|
| |
|
Слаботочка Книги При дообслуживании прерванного требования в общем случае h(s)= ехр(-St)Р(6is), t) dB(0; S г ехр (-sO Р (Z, t) dt = -LllifL. если С (О = 1 - ехр {-ct), О О, t > О, то: ft (s) = Р (S + с - ей (s)); Ш = МР (1 + сМб); Dft = DP (1 + сМб)2 + сМрЮб + (М)2б]; если Б (О = 1 - ехр (-b > О, t > О, то: s-i-й i 6{s)7(s + 6) 1-v (6) Dft =Dp + JiМб. 1-V (6) При обслуживании заново прерванного требования без учета длительности предшествовавшего обслуживания преобразование Лапласа - Стильтьеса, математическое ожидание и дисперсия определяются соотношениями: В общем случае оо " г оо ~ - 1 ft(s) = J exp{-su)[l-C{u)]dB{u) 1-6(s) j ехр{-sv)[lВ(v)]dC(v) ; 0 L 0 если С (t) = I - exp (- ct), с > 0, t > 0, то: сб (s) c6{s) /j s + c D/i = (c- + D6) (- 1) + mf + (c- + Мб) (Mft + ); [P (c)] если Б (0 = 1 - ехр (- bt), fc > О, Г > О, то создается ситуация, эквивалентная дообслуживанию прерванного требования: h{s) = l-T (s+b) S + Й 1-6(8)7(8 + 6) 7 (Й) Мб 1-7(6) • Dft=DP+ <)P + vWM6-271(6Lm6. 1-7(6) [1-V(W 10.2. СТАНДАРТНАЯ ОДНОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ 10.2.1. Описание системы. Входящий поток требований пуассоновский: Л (О = 1 - ехр (- at), а> О, t > 0. Прибор ненадежен как в свободном, так и в рабочем состоянии. Допускается неограниченная очередь. Выражение для загрузки системы имеет вид р = oMh. 10.2.2. Число требований в системе. Производящая функция стационарного распределения L имеет вид P{z)=P (0) h(a-az), h (a-az)-2 где p (0) = (-Р)П-е(а)ф(а)] R (z) = Ro (z) = . z +--[Ф (a -az)-Ф (a)] представляет собой производящую функцию распределения случайной величины R - числа требований, поступивших в систему к началу обслуживания прибором требования после того, как система была свободной; при этом jRR /и 1-е(а)+е(а)оМф 1-8(а)ф{а) DR = -IS- [Оф + (Мф)] + MR (1 -MR). 1-8 (а)ф{а) Тогда Р (0) = (1 - p)/(MR). Для математического ожидания и дисперсии L справедливо соотношение 2(1-р) 2R (1) ML- р1 "[Р+(М)] I е(а)аМРф+(Мф)] 2(1-р) 2[1-8(а) + 8(а)еМф] 3(1-р) 1 2(1-р) J 3[1-8 (а) + 8(а)оМф] е(а)а[Рф + (Мф) 2[1-8(а)+8(а)сМф] /1з = -/1"(0). 10.2.3. Характеристики для дисциплины обслуживания FIFO. Преобразование Лапласа-Стилтьеса стационарной функции распределения времени пребывания требования в системе v (s) определяется следующим соотношением: Р (z) = V (а - az). В связи с тем, что w (s) = со (s) h (s), для преобразования Лапласа - Стилтьеса времени ожидания требованием начала обслуживания справедливо выражение 1-р [1-8(а)]5+е(а)а[1-ф(5)] 1-8 (а) + 8 (а) оМф S-а+оЛ (s) Между математическими ожиданиями и дисперсиями случайных величин L, и и (О справедливы связи: Му = М(о + Mh; Dv = Da + Dh; формула Литтла ML = aMv и DL = aDv + ML. Непосредственно для Мю и Deo имеем: jtj- а[РА + (ШП , 8(а)а[Рф+(МфП 2(1 -р) 2[1-8(a) + 8(a) сМф] 1-р L 3 2 1-8(a) + 8(a) aMфL 3 2 10.2.4. Характеристики для дисциплины обслуживания LIFO. Для преобразования Лапласа - Стилтьеса стационарной функции распределения времени ожидания начала обслуживания справедливо представление tjL(.)- (l-p)tl-6(fl)] a[l-H-(s)] (l-p)fl6(fl) 1-ф[8 + а-ар(5)] 1 -6 (а) + б (а) аМф [s-j-a-(s)] 1 - б (о)-j-e (а) сМф s-j-a-ар (s) где функция р (s) однозначно определяется уравнением р (s) = ft [S + G - ар (s)l, R es > О, p (s)< 1, p (0) = 1. (10.1) Математические ожидания времен ожидания начала обслуживания при дисциплинах FIFO и LIFO совпадают: М(о = М(о. Дисперсия времени ожидания начала обслуживания при дисциплине LIFO имеет вид DO) + (МСО) +-2 3(1-р)2 1-р I-8(a) + 8(a) еМф 3(1-р) ае(а)[Рф+(Мф)2] Мю 1 -8 (а) + 8 (а) аМф 1 -р Отметим, что дисперсии времен ожидания при дисциплинах FIFO и LIFO свя заны соотношением Dы (1 - р) = D(o -f р (М(о)2. Преобразование Лапласа - Стилтьеса времени пребывания требования в системе, так же как и для дисциплины FIFO, имеет представление (s) = (0 (s) ft (s) CO всеми вытекающими отсюда последствиями: Mv = Mw = М(о + Mft;. Dv = Deo + Dft. 10.2.5. Период занятости системы. Преобразование Лапласа-Стилтьеса периода занятости системы требованиями имеет вид П (S) =-(s)+ (p(s + a-ai.(s))-cf(a) 1-Е(а)ф(а) 1-8(а)ф(а) ap(s)-s где р (s) - функция, однозначно определяемая из (10.1). Для математического ожидания и дисперсии периода занятости системы требованиями справедливы выражения: а(1-р) L 1-8(а)ф(а) J Оя =-!-Г аВА+р-- 2D 4.(аМф) f 2(1 --ф (а)-аЩ)] а(\-р){ Р(0) l-8(a)ф(a) г V w 10.3. СИСТЕМА С ПОСТУПЛЕНИЕМ ТРЕБОВАНИЙ ГРУППАМИ 10.3.1. Описание системы. Отличие от стандартной СМО из § 10.2 состоит в том, что входящий поток требований квазипуассоновский, т. е. через случайные интервалы времени, определяемые функцией распределения их длительности А (t) = 1 ~ ехр (~at), а>0, t > 0,в систему поступает группа требований случайной длины Z,in. Производящая функция распределения Z,in задана Mzbn ф (Z), ф (1) 1. Выражение для загрузки системы имеет вид р = aMftMLjn. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 [55] 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |