Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [59] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Раздел III

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ЭВМ

Гл ав а 11 МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПЛ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В тех случаях, когда невозможно получить аналитическое решение задач теории надежности, в качестве метода исследования применяют машинное моделирование. Основными этапами такого исследования являются: построение формальной модели, программное обеспечение процесса имитации траекторий модели, имитационные эксперименты.

Динамические модели надежности, как правило, характеризуются определяющей последовательностью некоторых событий (отказы, восстановления, переключения и т. п.). Такие модели называются дискретными.

Этап построения формальной модели сводится к составлению алгоритма формирования определяюш,ей последовательности, а также к определению траектории, получению на основе ее необходимых характеристик.

Этап организащи программного обеспечения заключается в создании машинной программы, позволяющей воспроизвести (имитировать) траектбрию модели в соответствии с найденными закономерности и найти соответствующие показатели работы модели, а также в созданий программ, обеспечивающих работу с моделью.

Этап организации имитационных экспериментов - это работа с моделью. На этом этапе осуществляется выбор модели из имеющихся альтернативных вариантов и способов обработки выходной информации для эффективного получения необходимых результатов.

Рассмотрим разнообразные программные средства и математические методы, относящиеся к названным этапам, а также перечислим некоторые проблемы, возникающие на данных этапах. i

11.2. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ И ПРОЦЕДУРЫ ИМИТАЦИИ

Обычно дискретная модель представляется в виде совокупности взаимодействующих объектов, которые обозначим А, Л2, ... Каждый объект Aj полностью характеризуется набором признаков Sj. Этими признаками могут быть как состояния объектов Zj (величины, полностью определяющие динамику системы), так и различные служебные величины Kj, т. е. Sj = (Zj, Uj). В объекте Aj могут происходить некоторые события е,, время наступления которых определяется состоянием Zj, а их содержание - признаком Sj. В результате наступления событий ej могут меняться признаки некоторых объектов (перечень этих объектов зависит от содержания события Cj).

Обычно данная модель реализуется следующим образом. В состав признаков Sj объекта Aj вводится еще одна величина %j (которую естественно считать частью состояния), равная остатотому времени до наступления очередного события ej в этом объекте при условии, что другие события в системе не помешают его на-

ступлению). В начальный момент времени = О для каждого объекта Aj величина %j = т/ определяется начальным состоянием Zj = zj. Первое событие в системе наступит через время бх - min т-, и если т/, = 01, то это событие происходит в

объекте Л/, (возможной неоднозначностью номера Д будем пренебрегать). Поскольку эти события полностью определяют динамику модели, то естественно рассматривать лишь моменты насгупления событий. Наступление события е/, в момент ti = 61 вызывает в модели изменение признаков некоторых объектов Aj, и в зависимости от значений новых состояний для них формируются новые значения остаточных времен В остальных объектах также пересчитываются остаточные времена: значения заменяются на t) - - б. Затем вновь отыскивается 02 = min Т/ = Тд, т. е. вторым определяющим событием является е,

/ *

и момент его насгупления 2 = + 62. Вновь происходит изменение признаков ряда объектов, зависящих от события е/, и для них формируются новые значения остаточных времен, а для остальных объектов полагается т = т) - Gg. Далее процедура продолжается аналогично.

Данная схема несколько упрощена. Например, в ней не учитывается возможная «цепная реакция» событий. Тем не менее основные ее черты реализованы практически во всех средствах моделирования (возможно лишь с использованием других терминов вместо «объект», «событие», «признак», «состояние»). В результате работы этой схемы выдается определяющая последовательность (к, е,\), (к, e/J, ... и значения величин (2, л*, т.), по которым однозначно восстанавливается вся траектория системы.

Как правило, для дискретных моделей происходящие события связываются с признаками sj. Однако иногда рассматривают модель через равные промежутки времени длиной At. В этом случае полагают, что в момент 4 все = (при этом и 4 = kAt). Поскольку такая дискретная модель, как правило, малоэффективна и в настоящее время используется редко, мы ее рассматривать не будем.

Пример 11.1. Рассмотрим резервированную систему, состоящую из т основных и п ненагруженных резервных элементов. Пусть, кроме того, есть / ремонтных мест {1< т + п). Предположим, что наработка до отказа каждого элемента имеет функцию распределения F {х), а время восстановления G (х).

Приведем несколько вариантов модели данной системы.

1. Модель состоит т т + п объектов А,, Л+п, соответствующих элементам системы. Каждый объект At характеризуется признаком St == (2;, zii). Состояние 2j может принимать целые значения .... -2, -1, О, 1, 2, ... Если Zi <; О, то это означает, что объект (элемент) Л г находится в резерве; если Zi = = -k, то элемент Ai будет взят из резерва k-u по счету (предполагается, что «очередь» в резерве устанавливается в порядке поступления элементов из ремонта). Состояние 2j = О соответствует работеэлемента Л. Если Zt = 1, то элемент Ai восстанавливается. Если же 2j = s -- 1, s > 1, то это означает, что элемент Ai стоит S-M по счету в очереди на ремонт (предполагается, что элементы восстанавливаются в порядке поступления). Для определенности будем считать значением служебного признака ni количество отказов, которое «испытал» к текущему моменту времени элемент Ai. Время определим лишь в состояниях 2j = б, 2г = 1 (в остальных - будем формально считать = оо), где - остаточное время до отказа элемента Л и до окончания его восстановления соответственно. В соответствии с этим событие принимает два значения: ej = О соответствует отказу элемента Лj, а ej = 1 -его восстановлению.

Итак, пусть в некоторый момент 4 модель описывается вектором I (z, п, т), (2, л*, т), (2 „, п , <+„)]. Тогда следующим «особым» моментом будет

=4 + 6. где е = min Пусть при этом 6 = т, т. е. в момент про-

изошло событие вг.

а. Пусть = О (автоматически следует, что 2* = 0). В этом случае для всех резервных элементов (определяемых условием 2* <; 0) полагаем:

(2* +1, Я*, оо), если 2<-1, (0,<Дь), если 2 ==-1,

т е. один из резервных элементов (если такие вообще есть) становится основным, а остальные - продвигаются по очереди на единицу. Здесь {} - независимые одинаково распределенные по закону F случайные величины (1 - наработка до отказа элемента Л„). Пусть б - количество ремонтных мест, занятых в момент th (а следовательно, и в момент tf+i, так как ни одна из ремонтных единиц за это время не освободилась), т. е. количество элементов Aj, имеющих 2 = 1. Если б <; / (т. е. имеется хотя бы одна свободная ремонтная единица), то полагаем

(2+,я*+,т+)--=(1,я+1,г1,), :

где {rift} - независимые одинаково распределенные по закону G случайные величины (t]ft - длительность восстановления элемента Лг); увеличение признака Пг на единицу фиксирует очередной отказ элемента А. Если же б* = /, то полагаем

(2*+Ч я+Ч =.f max 2+1, я+1, оо,

ЧТО соответствует установке в очередь на восстановление элемента Л г на место с номером max 2*. Для элементов Лр ф ф г), находящихся в отказовом состоя-

НИИ, и основных (у которых 2 > 0), производятся следующие изменения:

(4+Г+У=(4"ре-е). • .

Здесь считается, что оо - 0 = оо (для элементов Лр, стоящих в очереди на восстановление, т. е. у которых 2 > 1).

б. Пусть вг = 1 (следовательно, элемент Л г окончил восстанавливаться и

2* = 1).

В этом случае на освободившееся ремонтное место поступает элемент, стоящий первым в очереди (если она существует), остальные элементы продвигаются по очереди, а элементы, уже находящиеся на восстановлении, продолжают восстанавливаться, но их оставшееся время уменьшается на 6. Это соответствует переходу:

"а-°°). если г* >2,

(1, я*, rift), если 2 = 2,

если 2 = 1.

Пусть - количество основных элементов в момент 4 (т- е. количество элементов Aj, у которых 2 < 0). Если ф« < т, то восстановленный элемент становится на свободное место основного:

(2*+>,Я*,+ ,Т+)=(0,Я*,).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [59] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199