|
| |
|
Слаботочка Книги Таблица 9.9 Показатели надежности последовательной системы (подкласс 20000) Показатель Расчетная формула То{т) П оо Pi, п+г=Фг (Xj). Л= .S h Pi, n+i/Xi4, Фг (p,0 = JedOj (x) Xiii X Хфг(1Аг) х!+гЛ -It- , Гг=-[1-фг(г)], a2£=Y J« КЧт) p «1 Если после отказа система возобновляет работу сразу же, как в ней оказались работоспособными п элементов, то Р„(„,т)«е-лл i = l Л„ = 1/Г„, л, При скользящем нагруженном резервировании с кратностью k/n и произвольных распределениях наработки элементов F (t) и времени восстановления G (t) для вероятности выполнения задания получены приближенные формулы, использующие асимптотические выражения для показателей надежности резервированных систем при быстром восстановлении: о(о.т)=; --[Яо(д]-ехр{-ЯЛд}/(1,т), Т = - In (1 - G (т», Яо (д = j /1о (X) dx. -Л\ (r-\y. Kit) = {h{f)f+y[\-G{u)]dA 0 \x J G(0 = b- -G(w)]dM] [\~G{x + t)]x--dxl\x oU J /о X{\ [\-G{u)du где h (t) - функция интенсивности потока отказов неизбыточной системы; г - число ремонтных бригад. При общем резервировании с целой кратностью 1/п и г = п + 1 для системы с нагруженным резервом /1„ (t) « (п + 1)" [h (0]«+; G (О = G it). При ненагруженном дублировании Я„(/о) = 9У1; 9 = f [l-G(x)]dF(x); l=xdFixy, v =-ln[l-G(t)]. Пример 9.6. Система из двух ЭВМ производительностью 100 тыс. операций/с, одна из которых находится в нагруженном резерве и при безотказной работе выполняет задание за время / = 6 ч. Распределения наработки и времени восстановления экспоненциальные с параметрами X = 0,05 ч" и fx = 1 ч~. Вероятность выполнения задания Р (t) ехр { - 2ХН1{Х + р,)} = 0,974. При модернизации процессор заменен более быстродействующим, обеспечивающим производительность ЭВМ С = 150 тыс. операций/с. Найти вероятность выполнения того же задания в том же интервале времени, полагая, что параметры Я и р. не изменились. Решение. Согласно исходным данным: k = \; /д = 6/1,5 = 4 ч; т = == 6-4=2 ч; Ло = 4,35-10-=» ч- = 4,55-10-=" ч-; fx = fi; fxx = 2; Ai4= = 0,0182. Вероятность выполнения задания Pq (о> = ехр (- 0,0174) (1 --+ (0,01754/0,01835) (0,0182 [1 ехр (-2)] + 1,65-10-41-3 ехр (-2)])} = = 0,9976. Вероятность срыва задания уменьшилась в 11 раз. Для сравнения заметим, что одиночная ЭВМ производительностью 150 тыс. операций/с выполняет это же задание с вероятностью 0,971. 9.3. ОДНОКАНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ОБЕСЦЕНИВАЮЩИМИ ОТКАЗАМИ 9.3.1. Общий случай. Рассматриваются общая вероятностная схема для систем класса GG11, подкласса ХХХОХ (с обесценивающими отказами и непрерывным контролем) и ряд частных моделей надежности, следующих из общей схемы. Рассматриваемая одноканальная система имеет два подмножества состояний: £о - работоспособные, £1 - неработоспособные. В состоянии е Е, система за время X выполняет полезную работу объема л; и не расходует резерва времени. При переходе из состояния е Ев состояние е Е вся накопленная к этому времени наработка обесценивается. При этом резерв времени у мгновенно уменьшается на величину х, а если х> у, то переход немедленно приводит к срыву задания. Обесценивание наработки связано, с неустранимыми наблагоприятными последствиями отказов для результатов уже выполненной работы - искажением промежуточной информации или разрушением программы в вычислительной системе, неустранимым браком в технологической системе и пр. В состоянии е Е, наработка не накапливается, а резерв времени за время х уменьшается на величину X. После перехода из Е, в Е, выполнение задания начинается заново. Если случайный процесс функционирования полумарковский с вложенной марковской цепью, характеризующейся матрицей Р = \\рц\\, а интервалы вре- мени между соседними изменениями состояния имеют произвольные распределения Fij (t), как и в § 9.2, полумарковский процесс задается функциональной матрицей Р (f) = \\Pij (Ш при этом pij = Пт Pij (t), а Рц {t) = Pij {{)1рц. t->oo Вероятности выполнения задания длительности при наличии непополняемого резерва времени т и начальном состоянии i определяются из системы интегральных уравнений: Pi (to, Т) = 1 - f, (to) + S t Pi (0-X, T) dPij (x) + leEo 0 + 2 f 7 (to, t-y) dPij (y), i e Eo, Pi Ho, = S f P(tc dPij(x), ie Ex, E = E,\]Ex, a =--min т). (9.22) После преобразования Лапласа - Стилтьеса (9.22) сводится к системе алгебраических уравнений: Pi (to, «) = 1 - f, (g + S a, j (to, «) PJ (to, «), i e Eo, (9.23) P! (to,«)=S a,,- (©) p/(„,«) i e Ex, где а,-у и Pi - преобразования Лапласа - Стилтьеса, определяемые как ciij (to,«) = I е-*-dPij (х); Pt (to, «) = О) 5 e-*(o. т) dx. Средний расход резерва времени до выполнения задания to находится из системы уравнений - » Ti (to) = Ti (to) + 21 Pij (to) T2j (to), i e o". Ti (g = \ xdFi (X); TM=Ti+Piif2i(to), iEx, fi=\xdFi(x). iE i Из общей схемы получаются результаты для частных случаев. 9.3.2. Элемент с одноэтапным заданием (подкласс 01000). Элемент с распределениями наработки F (t) и времени восстановления G (f) может находиться в одном из двух состояний: во или е. Поэтому имеем: Р*о (to, со) = 1 - f (g + Pt (0. «) f e-*- dF (X); Pi (to, «) Pt (to, «). SH =5 e--dG(x). Отсюда при P(0 = 1 -exp(-W), G(0 = 1-exp(- PS(g cu) = (1 +a)e-«o/(i +ae-(>+)o), a =Хц/а)(а) + К + 11). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [47] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |