|
| |
|
Слаботочка Книги Примечание. Легко видеть, что оценки (7.13) с учетом сделанного ранее примечания проще оценок (7.12), так как не требуют получения всех минимальных путей и сечений [в неравенствах (7.13) можно ограничиться и одним набором]. Что же касается точности оценок, то в общем случае нельзя отдать предпочтение тем или иным оценкам, так как это зависит от структуры системы. Например, если структура системы такова, что большинство минимальных путей не имеет общихребер, т. е. система близка по структуре к параллельному соединению минимальных путей, то предпочтительными окажутся верхняя оценка (7.12) и нижняя оценка (7.13) . Если же большинство минимальных путей имеет общие ребра, то лучшими будут верхняя оценка (7.13) и нижняя оценка (7.12). Если вероятность безотказной работы г-го элемента является экспоненциальной функцией Pi (t) = e~i\ то, проинтегрировав правую часть (7.12) и левую часть (7.13), можно получить оценки для средней наработки системы до отказа: 1 . . . n„+l 1 \ max /2 Г,- 2 : 2 Ь- + ...-f(-l)+l 2 л,. Л/ = 2: "и Tj = l/Aj - средняя наработка до отказа /-го пути; - число путей в v-m наборе реберно-непересекающихся минимальных путей. Пример 7.6. Рассмотрим мостиковую схему (см. рис. 7.2). Все элементы этой схемы характеризуются вероятностью безотказной работы р (f) = е-с параметром Х = 0,01 ч-. Требуется дать оценку вероятности безотказной работы схемы за 0 = 10 ч и верхнюю оценку среднего времени работы до отказа. Решение. Для этой схемы минимальными путями будут: {х, х}, {х, Хз, Х5}, {ха, xs}, {х, Хз, х}, а минимальными сечениями: {xi, х.}, {х, Xg, Xg}, ~ {Xt, Xs}, {Х, Хз, Х4}. Обозначим р (t = 10) = е-" = ри9=1-ри запишем верхнюю и нижнюю оценки в развернутом виде для данного случая: (1 (1 - ) < Р < 1 - (1 - pY (1 - рТ- Подставив численное значение q = 0,1, получим 0,978 < Р < 0,9976. (Истинное значение, найденное в примере 7.1, равно 0,978.) Для верхней оценки средней наработки до отказа вычислим предварительно интенсивности отказов для каждого минимального пути: = 0,02 ч-; Ag = = 0,03 Ч-1; A3 = 0,02 Ч-1; А4 = 0,03 ч-. В итоге находим Г < 50 + 50 -f 33,3 + 33,3 20 - 25 - 20 - 20 - 16,7 - 20 + 14,1 + + 12,5 + 14,1 + 12,5 - 10 = 97,2 ч. (Истинное значение, найденное в примере 7.1, равно 82 ч.) 7.6.3. Метод поглощения степеней. Пусть оператор 5? {/} означает, что в полиноме / все показатели степени при переменных pj следует положить равными единице. Тогда nn- п Pi) Р : fe=l 1~ П (1-рО «•ев. (7.14) Достоинство оценки (7.14) заключается в том, что по мере увеличения переменных avi b могут уточняться вплоть до точного значения, если а = г и Ь = s. В процессе получения этих оценок не следует забывать, что даже при равных pi, • = 1, ft, в аналитических выражениях (7.14) следует каждому элементу yi присваивать собственную вероятность вплоть до получения окончательного выражения (7.14). Пример 7.7. Рассмотрим систему с мостиковой структурой (см. рис. 7.2). Пусть все элементы этой системы характеризуются вероятностью р (t) = е-" с параметром X = 0,01 ч-. Требуется оценить вероятность Р безотказной работы этой системы за время = Ю ч и дать оценку среднего времени работы системы до отказа. Решение. Минимальными путями этой системы будут: уу, уУь, УУвШ, У2УвУь а минимальными сечениями: уу, уУв, УхУъИь, УУзЛ- Наборами реберно-непересекающихся путей в этой системе будут: {ухУ, УУв}, {УхУзУз}, {УгУзУь}, а наборами реберно-непересекающихся сечений: {Ма, yiVs}, {У1У3У5}, {У2УзУк}- Тогда в соответствии с (6.5) и (6.6) при учете только первых из перечисленных наборов минимальных путей и сечений: (1 - qY (1 )2 < Р < 1 (1 рУ (1 рЗ)2; 1 (1 pY < Р < < (1 - qY. Подставив численные значения р « 0,9 и q та 0,1, получим: 0,978 < Р < 0,9976; 0,964 < Р < 0,98, из чего следуют наилучшие оценки Р: 0,978 < Р < 0,98. Для оценки средней наработки до отказа вычислим предварительно интенсивности отказов для каждого из минимальных путей: Л, = 0,02 Ч-1; Ла = 0,02 ч-; Лд = 0,03 ч-; Л4 = 0,03 ч-Ч Пользуясь (6-8), получаем 75 ч < Т < 97,2 ч. 7.6.4. Алгоритм вычисления для метода поглощения степеней. При перемножении любой пары сомножителей Р,, и Р справедливо (1 - Р,) * (1 - Р J = 1 - Р, - Р * (1 - 0- Символ * означает, что при умножении используется оператор X. Последний член можно представить в виде i?m * (1 - Rk) = i?m (1 - Rum), где Pftm - произведение вероятностей работоспособного состояния всех элементов -го пути, из которого вычеркнуты сомножители с индексами элементов, общих с т-м путем. В общем случае при умножении вероятности работоспособного состояния очередного т-го пути на промежуточный результат F (Pj, Pg, Pm-i), полученный при перемножении соответствующих вероятностей для предыдущих путей, справедливо соотношение Rm * Р (Rl, Rzt •••» Rm-l) Rm P (Rim, Rsm, •••» Rm-l,m)- Если В произведении P будут вычеркнуты все элементы, то следует принять Rkjn = 1. Поясним получаемый алгоритм на простом примере. Пример 7.8. На рис. ,7.5 представлен граф, у которого веса ребер равны вероятностям их работоспособного состояния. Требуется найти вероятность его связности. Узлы для простоты будем считать идеально надежными. Предположим, что для связи между узлами А и В можно использовать всё, пути, состоящие из трех и менее последовательно включенных ребер (т. е. пути аЬ, cdf, cgb. ahf). Тогда с учетом введенных обозначений задача определения связности узлов А, В сводится к вычислению следующего выражения: Qab = (1 - ab) * (1 - cdf) * (1 - cgb) * (1 - ahf). Перемножение производится последовательно, т. е. первая скобка умножается на вторую, полученный результат на третью и т. д. Если промежуточный результат, полученный перед умножением на i-ю скобку (1 - Rt) обозначить через Qi-i, то результат Qi очередного перемножения можно представить в виде Qi = Qi-i*(i-Ri)=Qi-i-Ri*Qt-i= Qi-1-RiQi-i, и где Qi-i, i обозначает выражение для Qi-i, из которого вычеркнуты все элементы, общие с f-M путем.   Рис. 7.5. Схема для примера 7.8 Рис. 7.6. Схема для примера 7.9 Другими словами, на каждом шаге из полученного ранее выражения Q-i следует вычесть произведение выражения для Qi-x, в котором исключены общие с этим путем ребра, и вероятности работоспособного состояния г-го пути. В соответствии с этим алгоритмом для рассматриваемого случая получим: Qx = \-ab~ab; Qab-cdf-abab-cdf; q3=ab-cdf-cgb-a-df, Q.iB ~Qi = ab-cdf- cgb-adf -ahfb - cd. При преобразованиях используются следующие правила логики: 1 - а = а; а • а = а; а-а = 0. Для уменьшения объема вычислений не следует без необходимости раскрывать скобки, а также если промежуточный результат Qi допускает упрощение (приведение подобных членов, вынесение за скобку общего множителя и т.д.), то их следует всегда выполнять. Это позволяет заметно уменьшить трудоемкость расчетов. Пример 7.9. Для сети связи, изображенной на рис. 7.6, между выделенными узлами имеется И возможных путей. Все результаты расчетов сведены в табл. 7.2, в третьей колонке которой записан результат умножения вероятности работоспособного состояния данного пути на Qj-i, полученную при рассмотрении всех предыдущих путей, в последней колонке - формулы для Qi, получившиеся после упрощения соответствующих выражений, которые представлены в третьей колонке. Окончательная формула для Qab содержится в последней колонке, если ее читать сверху вниз; при этом члены, стоящие в первой и второй строках, соединяются знаком умножения (независимые пути), а остальные члены на соседних строках - знаком «-». В таблице полностью приведены все выкладки, необходимые для расчета надежности рассматриваемой сети. Пример 7.10. Рассмотрим более подробно расчет надежности пути 9. Из табл. 7.2 произведение вероятностей работоспособного состояния составляющих его элементов, записанное во второй колонке, переносится в третью. Далее в 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [33] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |