|
| |
|
Слаботочка Книги В случае сбоев р = I, At (t) = (-iy(Kty/il. Расчетная формула 0(0. т) = 2 е-<+>"« (-ly -у- {t-ito)Y (r-ito)/(i +1)]. (9.25) Из разложения Р* (to, со) по степеням со получены расчетные формулы для среднего значения и дисперсии времени выполнения задания: (to) = to+ [Ti F (to) + To (to)]/l 1 - F (to)]; (to) = [P2 F (to) + 2tX(to) + «2 i~F(to)] + + 1ТгР (to) + To (to)f/[ 1 - F (to)f; a, = J dF (x), P2 J dG (x); To(to)=xdF(x), Tx = jxdG(x). 0 0 При экспоненциальных распределениях: Ti (to) = (To + 7\) [exp (kto) -1 ]; DTi (g = f\ (to) + (e". -1) (Pi+2To f 1) + 27 g (eo1 -Я/, e"-) - -2/o7\e»«. В случае сбоев: Ti (g = [exp (%to) - 1]/?; (9.26) D7i(o)=[(e"« -l) + 2(e"« -l)-2;./oe"lA (9.27) Пример 9 7. Ha ЭВМ с потоком сбоев интенсивностью Я, == 1 ч- и полнотой аппаратного контроля а = О 9 решается задача длительностью t, - 2 ч. Полагая, что все сбои, обнаруженные аппаратным контролем, исправляются, а прочие сбои обнаруживаются с некоторой задержкой средствами функционального контроля, но обесценивают всю предыдущую наработку, необходимо оценить требуемое резервное время, достаточное для того, чтобы вероятность решения задачи была не менее 0,95. Каковы среднее значение и дисперсия времени решения задачи? Решение. Вероятность решения задачи за минимальное время P{to)- = ехр{- (1 - а) Ktg) = ехр (-0,1-2) = 0,82 < 0,95. Поэтому необходим резерв времени. Согласно (9.25) Ро (to, т) = ехр (- Kt,) (1 + рЯ,т), р = 1 - а. При т = 0 -Ро (оо) = 0,98 > 0,95. Поэтому т находим из формулы т = = [0,95 ехр (Ыо) ~ ПфХ = 1,6 ч. Из -(9.26) и (9.27) находим: Ti (to) = = 10 [ехр (0,2) - 1] = 2,21 ч; DT, (to) = 100 (0,221 + 2-0,221-0,4-1,221)= = 0,326; а = = 0,57 ч; г = о/Т, (to) = 0,26. /o(o,Tj=2 И£(1-г-/о)-Лт(т-аде-< + )"«. mi = j-; (9.24} 1 = 0 " 9.3.3. Элемент с многоэтапным заданием (подкласс 01000). Чтобы уменьшить обьем обесцененных работ при отказе, задание разбивают на этапы одинаковой длительности и обеспечивают защиту выполненных этапов от обесценивания. В ЭВМ это достигается установкой контрольных точек и запоминанием промежуточных результатов расчета в контрольных точках. Тогда при п этапах длительностью 6 = tjn вероятность выполнения задания определяется по формуле Ро (to, г, п) = е-"о 2 е-е с;,+, , С 1)/ А,,, (т-Ш). (9.28) 1=0 ;=0 Функции А г (f) определяются по формулам (9.24) или (9.25). Среднее значение и дисперсия времени выполнения задания: fl (/о, п) = п (То + Tl) (ее 1), = 1Д; DTi (to, п) = f? (to, n)ln + n (ee 1) (p, -f 2То - 2f„ 6) -f- -f - 2f 0 (n п-пЩ 2nQfi e»e. Чтобы учесть время 6 на образование контрольных точек, надо положить 6 = = to/n + 8, а rrit в (9.28) заменить на гпц = %*Ио, т* = т - п6. Оптимальная длительность этапа, при которой среднее время выполнения задания минимально, определяется по формуле 6о1=12[1-ехр(-;.6)]Д. Оптимальное число этапов «01 = tol% = Яу1/2[1-ехр(-;.б)]. Среднее время выполнения задания при оптимальном числе этапов 7\ (0, Пи) = Шо (То + 7\) [ехр. (.Gi + Щ - 1]/ XQox- Оптимальная длительность этапа и оптимальное число этапов, обеспечивающие максимальную вероятность выполнения задания, находятся по формулам: Qo2 = {Vm + l)/tnt, no2=o(V/n,-f-l -1)/6, mt = r/to. Пример 9.8. В системе, рассмотренной в примере 9.7, задание разбивается на 100 этапов, время образования койтрольной точки 6 = 1 с. Найти резервное время и оптимальные длительности этапов, обеспечивающие максимум вероятности и минимум среднего времени выполнения задания. Решение. При 100 этапах 6 = 120/100 = 1,2 мин. При = 6 Я,т. = = 0,002 и вероятность Ро = ехр (- 0,2) [1 -f- 100-0,002 + Cfo 0,002/2 + + Qoo0.002V6] = 0,991. Это значение больше требуемого, равного 0,95. Поэтому необходимый резерв времени •< 6, и для его расчета нужно использовать формулу (9.28) при t =0. Расчет дает, что требуемая вероятность Ро=0,95 достигается при ~ 0,0155 ч = 56 с. Тогда т = 56-f-101 = 157 с, т. е. добавляя, к минимальному времени = 2 ч резерв времени т = 2,62 мин (кратность резервирования ntf = 2,18 %), можно увеличить Ро от 0,82 до 0,95. Оптимальная длительность этапа = 92 с. Оптимальное число этапов Прг = 7200/92 = 78. Отсюда = т - «02 = 79 с. Вероятность выполнения задания Pq (q, П02) = ехр (-0,2) (1 + 78-0,00217 + С?8 0,00217/2 + С 0,002176] = 0,963. Среднее время выполнения задания при 100 этапах Ti (4) = 100-10 [ехр (0,00203) - 1] = 2,03 ч-Дисперсия DTi (/о) =2,037100-(ехр 0,002-1) 20-0,02+200-100 [ехр (0,002)- - 1-0,002] = 4-10- ч а = 2-10-* ч, г = 10-*. Оптимальное число этапов «01 = 7200/]/-10-3600 = 27среднее время выполнения задания Ti (пои 4) = = 2 (ехр (/2y + т) - 1]/К2т = 2,015 ч, v = 9.3.4. Последовательная система (подкласс 01000). Система состоит из эле -ментов с функциями распределения наработки Ri (t) и времени восстановления Gi (f): Расчетная формула для вероятности выполнения задания 4 при непополня-емом резерве т находится путем обращения преобразования Лапласа (9.23): Poito,-)=[l-Po(io)] 2Фп(д-г), i-Fo(to) n-Ri(to)]- п=0 г=1 Функция Ф„(/о. т) - п-кратная свертка по переменной т функции Ф (to, т) получаемой обращением выражения Ф (to, со) - 2 fi (со) 5° е-dPoi (X); Pot (О = f [ 1 -Fo W h (x) dx. »"=! 0 0 В случае сбоев Ф (to, т) = Fo (min (0, т)). При /П( < 1 Ф (tot) = Fo (т), и тогда . PAh, т) = [l--Fo(gl[l + H(t)], где Я (т) - среднее число сбоев за время т. При одинаковых С, (/) и Ri (t) = = 1 - ехр (- Kit) расчеты показателей надежности следует вести по формулам, приведенным в п. 9.3.2 и 9.3.3, при Я, = 2 г. • 1 = 1 9.4. ОДНОКАНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СО СЛУЧАЙНОЙ ЗАГРУЗКОЙ 9.4.1. Предварительные замечания. Особенность систем этого подкласса состоит в том, что они выполняют операции или задания по заявкам, поступающим в случайные моменты времени. Процесс функционирования может нарушаться отказами элементов, обнаруживаемыми системой контроля и устраняемыми путем ремонта или замены отказавших элементов запасными. Из-за случайной загрузки возникают периоды незанятости и появляется возможность устранить отказ до поступления заявки на выполнение задания. Рассматриваемые системы могут отличаться по следующему признаку. В одних системах задержка в начале обслуживания недопустима, в других она может бьп-ь не более заданного или случайного значения х,. Будем говорить, что в первом случае система не имеет, а во втором имеет пополняемый резерв времени. 9.4.2. Элемент с непополняемым резервом времени. Рассмотрим две модели. В модели 1 длительность задания настолько мала по сравнению с наработкой элемента на отказ, что ею можно пренебречь. Наработка между отказами, время восстановления и интервал между моментами поступления заявок являются независимыми случайными величинами с произвольными распределениями F (f), G (t), А (f). Тогда средняя наработка до отказа с учетом временной избыточности определяется по формуле 0 (Z*) = {Го + М [min(Г), z)]}. То-. = J xdF(х), (9.29) glll-G(f)]dA*(t); ©Щтт(ц, z)}.-j [U-A*(t)][l-G(t)]dt, t oo Л*(0 = --[1-Л(х)]йх, zr\,{U~A(x)\dx; 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 [48] 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |