|
| |
|
Слаботочка Книги Вероятность выполнения задания при постоянном резерве времени О I . I I I I I « I 0.1 0,2 0,3 0,4 0.5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0 2,0 2,5 3.0 3.5 4.0 5,0 0,9048 0.8187 0.7408 0,6703 0.6065 0,5488 0.4966 0.4493 0,4066 0,3679 0,1353 0.0821 0,0498 0,0330 0.0183 0.0067 0.9632 0,9267 0.8904 0.8546 0.8193 0.7847 0.7508 0,7178 0.6856 0.6542 0,3943 0.2995 0,2250 0,1673 0,1234 0,0656 0.9858 0.9704 0,9539 0,9364 0.9181 0.8990 0,8794 0,8591 0.8384 0.8175 0.6035 0,5041 0,4147 0.3366 0.2800 0,1686 0,9945 0.9881 0,9807 0,9724 0.9633 0,9533 0.9426 0,9311 0,9189 0,9061 0.7540 0,6680 0,5833 0,5022 0.4269 0.2982 0.9979 0.9952 0.9920 0,9881 0,9837 0,9787 0,9731 0,9668 0.9601 0,9528 0,8519 0,7871 0,7169 0.6443 0,5717 0,4351 0.9992 0.9981 0,9967 0,9949 0,9928 0.9904 0.9875 0.9843 0.9807 0.9768 0.9139 0,8683 0,8149 0,7558 0,6930 0.5639 0.9997 0.9992 0.9986 0,9978 0.9969 0.9957 0.9943 0.9926 0,9908 0,9898 0.9511 0.9208 0.8828 0.8380 0.7876 0.6755 0,9999 0.9997 0.9994 0,9991 0,9986 0,9981 0,9974 0,9966 0.9956 0.9945 0.9730 0.9535 0,9278 0.8956 0.8575 0,7663 0.9999 0,9998 0,9996 0,9994 0.9992 О 9988 0.9984 0,9980 0,9974 0,9853 9,9733 0.9565 0,9344 0.9069 0,8364 0,9999 0.9998 0,9997 0,9996 0,9995 0,9993 0.9991 0.9988 0,9921 0,9850 0,9744 0.9597 0,9406 0,8884 0,9999 0,9999 0,9998 0.9998 0,9997 0.9996 0,9994 0.9958 0.9917 0.9851 0,9758 0,9629 0,9256 Значения вероятностей (9.3) приведены в табл. 9.1, а вероятностей Ро (с "<) - в табл. 9.2. Средняя наработка в заданном интервале времени определяется с помощью формулы t о где у (х) - вероятность застать элемент работоспособным в момент х. При экспоненциальных распределениях: При больших t средняя наработка Tg (t) Kt. Таблица 9.2 Вероятность выполнения задания при постоянной кратности резерва 0.1 0.2 0.3 0,4 0.5 0,6 0.8 1,0 1.5 2,0 2.5 3.0 3,5 4.0 5,0 0.9135 0.8487 0.7989 0,7621 0.7329 0,7070 0.6724 0,6542 0.6288 0.6035 0.5918 0,5833 0.5769 0,5717 0.5669 0,9213 0.8737 0,8452 0.8286 0,8193 0.8142 0,8128 0,8174 0,8339 0.8519 0.8683 0.8828 0,8956 0,9069 0,9256 0.9281 0.8946 0.8801 0.8767 0,8782 О.8821 0.8935 0.9061 0.9320 0.9512 0.9647 0,9744 0.9814 0.9863 0,9925 0.9349 0.9121 0.9078 0.9114 0.9181 0.9248 0.9395 0,9528 0.9691 0.9853 0.9917 0,9951 0,9967 0.9984 0.9995 0,9406 0,9267 0.9286 0,9364 0,9451 0.9533 0.9669 0,9766 0.9882 0.9958 0,9981 0.9992 0,9996 0.9998 0.999 0,9462 0,9389 0,9452 0.9537 0,9633 0.9705 0.9814 0,9886 0.9964 0.9989 0.9995 0,9999 0,9555 0.9574 0.9678 0.9766 0.9837 0,9887 0,9930 0,9974 0.9992 0.9999 0,9632 0,9704 0,9807 0,9881 0,9928 0.9957 0.9984 0.9994 0,9999 Пример 9.1. Для решения задачи на ЭВМ-1 производительностью = =100 тыс. операций/с с параметрами = 0,05 ч-, р., = 1 ч- требуется = 6 ч машинного времени. Поскольку вероятность выполнения задания Р (f) = ехрХ X (- Kif) = 0,75 недостаточна, необходимо разработать методы повышения надежности введением структурной или временной избыточности, обеспечивающие вероятность выполнения задания не менее 0,97. Решение. При общем структурном дублировании для повышения надежности используем еще одну ЭВМ-1 в нагруженном резерве. Тогда Po(0«expf--A] = 0,975. Альтернативным вариантом является использование ЭВМ-2 производительностью Са = 200 тыс. операций/с, которая обеспечивает = 3 ч, т = 3 ч и ту же кратность резервирования tut = 1/1, что и первый вариант. Согласно (9.3) Ро (to, т) ехр (- 0,05-3){1+0,05-3 [1 - ехр (-3)] + 0,01125х Х[1 - 4 ехр (-3)]} = 0,991. При дублировании аппаратуры коэффициент готовности К = 1 -0,005/ /1,105 = 0,9955, вероятность выполнения ожидаемого задания Р (4, 0) = 0,97. При дублировании времени в ЭВМ-2 коэффициент готовности за заданное время К(х) = 1- ехр (-3)/21 = 0,9976. Вероятность выполнения ожидаемого задания P(to, т) 0,991 - ехр (-3,15) (l+0,45+0,45V4+0,45V36)/21 = 0,988. Если увеличение производительности ЭВМ-2 сопровождается ростом интенсивности отказов = 2 К, то Ро (4, т) = 0,981. Если же = «х. то вероятности Ро (О и Ро (to, т) выравниваются при а = 2,53. Если же Cg = bC,, то р = = 0,3/6, Y = 6 (1 - 1/Ь) и вероятности выравниваются при b = 1,6, т. е. запас производительности в 60% эквивалентен установке второй ЭВМ-1. При произвольных распределениях наработки и времени восстановления вероятность выполнения задания следует рассчитывать по асимптотическим формулам: Ро (4, т) « Ф ((t-.Ti yToVYTi to То {ol То- + а? ГГ)). Ро Но, Ф ((0 (1 + -] -о) / Ут1гтГШ + о!тг), оо Tii:xdG(x); (9.5) оЬ = dF (х) -Гo; af = f dG (х) -Т1 Средние значения и дисперсии наработки до окончания резерва времени и времени выполнения задания при больших to и х определяются по формулам: 70 () = (1 + /71). Tl (to) =to{l + Ti/To); (9.6) Шо{х)=хТ1тг{о1То + а\ТГ\ DTi ifo) = to f\ fo- id fo" + o\ fV% (9.7) Коэффициент готовности за заданное время /C(T) = l-(f„ + rO-\f[l-G(x)]dx. (9.8) Расчетные формулы при гамма-распределении наработки F (t) = I (К, Xt) и времени восстановления G (t) = I (г, [xf) приведены в табл. 9.3, а при распределении наработки Вейбулла - Гнеденко F (t) = I - ехр { - (Xty} и гамма-распределении времени восстановления G it) = I (г, [it) - в табл. 9.4 (здесь Г (х) - - гамма-функция). Используемые в этих формулах коэффициенты atj и С, приведены в табл. 9.5 и 9.6. Пример 9.2. Система, имеющая распределение наработки Вейбулла-Гнеден-ко с параметрами m = 0,7 и ?i = 0,0104 ч- и экспоненциальное распределение времени восстановления с параметром р = 1 ч-, должна выполнить задание, требующее при безотказной работе непрерывной наработки в 4 сут. Для повышения надежности создан резерв времени т = 4 ч. Необходимо найти вероятность выполнения задания, среднюю наработку до окончания резерва времени и среднее время выполнения задания. Решение. Вероятность выполнения задания находим по формулам табл. 9.4 при р = iXto)= (0,0104-96)" = 1, -у = рт = 4. Используя коэффициенты из табл. 9.5, получаем верхнюю и нижнюю оценки при различном числе слагаемых в формулах: Ро = 0,3679(1+0,9817)+0,1839(-0,3293-0,9817+1,3293-0,9084)+ +0,0613 (0,09358 - 0,9817-1,1418 - 0,9084+2,0482 - 0,7619)+0,0153 X X (-0,9817-0,025+0,9084-0,6974-3,1575-0,7619+3,4852.0,5665); р„= 1-0,0067-0,1839 (0,0183+1,3293-0,0733)-0,0613 (0,0183 + +0,9064-0,0733+2,0482-0,1465)-0,0153(0,0183+0,0733-0,025+ + 0,1465-0,3276+0,1954-3,4851). Результаты расчетов сведены в табл. 9.7. 9.2.3. Элемент с мгновенно пополняемым резервом времени (подкласс 10000). Элемент функционирует так же, как в предыдущем случае, но момент отказа устанавливается иначе. Отказ наступает в момент времени, когда время восстановления после очередного нарушения работоспособности превысит резервное время Tl, которое в общем случае является случайной величиной с заданным распределением Ф (t). Интервалы времени т] <; Xj («короткие интервалы») либо включаются, либо не включаются в полезное дело. В первом случае вероятность безотказ- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 [43] 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |