|
| |
|
Слаботочка Книги 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 [32] 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 2. Обратное преобразование. Обратный пересчет вероятности появления сечения и производится по формуле = PUb = Р1у--К~. . (7.8). Отметим, что для выполнения обратного преобразования (7.8) необходимо-фиксировать кроме факта отказа системы и вес z соответствующего сечения. Из (7.8) следует, что каждый случай появления сечения и с весом z в преобразованной системе соответствует у~К~ случаям появления такого же сечения & исходной системе. При этом если в преобразованной системе за время испытаний произошло т отказов, то для исходной системы соответствующее число отказов- где Zj - число элементов, вышедших из строя при i-ш отказе системы. При возникновении очередного т-го отказа в преобразованной системе оценка надежности Ртп исходной системы уточняется в соответствии с выражением где М - общее число просмотренных реализаций состояний преобразованной системы. 3. Оптимальный параметр преобразования. Возникает вопрос, каким следует выбрать параметр преобразования у для максимального убыстрения процесса статистических испытаний конкретной системы. Из (7.7) следует, что при у = 1 изменения исходной надежности не происходит и убыстрение отсутствует. Если выбрать у слишком большим, то в преобразованной системе будут в основном возникать сечения очень большого веса, нехарактерные для исходной системы, причем их вклад в результирующую надежность при больших z будет невелик. Поэтому параметр у следует выбрать таким, чтобы максимизировать вероятность возникновения наиболее вероятных сечений. Рассмотрим этот вопрос более подробно. Для простоты положим, что показатели надежности всех элементов системы одинаковы и равны р. Обозначим через Р (z) вероятность возникновения отказа веса г. Очевидно, что вероятность потери работоспособности системы Q= 2 (2)- (7.9) Обычно для реальных систем величина Р (г) достаточно плавно меняется с увеличением веса сечения, поэтому в качестве наиболее вероятного сечения можно выбрать Mz= X I S (2)- .2=1 J / Z=l Для высоконадежных систем в выражении (7.9) можно пренебречь всеми членами, кроме первого ненулевого, соответствующего минимальному разрезу веса Zq, который и будет наиболее вероятным. Оптимальное значение То = 2оР 1{N - Zo) (1 - p)]-i и соответствует пересчитанному значению надежности элемента системы р = = 1 - Zo/N. Другими словами, для максимального убыстрения процедуры статистических испьп-аний необходимо пересчитать надежность элементов системы таким обра- зом, чтобы средний вес отказов в преобразованной системе соответствовал весу наиболее вероятного сечения. 4. Коэффициент убыстрения. Убыстрение темпа набора статистики отказов составляет {zo/[(l- р) l(N -Zo)/(pA/)]v-о. Так, для системы с параметрами р - 0,99, Л/- 20, -- 3 время испытаний можно сократить приблизительно в 150 раз при достоверности получаемых результатов не хуже, чем в случае прямого набора статистики отказов системы. 7.6. МЕТОД МИНИМАЛЬНЫХ ПУТЕЙ И РАЗРЕЗОВ 7.6.1. Предварительные замечания. Введем следующие необходимые понятия: минимальный путь в системе произвольной структуры - множество работоспособных элементов, которое обеспечивает работоспособное состояние системы, причем никакое собственное его подмножество этим свойством не обладает; минимальный разрез в системе произвольной структуры - множество элементов, отказ которых приводит к отказу системы, причем никакое собственное его подмножество этим свойством не обладает.. Обратим внимание на то, что здесь речь идет о минимальности по включению, а не по мощности, поэтому, в любой системе таких путей и сечений может быть достаточно много. В теории графов минимальный путь и минимальный разрез называют простой цепью (путем) и простым разрезом соответственно. Каждому элементу £ \ системы соответствует вероятность безотказной работы Pi. Обозначим j-й минимальный путь системы через Aj, j = 1, s, а k-e минимальное сечение - через В, k = I, г. С каждым минимальным путем Aj можно связать структурную функцию aj(X)= П Xi, которая принимает значение 1, если все элементы в минимальном пути работоспособны, и О в противном случае. Очевидно, что aj (X) есть структурная функция системы, у которой все элементы, принадлежащие /-му минимальному пути (/ = = 1, s), соединены последовательно. (Единственный минимальный путь имеет только лишь чисто- последовательная система.) Аналогичным образом каждому минимальному сечению можно поставить в соответствие структурную функцию Р,(Х)= П х = 1- П (l-Xi), которая принимает значение О, если все элементы минимального сечения неисправны, и 1 в противном случае, т. е. если работоспособен хотя бы один элемент этого сечения. (Здесь, а также в (7.10) и (7.11) для простоты истинное событие обозначено 1, а знак «-» означает логическое исключение.) Таким образом, Pft (X) есть структурная функция системы, в которой все элементы, принадлежащие -му минимальному сечению (k = 1, г), соединены параллельно. Таких различных минимальных сечений в системе может быть несколько (допустим, s). (Единственное минимальное сечение имеет только лишь чисто параллельная система.) 7.6.2. Оценка с использованием минимальных путей и сечений. Структурная функция системы может быть записана через минимальные пути или минимальные сечения следующим образом: Ф(Х.)- П a;(X)-l- П ll-ajCK)], (7.10) или- Ф(Х)= П Pft(X). (7.11) Пример 7.3. Для мостиковой схемы (см. рис. 7.2) структурные функции минимальных путей и сечений: «1 = XiXg, pi -= 1 • - (1 - xi) (1 - Xi); «2 xxs. Pa 1 - (1 -- x) (1 - Xs); «3 = XiXgXs, Рз 1 - (1 Xj) (1 - Xs) (1 - Xs); «4 = XiXgXs, P4 1 - (1 - Xi) (1 - Xg) (1 - Xa). Оценки для вероятности работоспособного состояния системы с использованием структурных функций, выраженных через минимальные пути и минимальные сечения: 1-П 9Л<р{ф(Х)}1- П /1- П Рг]. (7.12) Пример 7.4. Для мостиковой схемы (см. рис. 7.2) можно записать оценки (7.12): (1 - 4) (1 - 9295) (1 - qiqsQb) (1 - qsQi) < р < 1 - (1 - PiPs) X X (1 - Р4Р5) (1 - piPaPe) (1 - pipspd- Для верхних и нижних оценок систем с неприводимой структурой можно сформулировать дополнительно следующие утверждения: нижняя оценка для вероятности безотказной работы может быть получена путем представления структуры в виде параллельного соединения реберно-не-пересекающихся минимальных путей; верхняя оценка для вероятности безотказной работы может быть получена путем представления структуры в виде последовательного соединения реберно-непересекающихся минимальных сечений: 1- П (1-П рЛ1<р{ф(Х)}< . min П /1- П qA (7.13) где - множество индексов элементов, составляющих v-й набор реберно-непересекающихся путей; v - число таких наборов; в - множество индексов элементов, составляющих ш-й набор реберно-непересекающихся сечений; w - число таких наборов. Примечание. В формуле (7.13) можно для верхней (или нижней) оценки брать минимум (или максимум) не по всем возможным r (или s) наборам, а лишь по любой части, получая соответственно более широкие границы. Пример 7.5. Для мостиковой схемы (см. рис. 7.2) оценки (7.13) примут вид max {[1 - (1 - ррз) (1 - Р4Р5)], Р1Р3Р5, Р2Р3Р4} < р < < min {(1 - qiqi) (1 - qs), 1 - Мзб, 1 - qqsQi}-Результирующие оценки для неприводимой структуры: maxf П /1- П qt <р{ф(Х)}<т1пГ1- П 1 1</<г П-Щ Pi 1- прг fl- П дЛ\ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 [32] 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |