|
| |
|
Слаботочка Книги При экспоненциальном распределении времени восстановления 7\=-[1-ф(1А)]; фИ; а1=Г/е--{аФ(о + [1-ф(/)]а((хО} и среднее время выполнения задания Тг (to) « /„ {1+ ф (fx)/[l - ф (fx) + fxr„)]}. При Ti=ii fAto)=to{l + e->4ln + Hl -e-•)]}. (9.16) Пример 9.4. Технологическая линия с интенсивностью отказов к = - 0,05 ч- и средним временем восстановления г) = 10 мин допускает перерывы в работе на время, не превышающее 15 мин. Если простой более длительный, то поставки продукции на выходе линии осуществляются за счет запасов, которых хватает для компенсации простоев в течение 30 мин. Необходимо найти вероятность безотказной работы линии в течение /о = 5 ч и среднее время до исчерпания запасов. Решение. Исходные данные для расчетов: fx/ = 15/10=1,5; 0,25; Ых = 0,05-0,25 = 0,0125; р,т = 3. Вероятность безотказной работы линии рассчитываем по формуле (9.14): Ро = 0,9974. Среднее время выполнения пятичасового задания согласно (9.16) равно Ti (/о) = 5 (1 + ехр (-1,5)/[1 - -ехр (-1,5)+120]} = 5,008 ч. 9.2.5. Последовательная система с непополняемым резервом времени (подкласс 00000). Система из п последовательно соединенных элементов функционирует так, что после отказа любого элемента [время до отказа имеет распределение Р,- (/)] восстановление работоспособности происходит за счет непополняемого резерва т в течение времени ri, имеющем распределение Gj (/). Во время ремонта новых отказов не происходит. Отказы обнаруживаются немедленно с помощью системы аппаратного контроля. В математической модели исходной системе ставится в соответствие полумарковский процесс с (п + 1)-м состоянием: - система работоспособна, i= 1,..., п, - система неработоспособна, а i-й элемент ремонтируется. Согласно общей схеме вводим два подмножества: = evi Ег = = {ей i = 1,..., п). В системе уравнений (9.1) функции вероятностей переходов: Poiit)==Ui~Fjx)]Ki{x)dx; р„(/) = 1-П [1-И/)]; Pioit)=Gi{f); К it) = Ri (0Я1 - Ri (01- При экспоненциальных распределениях Р,- (t) = I - ехр (- kit) и G; (f)- = 1 - ехр (- Hit) Р„(/о.т)=е-«. 1+2 i?G*<).(T) ,4 = 2 К (9.17) где G*<) (/)-i-кратная свертка G (О = У - [ 1 - ехр (-fx i)] Отсюда следует, что при одинаковых Gj (f) система может быть заменена одним эквивалентным элементом с интенсивностью отказов к. Если же fXj различны, то вычисление сверток надо проводить численно. Таблица 9.8 Показатели надежности последовательной системы (подкласс 00000) Показатель Расчетная формула То (Г) DTo(x) Тг (to) DTx (to) (n ч П pT+S Pi/R /Р Рг = ?г/хг, p= S Pi /=1 / 1=1 2тД P£/liz+5(2 Pi/w) Рг/Ji, /P (1 + P) 0 При распределениях наработки Вейбулла - Гнеденко Rt (t) = 1 - - ехр [- (Xif)"! вероятность выполнения задания определяется по формуле из табл. 9.4, в которой функция / (п, у) должна быть заменена функцией G*(> (t), а (9.18) Расчетные формулы для моментов случайных величин Го (т) и (to) при экспоненциальных распределениях приведены в табл. 9.8. При других распределениях показатели надежности можно рассчитать по формулам (9.5)-(9.3), если удается свести систему к одному эквивалентному элементу. Пример 9.5. Система состоит из трех элементов с показателями надежности: Ki = 0,02 ч- = 0,001 ч- Ks = 0,0001 ч- fXi = 6 4" fx = 0,6 ч- fXg = = 0,09 ч-. При выполнении задания длительностью о = 16 ч допускается задержка в выдаче резу.,ьтатов на время 20 мин. Найти вероятность выполнения задания, средние значения и дисперсии наработки до окончания резерва времени и времени выполнения задания. Решение. Расчет вероятности выполнения задания проводим по формуле (9.17). Для упрощения расчетов при вычислении сверток заменим G (t) на Gi (О либо на iGi (t) IK К = К + + к. В первом случае получим оценку сверху, во втором - снизу: Ро (to, t) = ехр (-0,0211-16) (1+0,3376 (0,9479 [1-ехр (-2)] + + 0,0474[1 - ехр (-0,2)] + 0,00473 [1 - ехр (- 0,03)]) + 0,057- (0,9479) [1- -3 ехр (-2)] + 0,0064-(0,9479)= [1-5 ехр (-2)] + 0,00054- (0,9479)* [1-6,333 X X ехр (-2)]} = 0,7135 (1,2796+0,9479-0,034) = 0,9360; Ро (to, -с) = 0,7135 (1,2796+0,036) = 0,9387. В отсутствие резерва времени Ро (t) = 0,7135. Среднее время выполнения задания fl (to) = 16 (1 +0,02/6+0,001/0,6+0,0001/0,09) = 16,1 ч. Дисперсия D = 32 (0,02/36+0,001/0,36+0,0001/0,0081)=0,5017; о VOTIg =6,7083; г = o/ri(g = 0,044. • " Средняя наработка до окончания резерва времени Го (т) = (0,0061/3+0,01568)/0,006F = 474,4 ч. Без резерва времени Го (0) == 47,4 ч. Выигрыш в надежности Gt = Ю. Дисперсия наработки DTo (т) = [32.0,0157+0,015770,0061-4(0,02/216+0,001/0,216+0,0001/ /0,00073)] = 593 ООО ч Оо = 770 ч; г, = ojfo (т) = 1,62. 9.2.6. Последовательная система с комбинированным резервом времени (подкласс 20000). В систему, рассмотренную в предыдущем пункте, дополнительно вводится раздельный мгновенно пополняемый резерв времени Гц, расходуемый при отказе только t-ro элемента {i = 1, п) и имеющий распределение Фг (t). Непополняемый резерв т расходуется только после окончания резерва Хц и доступен любому элементу. Вероятность выполнения задания находится из системы интегральных уравнений: Ро (/о, V = 1 -Fo Но) + il J Pi (to T) dPoi ix); i = 1 n Pi{to,t)=n~Gi(Q]11 Ф,(gj + J" [ 1 -Ф,(x)]P,(to-X, T)dG, {X) + + J dOi (x) j Po (0 ~x,x + xy) dGi (y), t = 1,..., n, (9.19) вид: При Gi (t) = I ~ exp (-Hit) и Ri (f)=l - exp (- kit) решение (9.19) имеет o(o. T) = e-p + РОпкцг) ; р=Л/о-2 AiXxi-, (9.20) Л =2 Ai, Aikipidii): G(T) = y -[l exp(-fXjT)]; /„>maxTij 1 = 1 Другие показатели надежности приведены в табл. 9.9. Индексы в (т) соответствуют описанию в п. 9.2.4. При п = 1 из формулы (9.20) и табл. 9.9 получаются формулы п. 9.2.4, а при т = О - формулы п. 9.2.3. 9.2.7. Система с непополняемым резервом времени и общим структурным резервом (подкласс 00100). Система содержит п основных и k резервных элементов. При экспоненциальных распределениях наработки и времени восстановления элементов, одной ремонтной бригаде и полном восстановлении системы после отказа k + 1 элементов вероятность выполнения задания определяется по формуле Ро(/о,т)е-./~о 1 + 2 -f (W (fei.) 1=1 (9.21) i=OS=0 /=1 где kl и fXj - интенсивности переходов в марковском графе состояний. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 [46] 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |