Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [38] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

функций Ф (z), то для оценки эффективности достаточно знать начальные моменты распределения.

Эффективность функционирования подобной системы может быть определена по формуле

0 dz

где М<) - k-и начальный момент распределения числа нормально функционирующих исполнительных элементов; f -k-я производная Ф (z) по z

dz" 2 = 0

с последующей подстановкой z = О [при условии, что аппроксимирующая функция Ф (z) дифференцируема]. Обычно функция Ф (г) может быть достаточно хорошо аппроксимирована полиномом невысокой степени.

Начальные моменты М<*) могут быть найдены на основании следующего рекуррентного соотношения для моментной производящей функции:

Фп (г) = Фп-1 {(Гп 9п)°"),

где tti - коэффициент разветвления i-ro ранга, т. е. число элементов i-ro ранга, которые подчинены одному элементу (i-1)-го ранга. В частности, первые два начальных момента имеют вид:

= М21 G„ Г„ = Го П «г о;

MkMkli {апГпГ+Mkli гдпОп. (8.10)

Пример 8.6. Рассмотрим различные варианты ветвящихся систем второго порядка, имеющих шесть выходных элементов (рис. 8.3). Допустим сначала, что Ф (z) = CiZ, т. е. эффективность функционирования системы пропорциональна количеству нормально функционирующих выходных элементов (к таким системам могут быть отнесены транспортные системы, системы связи и т. п.).

Тогда эффективность системы с учетом выражения для М(>

Так как П at = Nn - число всех исполнительных (выходных) элементов, получаем

E==CxNn П Гг. .

Из этой формулы можно сделать интересный вывод, что все системы, изображенные на рис. 8.3, при данном выбранном показателе Ф (z) эквивалентны по эффективности.

Допустим теперь, что Ф (z) = Cz, т. е.. эффективность функционирования пропорциональна квадрату числа нормально функционирующих выходных элементов. Это имеет место при некоторых игровых ситуациях (например, в моделях, описываемых квадратичным законом Ланчестера). Для такого случая эффективность функционирования

Для высоких значений вероятностей состояния работоспособности элементов (т. е. qi<.\INji) формулу начального момента второго порядка (8.10) приближенно можно записать в виде

«=1

Полагая для простоты Що = Я\ = Я. Яу получаем:

Еа Л (1-0,83 ф; Еб CN (1 - 1,33 q); Ее » CN (1-1,5 q); Ее 2 CN (1-1,67)

(здесь индексы у Е соответствуют рис. 8.3).

Следовательно, в этом случае предпочтительнее система с наибольшим значением а/ох-

8.4.4. Системы с резервированием функций. Имеется целый ряд систем кратковременного действия, в которых выполнение одной и той же задачи может осуществляться, например, несколькими самостоятельными исполнительными элементами. Выполнение задачи хотя бы одним из элементов является достаточным, чтобы система в целом выполнила свою задачу. Пусть вероятность выполнения задачи одним элементом равна при условии, что система находится в S-m состоянии. Требуется определить вероятность выполнения задачи хотя бы одним из исполнительных элементов.

Такая задача может быть решена для двух основных случаев.

1. Исполнительные элементы системы выполняют задачу одновременно и независимо, т. е. для всех элементов вероятность выполнения задачи равна ф.

Для этого случая оценка эффективности функционирования

где Hs - вероятность того, что система находится в S-m состоянии; 1 - (1 - - Ф) - условная вероятность выполнения системой задачи при Л-кратном резервировании функции прй"уеловии, что система находится в S-m состоянии.

Пример 8.7. Пусть по некоторой цели можно сделать залп из двух выстрелов. Если в момент залпа устройство точной наводки исправно, то вероятность попадания с одного выстрела ф1 = 0,85, а если это устройство отказало, то вероятность попадания с одного выстрела фа = 0,58. Пусть вероятность безотказной работы устройства точной наводки г = 0,7. (Предполагается независимость попаданий с каждого выстрела.) Требуется определить полную вероятность попадания.

Решение. Полная вероятность попадания

£ = г [1 - (1-ф1)] + 9 [1 - (1 - Ф2)], или после подстановки численных значений

Е = 0,7 (1-0,15) + 0,3 (1 - 0,42) = 0,931.

2. Исполнительные элементы выполняют задачу в различные моменты времени, т. е. для каждого элемента вероятность выполнения задачи равна величине ф соответствующей состоянию системы в момент выполнения задачи данным

элементом.

В этом случае формула оценки эффективности

E = l(jHs4>sy-

пример 8.8. Изменим несколько условия предьщущего примера. Пусть по цели производятся теперь два независимых выстрела (например, если в один и тот же момент по одному выстрелу производят две независимые артиллерийские системы).

Требуется определить полную.вероятность попадания. Решение. Полная вероятность попадания

£ = I - [1 - (гф! -f ф)]

или после подстановки тех же численных значений, что и в предыдущем примере,

Е 1 - [1 - (0,7-0,85 + 0,3-0,58)]2 = 0,947.

Рассмотрим систему с ветвящейся структурой, у которой все оконечные элементы являются резервными по отношению к выполнению некоторой операции, причем каждый из них независимо выполняет эту операцию с вероятностью ф. Предположим, что оконечные элементы выполняют операцию независимо, т. е. если в системе нормально функционирует z оконечных элементов, то коэффициент эффективности этого состояния Фг = 1 - (1 - ф). Вероятность выполнения операции системой в целом может быть вычислена по формуле

£= 1 Мго<ГЛг2- Гп-г{гп{1~) + ЯпТЛ-Яп-г>- + ... + <7х) + <7о)-

8.4.5. Системы с мультипликативным коэффициентом эффективности. Существуют системы, которые можно считать определенным обобщением последовательных систем. Эти системы состоят из ряда подсистем, для каждой из которых может быть найден свой показатель эффективности, а показатель эффективности системы в целом представляется при этом как произведение показателей эффективности этих подсистем. В общем случае состояние каждой подсистемы (т. е. принимаемое значение показателя эффективности для каждой подсистемы) может оказывать влияние на показатель эффективности других подсистем системы. Однако если этого не происходит, то

£= П El, . (8.11)

J

где Ei - показатель эффективности г-й подсистемы.

Выражение (8.11) справедливо в следующем случае. Пусть S - состояние системы в целом, а Sj - соответствующее этому состоянию состояние г-й подсистемы, г = 1, т. Тогда необходимо, чтобы для всякого S* выполнялось следующее условие для коэффициентов эффективности состояний:

Ф(5*)= ПФг(5;). 1=1

8.4.6. Системы с пересекающимися зонами действия. Рассмотрим систему, состоящую из п элементов. С вероятностью элемент с номером г находится в исправном состоянии. Каждый г-й элемент распространяет результаты своего функционирования на некоторую зону а. В общем случае зоны действия элементов системы могут пересекаться, образовывая зоны oj, oj и т. д., на которые одновременно могут распространять свое влияние соответственно элементы i и / - в первом случае, i, jn k - во втором и т. д. Объединение всех зон действия элементов представляет собой область действия системы в целом:

а = Даг. (8.12)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [38] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199