|
| |
|
Слаботочка Книги 9.5.2. Система с гибкой структурой и бригадным заданием. Рассматриваются две модели надежности. В модели 1 интенсивности отказов каналов постоянны, а времена восстановления имеют экспоненциальные распределения. Число ремонтных бригад г произвольное от 1 до т. Многоканальная система может находиться в одном из состояний ей i = О,..., т, где i - число отказавших каналов. Переход из состояния в gj+i происходит с интенсивностью Л, а в gj-i - с интенсивностью Mi. Пусть также Cm = тС и система выполняет задание, требующее при безотказной работе всех каналов времени to- Избыточное время т = t - - 0- Отказ системы наступает в тот момент, когда суммарное время простоя всех каналов превышает значение тх. Вероятности выполнения задания Pi {to, т) при начальном состоянии определяются из системы интегральных уравнений: Po(/o,T) = e-A.<.+ J P,(ro-x,T)Aoe-Ao-dx; о Рг(о.т)= г \KiPiJto~x,x--L.x\ + MiPiMo~x,x~x JL \ т т / \ т ml (Л, + м.). Г д т-/--i \ (9 39) L m~i J \ m-i I Рш {to, -f) = J Mm exp{~Mm X) Pm-1 (to, T-x)dx; /ит/i, (m-i) T ito, irdoKm-t), (/n-t) T > ito. Здесь обозначено 1, если x>0, если xO. Двойное преобразование Лапласа - Карсона оо оо РГ (S, (0) = SCO J f Рг т) е -« dto dx позволяет свести (9.39) к системе алгебраических уравнений: РГ(8,С0)--РГ(8,(0) = Ло+s s+Ло РГ (s, со) ~ ""+ ")] S (m-t) s(/n-/) + »"сй+/п(Лг+Л(г) s (m-j)-f ш+иг (A+Mj) / = !,...,m-l; p- (s, (0)-- p- , (s c) =0, Лг ={m~i)%. (9.40) Средняя наработка до отказа МС определяется из системы уравнений: ГоИ-Г;(«) = 1/Ло; f;(co)- Ti (со)- m-\-m(Ai-\-Mi) т-i -Г; :(со)=0; (Af.+i(co)-fM,f- i(co)) = , i = l,..., m-1; Ti (co)=a) j Ti(T)e-dT. Для невосстанавливаемой системы решение (9.40) и последующ,ее обратное преобразование дают формулу, удобную для расчетов при малых значениях кратности резервирования /и = xltf, и больших т: [(тт/)(т+/.)] Ро(дт)== 2 m(-l)(m-/C)-ie-«.w«X т--1
При больших m-t удобнее пользоваться следующей формулой: m-I [тт/(т+/о)] ух РоНо, т)-1- 2 - {/ЧУе-»- 2 (7) т - i (m-l)\ X LTSi {K[m~i)toix)} e-««i, где C(flO = У 1 (- l)(aO"n (m + t+/)-псухиномы i=o\i/ i=i Лагерра m-ro порядка. Расчетные формулы при m=2,3 и 4 приведены в табл. 9.14.. Средняя наработка определяется по формуле То{г) = - 1т-I ( 1)/-1 t X Х ехр { - (m-/) mXr/j} Для восстанавливаемой системы средняя наработка до отказа при /и = 2 и 3 и неограниченном восстановлении определяется по формулам: То (т, 2) = + т + [ 1 - ехр (-2 (Я + fx) т)]/2 (К + fx) т; (9.41) Го(Т,3): - 1 + --П -COS (Лз т) е-л.х] + Л+Л1 Лl=-(2Я + x) Л2 = -(5X + 3fx), A3 = 4-"*(f")(9+7fA) f>-При больших m и т можно пользоваться асимптотической формулой 1 , Ml То (г): Вероятность выполнения задания невосстанавливаемой системой с бригадным заданием Яо (to, г, т) [l+2Xmin(o, T)]e~"» (l+2vi + vf/2)e-p, x<tj2, Vi=3Xt, pi=3?i,<o, [1+ Pi+Vf/2-(2Vi-pi)V3!] e-p, tj2 < r < 2to, (l+Pi+pf/2)e-p,t>24 (l+3vi+3v?/2+7?/6)e-P, t < tJS, yi=4Xx, Pi=4A/o, [l + Pi-p?/4+3pi7i/2-3v?/4 + 7?/6-(3vi-Pi)V96]e-P, -- < т < p. (l + Px+YP? + T!-PxT?+P?Tx-9-6P?)e-P> , „<t<3.„ (l+Pi+P?/2-bpf/3!)e-Ps t>3„ В модели 2 предполагается кроме независимости отказов еще и независимость восстановления различных каналов. Введем функцию Qj** (mtQ, t, m) = 1 - -Pi(to, t-/о. trC). Тогда вероятность срыва функционирования можно вычислять с помощью рекуррентного соотношения Q<o>(mg t, m)=Q\,(mto~{m~\)t, + [1-f (OIQ*Ио- m-1) + 4-JQj,>(m/o-1)4Q[,>(a:,0, (9.42) где a -= max [0, mto-{m - 1) t]; b = min {mto, t); Qj,** (o. 0 = 1 - (o. t-io), Po (to, i) -вероятность выполнения задания одним каналом при наличии резерва времени х, определяемая по формулам § 9.3 и 9.4; F (f) - функция распределения наработки канала до отказа. Расчет с помощью формулы (9.42) проводится с использованием численных процедур. 9.5.3. Система с гибкой структурой, бригадным заданием и общим структурным резервом. Система состоит из т основных элементов, образующих пучок параллельных каналов, и п резервных элементов. Резервные элементы не закрепляются за каналами, а могут заменить при отказе любой из них. Система может находиться в одном из состояний Bi, i = О,..., т + п. Причем в - она имеет максимальную производительность = тС, а в е„+г (i > 0) производительность Cm-i = (m - i) С. Обозначим через Fq (f) и f „ (О - функции распределения времени до первого выхода в состояние e„+i при условии, что начальным было состояние 0 или е„ соответственно. Тогда вероятности Pi {to, т, т) можно найти из системы интегральных уравнений: 0 (0. f) = 1 -0 (to) + J Pni(to-x, X) 0(x); Pn (to, t) - 1 -f „ (to) + J /«-и (0-. -f) dFn (X); 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [51] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |