|
| |
|
Слаботочка Книги
Рис. 9.1. Пояснение формулы для С(т, со) - вероятность того, что система может приступить к выполнению ожидаемого задания немедленно или с задержкой, не превышающей допустимого значения. Коэффициент К (т, w) можно трактовать и как отношение средних интервалов- К (т, w) = Г(т, w)/[r(T, w) V (т, w)], где т] (т, w) - первая часть длительного интервала времени восстановления (т] > т), равная iQ,, - т (рис. 9.1); \ (т, w) -все остальное время между соседними интервалами т) (т, w), равное согласно диаграмме N N+\ 1=1 i=i Здесь Л/ - случайное число коротких интервалов < т) времени восстановления между соседними длительными. Некоторые вспомогательные показатели будут введены далее. 9.2. ОДНОКАНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С НЕОБЕСЦЕНИВАЮЩИМИ ОТКАЗАМИ 9.2.1. Общий случай. Рассматриваются общая вероятностная схема для систем класса GG11, подкласса ХОХОХ (с необесценивающими отказами элементов и непрерывным контролем) и ряд частных моделей надежности, следующих из общей схемы. Система состоит из произвольного числа элементов, образующих в общем случае сетевую структуру, и выполняет задание известной длительности 4, имея непополняемый резерв времени т. Система может находиться в дискретном множестве состояний Е. Моменты переходов из состояния в состояние являются марковскими, а времена пребывания в каждом из состояний имеют произвольные распределения. Поэтому процесс функционирования системы является полумарковским и задается с помощью функциональной матрицы Р (t) = UP и (f}\\, где Р (t) - функция вероятности перехода из состояния состояние ej. Множество Е разбивается на два подмножества: Е и Е,. В Е резерв времени не расходуется, а пре-бьшание системы Е, в течение времени х приводит к уменьшению резерва времени на величину х. Для данной системы вероятность выполнения задания определяется из системы интегральных уравнений: Pi (to, т) 1 - Fi (Q + X J Pi (з-> ) dPij (х). Pi (to, t) = S \Pj (0. t -y) dPij (y), i e £i, £o и f 1. (9.1) Средняя наработка до отказа и среднее непроизводительное время до выполнения задания определяются из следующих систем уравнений: foi (т) = Г, + Д р,,. f о,- (т), i 6 Ео, f г - j xdFi (х); (9.2) 7ог(т)= S fr„,(T-x)dP,;(x), рг;=ИтР,,(0; Т.г (о) ==Ti + Pij f,j(g, I 6 El, где - среднее время пребывания в состоянии е. Вероятность выполнения ожидаемого задания находится из интегральных соотношений: Р(to, т) = S Pi(l-Fi(t) + S f Pj(to-x, t)dPij(x) + 1. Pil. \Pj(to,--y)dPij(y); te£i /e£ J Fij (0 -T7i * J [ 1 - (x)] dx, Ftj (t) = Pj,. (O/Pj,; Fi(t)frl{\-Fi(x)]dx; Pij(t)=PijFijit), Pii-Pijfij/Ti, fj; = j xdFj;(0; гЛгТг / Xjfj, Kj= S Pftj / /e£ fte£ {здесь индекс тильда относится к величинам, связанным с распределением «остаточного времени», а означают стационарные вероятности для вложенной цепи Маркова). Если система начинает функционировать с приходом заявки на стационарном участке эксплуатации, то средняя наработка до окончания резерва времени определяется из соотношения То(г)= S Pi{Ti+ S PijToj{-t))+ S S foj(x~x)dPij(x), ie£„ \ /e£ / te£, /e£ b=\xdFi(x), где Toi (t) - решение системы (9.2). Рассмотрим далее частные модели надежности. 9.2,2. Элемент с непополняемым резервом времени (подкласс 00000). Процесс функционирования элемента представляет собой альтернирующий процесс, в котором интервалы времени безотказной работы Zi чередуются с интервалами вре- мени восстановления т] (см. рис. 9.1). Все интервалы j имеют одинаковые распределения F if), а интервалы т] - распределения G, (f). Множества и Ев формуле (9.1) имеют по одному состоянию во и е,. Решение системы двух интег-гральных уравнений находится в каждом отдельном случае после того, как становится известным вид распределений F {t)v.G {t). Момент выполнения задания является моментом времени, когда суммарная наработка достигнет величины to, причем к этому моменту суммарное время восстановления должно быть меньше т. Момент отказа совпадает с моментом времени, когда оказывается полностью исчерпанным резерв времени независимо от достигнутой наработки. При экспоненциальных распределениях F {t) = \ - ехр (- Xt) и G {t) = = 1- ехр (- \it) вероятность выполнения задания при начальном состоянии и вероятность выполнения ожидаемого задания определяются по формулам: k = 0 = 1 e-«o-tx V V ML . ft = l ,=0 (9.3) (9.4) где /о (х) - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка: При вычислении конечного числа слагаемых в обоих представлениях вероятности в формуле (9.3) удается найти двусторонние границы искомой вероятности. Средние значения и дисперсии наработки до отказа и времени выполнения задания: То (т) = (1 + fi (to) = to(l + Щ); DTo (т) = (1 + 2llx)/X DTi (to) = 2XtoVii\ . Коэффициент оперативной готовности за заданное время /С(т) = 1- Для быстровосстанавливаемых элементов (т] < £) и длительных заданий (to > 1) расчет вероятности выполнения задания можно проводить по асимптотическим формулам: Р„(4,т)«Ф Р„(4, т)«Ф fv-p+1 ф(л;) = -Ь Г Q-vldy. V2n J р=Ч; 7=111; 1/2 J При фиксированной кратности резервирования т, = т/ в (9.3) и (9.4) надо Заменить т на т. При т< = [хт/Х > 1 вероятность Ро (о. Щ) с ростом сначала уменьшается, а затем вновь начинает расти. Минимальная гарантированная Вероятность выполнения задания достигается при = Xtl l/m и равна Ро (ti, m,) л; е- /41 + (1 -e:;J)/m,]. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 [42] 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |