания сечения и в процессе испытаний изменится и составит

ри=и PilPi + y{l~Pi)r и y{i-Pi)/Pi.

Введем коэффициент б убыстрения моделирования, который характеризует увеличение частоты выпадания сечения:

б=р;,/Р„=2 [Рг + Т(1-Р0]- П у.

1=1 /ей

Если в сечении и входит ровно z элементов, то будем называть его сечением веса .(мощности) Z. Для такого сечения

Ь = гп [Pi + yil-Pi)]-\

где второй сомножитель П [р; + у (1 - pt)\~ = к - константа для исход-

ной системы. Коэффициент убыстрения моделирования можно представить в виде

Отсюда следует, что предлагаемое преобразование показателей надежности не приводит к нарушению относительной частоты появления сечений фиксированного веса Z, так как коэффициент убыстрения для всех этих сечений одинаков. Однако относительная частота появления сечений веса z + со по сравнению с сечениями веса z увеличивается в у раз. Поэтому в ходе статистических испытаний преобразованной системы можно набрать достаточную статистику по сечениям большего веса, вероятность появления которых в исходной системе бывает обычно очень малой.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [31] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199