|
| |
|
Слаботочка Книги в котором перемножение величин Ф, где а - некоторый набор индексов i = 1, 2, .... п, осуществляется по правилу ФЙФ£"=Фаиа"- Здесь а (J а" означает объединение индексов, входящих в а и а" (с учетом операции поглощения). 8.3. СИСТЕМЫ ДЛИТЕЛЬНОГО ДЕЙСТВИЯ Если обозначить через dh„ (t, t + to) элемент вероятности того, что система длительного действия в интервале It, t + t] имела я-ю реализацию процесса перехода из одного состояния в другое, и через Фя условный показатель эффективности функционирования системы для этой реализации процесса, то показатель эффективности функционирования системы длительного действия может быть определен по формуле E(t,t + to) = f Фп dhn (t, t+to), (8.8) где интегрирование производится по пространству всех возможных реализаций процесса перехода системы из одного состояния в другое в интервале времени U, t+tol Для системы, состоящей из п независимых невосстанавливаемых элементов, каждый из которых может находиться лишь в двух состояниях (работоспособно-сга и отказа), формулу (8.8) можно записать в виде E(t,t + to)OoHJl+ 2 77 j + t+to t + to + 2 ГT.{f Г Ф,,- (Xi, Xj) fj (Xj) dXj+ ...[, где Фо - условный показатель эффективности функционирования системы при условии, что ни один из элементовне отказал в интервале It, t + tJ; Ф, (xt) - условный показатель эффективности функционирования системы при условии, что отказал только 1-й элемент, причем отказ его произошел в момент времени Xi х Х(< Xj< t + to); Фи (Xi, Xj) - условный показатель эффективности функционирования системы при условии, что отказали только 1-й и /-Й элементы, причем отказы их произошли в моменты времени Xt и Xj соответственно ( < Xj < t + to, t< Xj<i t + to) и T. Л.; Ho - вероятность того, что ни один из элементов системы не откажет в течение интервала [t, t + toV. Но= и г lit, t+to); i= 1 . fi {xtf - плотность вероятности отказа i-ro элемента в момент времени Xf. Если выполняется условие t + to max qlit, t + to) = шах [ fiixi)dxi<t\ln, TO возможна приближенная оценка где Ф,* ixi) = Фг (Жг)/Фо. qt it, t + 4) -Т°Ф? (i) h ixi) dxi\. Погрешность оценки не превышает величины б=СЙ max lqiit,t + Q?Oo. Пример 8.2. Рассматривается система накопления информации, состоящая из двух одинаковых приемников а и Ь. В случае работоспособности обоих приемников пропускная способность системы оценивается некоторой величиной А. Пусть при отказе одного из приемников пропускная способность системы падает, например, до В = 0,3 Л. При отказе двух приемников сбор информации прекращается. Вероятность безотказной работы каждого приемника распределяется по экспоненциальному закону и характеризуется интенсивностью отказов К, т. е. г = е". Длительность выполнения задачи t = 0,1/Я,. Отказы приемников предполагаются независимыми. Для различных реализаций процесса перехода системы из одного состояния в другое известны следующие коэффициенты эффективности: Фо = At; Фг (Xi) = Bt + (А - В) Хи I = а, Ь; (хи xj) = В max (xt, Xj) + (А - В) min (xt, xj). Иначе говоря, показатель эффективности системы для каждой траектории определяется как объем накопленной информации (произведение пропускной способности на время функционирования). Требуется определить показатель эффективности системы. Решение. Оценка эффективности проводится по формуле (8.8). Для рассматриваемого случая E=rAt+2r\[Bt + {A-B)x]Xe-dx + + 2le- dx 5 [Вх + {A-B)y]he-« dy. После вычисления интегралов и подстановки численных значений, например г - 0,905 и / = О, Ih-, получаем Е = (0,819+0,109+0,004) At = 0,932. 8.4. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 8.4.1. Системы с аддитивным коэффициентом эффективности. Ряд систем характеризуется очень простым видом, коэффициента эффективности: каждый элемент такой системы вносит свою определенную и независимую долю в общий выходной эффект. Такого типа условные показатели эффективности характерны для систем, представляющих собой совокупность, например, транспортных средств или систем сбора информации. Если некоторый i-й элемент такой системы вносит в общий выходной эффект некоторую долю <pj, то для систем кратковременного действия такого типа в момент времени t S iTiit), (8.9) где rt (t) - вероятность состояния работоспособности i-ro элемента в момент времени t. Пример 8.3. Рассмотрим систему кратковременного действия (рис. 8.1). Выходной эффект системы представляет собой сумму выходных эффектов оконечных элементов. Элементы 0-го и 1-го рангов не вносят своего вклада в общий эф- Исходные данные для примера 8.3
фект системы, а могут представлять собой, например, некоторые управляющие или распределительные органы. Система может представлять собой, например, энергосеть, у колорой оконечные элементы служат для питания некоторых объектов. В этом стучае выходной эффект системы в любой момент времени может быть равен суммарной мощности, отдаваемой потребителю. Значения коэффициентов готовности Ki и выходные эффекты фг всех элементов системы представлены в табл. 8.1 Требуется найти выходной эффект системы при условии, что элементы системы независимы. Решение. Заметим, что 1-й оконечный элемент выполняет работу, если работоспособен он сам, а также соответствующие элементы 1-го и 0-го рангов. Например, вероятность работоспособного состояния седьмого элемента равна = Ког-г-Учитьшая это и используя формулу (8.9), получаем  в S я Рис. 8.1. Схема системы для примера 8.1 \ г=3 =8 / Подставив численные значения, находим Е = 0,99 (0,98-28,1 + 0,97-23) « 49,35. Для систем длительного действия, у которых /-й элемент дает вклад фг (f) в общий выходной эффект системы в случае отказа в момент tt t + to, можно записать E(t,t + to) = 2 + о) 4>oi + S fi (Xi) Фг (Xi) dXi где фо1 - вклад i-ro элемента в общий выходной эффект системы при безотказной работе в интервале времени + ol- Пример 8.4. Система длительного действия, предназначенная для накопления информации, состоит из трех элементов, пропускная способность каждого из которых: ф1 = 100 бит/с; фг = 200 бит/с и фз = 250 бит/с (бит - двоичная единица информации), а интенсивности отказов этих элементов: Я, = 0,01 ч-; 2 = 0,03 ч- и Я-з = 0,04 ч-. Вероятность- безотказной работы каждого элемента распределена по экспоненциальному закону. Требуется определить с учетом отказов среднюю пропускную способность системы в момент времени = 10 ч и количество собранной информации при непрерывной работе системы с полной нагрузкой в течение to = 50 ч. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [36] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |