|
| |
|
Слаботочка Книги 10.6. СИСТЕМА С ПОСТУПЛЕНИЕМ ТРЕБОВАНИЙ ГРУППАМИ С «РАЗОГРЕВОМ» И ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 10.6.1. Описание системы. Рассматриваются одновременно все дополнения, введенные в § 10.3, 10.4 и 10.5 к стандартной СМО, описанной в § 10.2: случайное число требований в поступающей в систему группе Lj задается производящей функцией Ф (z), число дополнительных требований L, выявленных после обслуживания некоторого требования, - производящей функцией F (z), а время «разогрева» прибора k, свободного от требований, - преобразованием Лапласа- Стилтьеса k (s). Дополнительные требования обслуживаются сразу после их породившего. При «доразогреве» длительность полной занятости прибора «разогревом» с учетом возможных восстановлений работоспособности прибора х задается преобразованием Лапласа-Стилтьеса X (s) = (s + с -• сб (s)) (наработка до отказа прибора при «разогреве» имеет функцию распределения С (i) = 1 - ехр (-ct), с > О, t > О, и преобразование Лапласа-Стилтьеса времени восстановления работоспособности прибора б (s)). По аналогии с п. 10.1.3 Мх = М/; (1 + сМб); Dx = D/fe (1 + сМб)2 + сШ [D6 + (Мб)2]. Выражение для загрузки системы имеет вид л: р = aMhMLJ (1 - MUut). 10.6.2. Число требований в системе. Производящая функция стационарного распределения числа требований, находящихся в системе (L - (Lq, L,,), где соответствует требованиям основного потока, а Lj - дополнительным требованиям), имеет вид: Р (Zo, zj) = { [1 - Е (а)ф (а)] [1 - Ф (Zo)]Zo}-i X X {[ (1 - Е (а)ф (а)) (Р (Zo) - Р (0)) + Р(0)е (а) 1ф (а-а Ф (Zo)) - ф (а)] гё Ч X Х[Ь(а~аФ (Zo)) g (а - сФ (Zo), +(I ~ h (а - аФ (г)))] + Р (0)Zo X Х[1 - в (а)ф {а - аФ (z))]}, Р(г)=Р (0) -(у))Ма-аФ{г)) g{a-aO{z))-z Р(0) =-(к=Р)-- IR (l) + cMx]MLin " R (г) = Ro (Z) = , 7/",, г + / 1Ф -аг)-ф (а)]; 1-б(а)ф(а) 1-б(а)ф(а) R (Ф (z)) - производящая функция распределения случайного числа R требований, поступивших в систему к началу «разогрева» прибора, при этом 1-в(а) + в(а)аМф 1-е(а)ф(а) функция g (s, z) удовлетворяет соотношению g (s. z) g(s)[z-fe(s)f (г)] fe(s)f(0) z[g(s)-z] ! ] gis)[z-h{s)F{z)] J h{s)lg{s)~z] [l-A(s)] a g (s), определяемая уравнением (s) = Л (s)F (g (s)). Re s > 0. g (s) < 1, g (0) = 1, (10.5) является преобразованием Лапласа-Стилтьеса случайной величины g - времени блокировки прибора требованием основного потока, дл-я которой: l-M£out Dg = - DLout {ШУ 1-MLout (l-MLout)3 Математические ожидания и дисперсии для числа основных и дополнительных требований в системе в стационарном режиме определяются соотношениями: dPjzo, 1) . дР(1, Zy) г„=1 , DLo , DLi . dP(Zo, 1) dP (1, Zi) г„=1 + MLo(] -MLo); + MLi(]-MLi). 10.6.3. Дисциплина FIFO: время ожидания начала обслуживания и время пребывания требования в системе. Для требований основного потока преобразование Лапласа-Стилтьеса времени ожидания начала обслуживания определяется из уравнения Р (2) = со (а - оФ {z))g (а-аФ (z))T (г), где g{s) - функция, определяемая функциональным уравнением (10.5), а Т (г) - уравнениями t(l)~t{z) Tiz). 2<1, 7(1)== 1, 2Г(2)=Ф(2). (10.6) Математическое ожидание и дисперсия времени ожидания начала обслуживания требования основного потока: 1-ML a!Li 2uMLin 1-MLout aDcofML )-DL a2Dfe(MLi„F a DLout (M/z)4MLi„) l-(MLi„) " " 1-MLout (l-MLout)3 12 lMLout -)(DL,„ + (MLiJ). Для дополнительных требований преобразование Лапласа-Стилтьеса времени ожидания начала обслуживания имеет вид coi (s) - Тр (g (s)), где функция g(s) определяется уравнением (10.5), а 7V (2) - уравнением, ана-jrorH4HbiM (10.6), с заменой Ф (2) на F (г). Математическое ожидание и дисперсия времени ожидания начала обслуживания дополнительным требованием: МЛ 1-f (1) МЛ Мю1=- Dcoi = 1-MLout (МЛ)2 2DL, 1+MLout 12 L(l-MLo„t)" 1-MLout J Как обычно, для времени пребывания требования в системе справедлива связь с временем ожидания. Для требований основного потока v(s) - а {s)h (s), и для дополнительных требований Vi (s) = coj {s)h (s). 10.6.4. Дисциплина LIFO: время ожидания начала обслуживания. Преобразование Лапласа-Стилтьеса времени ожидания начала обслуживания требования основного потока в стационарном режиме при дисциплине LIFO определяется соотношением (U(S) = (l-в(a))(l-p)t(s+a-al(s)) аЛИщ (1-g (s+a-ац (s))) 1-6 (o) + 6 (й) a (Мф+Ми) s-l-a~ci(s) 6 (g) g (1 -p) [1 -ф {s+a-afx (s))] и (s+a-ai (s))+ (1 -e (a) ф (a)) с (1 -p) [1 -y.{s+a-afx(s))] [1 -6 (g) +6 (g) йМф+6 (a) аМЩ [s--g-йц (s)] H (s) = Ф (s + a - (s))). Re s > 0, ц (s) < 1, ц (0) = 1, (10.7) a g (s), как и ранее, определяется из (10.5). Математическое ожидание и дисперсия времени ожидания начала обслуживания требования основного потока при дисциплине LIFO имеют вид: MtoL [1-6 (g) + e (g) дМф1 Ми . в (а) дф2 + [1-в (а) ф (а)] gxg 1-в (я)--в (а) а (Мф+Ми) 2 [1-в (д)--в (а) а (Мф+Ми)] gMLj„[Dg+(Mg)2] (1-Е (а)) 2 (1-Р) [1-6 (д)+в (а) а (М ф+Ми)] D(u=(u -(Мсй)2; ggg MLin Mj<--(Mg)2 ф" (I) а Ми -Ь Е (а) а (1-рР DgMLi„ + (MgF (Ф" (1) + М Li„) Иа Мф+фа Ми + фз 3 (1-Р) (Mg)MLi„N 2(1-р) 2 (1-р) + (1-Е(а)ф(а)) а aML (ф2 + 2аМф-Ми) + DgML.„ + (Mg) (Ф"(1)) 3(1-Р) 2(1-р)2 "in 6(1-р)з [ёГз (1 - Р) 2 + Sag, (D g М Lin f (Mg) (Ф" (1) + -f MLin))] [1 -e (a) + e (a) a (Мф + Ми)] j [1-e (a) + e (a) a (Мф + Мх)] Для дополнительных требований (ввиду определенного порядка обслуживания) дисциплины FIFO и LIFO никак не сказываются. 10.6.5. Период занятости системы. Преобразование Лапласа-Стилтьеса периода занятости системы требованиями имеет вид п (s)=- e(g)g Ф (.+а-аМ))-Ф (а) 1-в(д)ф(о) 1-8(а)ф(д) ар, (s)-s I-в (g) - an(s))n(s), где функции g (s) и ц (s) определяются уравнениями (10.5) и (10.7) соответственно. Для математического ожидания и дисперсии периода занятости системы справедливы выражения: 1-в (д) + б (а) g Мф+е (д) g М и а М.п~- (1-р) [1-В(й)ф(й)] DgML,.„ DZ-i„(Mg) , и Я ------h (1 р)з (1 р)3 DgMLi„ + DLi„ (Mg) g2(l-p)3 (1-р)з Ри (1-Р) Р" йМ1-р)" Рф Li-Ф (а) 1 в(д)[1-ф (д)] 1 -в (а) ф (о) +аМи-1 Ф(д) (Мф)2 4- (1-р)М1-ф(а)] 1-в (д) 1 аМ1-р) йМф+сМи (1 -р)М1-ф(а)Р 1-в(а)ф(д) (1-p)L 1-ф(а) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 [58] 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |