|
| |
|
Слаботочка Книги что to = 0. Ясно, что системы кратковременного действия являются частным случаем системы длительного действия. В некоторый произвольный момент времени каждый элемент системы может находиться в определенном состоянии: работоспособности или отказа. Совокупность состояний элементов системы однозначно определяет состояние системы в целом. С течением времени система переходит из состояния в состояние из-за изменения состояний входящих в ее состав элементов (отказы элементов, их восстановление, различные внешние воздействия и пр.). Каждое конкретное состояние системы кратковременного действия может быть охарактеризовано вполне определенным условньм показателем эффективности функционирования. Этот показатель количественно характеризует результат выполнения функций системой, находящейся именно в данном состоянии. Каждая конкретная реализация процесса переходов системы длительного действия из состояния в состояние может быть также охарактеризована вполне определенным условным показателем эффективности функционирования. Этот показатель количественно характеризует результат выполнения системой своих функций при условии, что система при этом во время работы имела именно данную реализацию процесса переходов из одного состояния в другое. 8.2. СИСТЕМЫ КРАТКОВРЕМЕННОГО ДЕЙСТВИЯ Если обозначить через hg (t) вероятность того, что система кратковременного действия в момент времени t находится в s-u состоянии, а через - коэффициент эффективности данного состояния (условный показатель эффективности функционирования системы в s-m состоянии), то показатель эффективности функционирования системы кратковременного действия может быть определен по формуле E{t) = hjt)s, (8.1) где суммирование производится по всем состояниям системы. В ряде случаев оказывается, что, несмотря на большое число состояний системы, все они могут быть разбиты на небольшое число классов, каждый из которых характеризуется определенным значением коэффициента эффективности состояния. (В частности, такая ситуация может возникнуть, если уровни коэффициентов эффективности выбирать с некоторым шагом.) Тогда эффективность системы удобнее вычислять по модифицированной формуле k=i ses где Фи - некоторый уровень коэффициента эффективности; N - число таких уровней; - множество тех состояний, для которых коэффициент эффективности равен Ф. Для системы, состоящей из п взаимно независимых элементов, каждый из которых может находиться лишь в двух состояниях (работоспособности и отказа), вероятности hs (t) легко выражаются через показатели надежности элементов системы: вероятность того, что все элементы работоспособны, ho(t)=U riii); (8.2) «•=1 вероятность того, что в состоянии отказа находится только 1-й элемент системы, hdt) = Y\ru (t) = Уь (О ho it); (8.3) вероятность того, что в состоянии отказа находятся только 1-й и /-Й элементы системы. и т. д. Вообще hij (t) = (t) yj (t) К (t) (8.4) hs(t)U rit) П {\-rdt)]. где Gi И - соответственно подмножества работоспособных и отказавших элементов в случае, когда система находится в состоянии s; rt {f) - вероятность состояния работоспособности i-ro элемента системы в момент времени t; Qi (0=1- П it); (t) = Qi it) In it). Естественно, что для невосстанавливаемых систем (/1 совпадает с вероятностью безотказной работы за время t, а для восстанавливаемых - с нестационарным коэффициентом готовности в момент времени t. Вероятности, имеющие смысл стационарных коэффициентов готовности, будем обозначать г. Формулу (8.1) можно переписать в развернутом виде, используя (8.2)-(8.4): Е it) ФоК it) 1+ 2 tyi(t)+ S 4yiit)yiit)-\-(8.5) где Фо - коэффициент эффективности состояния, характеризуемого работоспособностью всех элементов системы Ф* = Ф/Фо, Фу = Фц1Фо и т. д., где, в свою очередь, Ojy ... - коэффициент эффективности состояния, характеризуемого отказами элементов i, j, k. Естественно, что в выражении (8.5) подразумевается, что Фо > Фг, Фг > > Oij и т. д. для всех /, / = 1, 2, п, причем Фо ф 0. Если имеет место условие max <?г(0«1/«, (8.6) то эффективность функционирования системы может быть оценена по приближенной формуле Е it) Фо 1- 2<?И0(1-ФП (8.7) где 1 - Ф£ имеет смысл значимости i-ro элемента. Формула (8.7) дает заниженную оценку по сравнению с истинным значением. Погрешность (8.7) не превышает бmax qiit)f Фо. Если fi if) имеет смысл вероятности безотказной работы, причем для каждого элемента распределение времени до отказа экспоненциальное с параметром It, то при выполнении условия (8.6) можно записать Ё it) « Фо ехр [- (1 - Ф.*)]. Если Гг имеет смысл стационарного коэффициента готовности (в предположении неограниченного восстановления и независимости элементов), т. е. rt = TiX X (Ti + Tj)-i, где Ti и т,- - соответственно средняя наработка до отказа и среднее время простоя i-ro элемента, то с учетом (8.5) можно записать пример 8.1. Радиолокационная система аэропорта, предназначенная для просмотра пространства в пределах 180°, обслуживается двумя одинаковыми станциями а и Ь. Станция а перекрывает пространство в пределах сектора О-110°, а станция b - в пределах сектора 70-180°. Среднюю наработку до отказа каждой станции примем равной 95 ч, а среднее время простоя 5 ч. Тогда коэффициент готовности отдельной станции К = 0,95. Вероятность обнаружения самолета в зоне действия одной станции р = 0,9, а в зоне действия одновременно двух станций (в зоне перекрытия) Р = 1 - (1 - р) = 0,99. Требуется найти эффективность, определяемую в данном случае как вероятность обнаружения на заданной дальности подлетающего самолета, появляющегося в произвольный момент времени с равной вероятностью на любом азимутальном направлении в пределах сектора О-180°. Решение. Рассмотрим состояние Sq. Вероятность того, что система в некоторый момент времени будет в этом состоянии, ho = = 0,9025. При этом в пределах сектора 70-110°, т. е. в пределах 40°, действуют сразу две станции, а в пределах секторов 0-70° и 110-180°, т. е. в пределах 140°, - по одной станции. Таким образом, коэффициент эффективности состояния So, определяемый как средневзвешенное значение, Фо = (40°/180°) 0,99 + (140°/180°) 0,9 = 0,92. Перемножив значения ho и Фо, получим йоФо = 0,828. Вероятность состояния Sa (отказала станция Ь) ha = К(\ - Ю = 0,0495. В этом состоянии в пределах сектора О-110° действует одна станция, а в пределах сектора ПО-180° - ни одной, т. е. Ф„ = (1107180°) 0,9 = 0,55. Следовательно, hja = 0,028. Так как состояния Sa и абсолютно идентичны, можно записать hьФь = 0,028. В результате Е = йоФо + 2/гаФа == 0,828+0,056 = 0,883. Для высоконадежных систем показатель эффективности удобно представить в виде разложения по степеням qi. В этом случае формула (8.5) имеет вид £ = Фо/1- 2 9Л1-ФП+ 2 9.9Л1-(Ф* + Ф/) + Ф&)-- Удобно записать следующее юрмальное выражение: Е = Фо П11-дг(1-Щ]. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [35] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |