Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 [62] 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

однако нахождение его требует, в частности, знания р, да и в явном виде В также трудно получить. Поэтому довольствуются рациональным выбором v (х).

2. Метод малого параметра. Если метод взвешенных испытаний использовал минимальную информацию о математической модели, то метод малого параметра рассчитан на модели специального вида - кусочно-линейные процессы, описывающие весьма широкий класс систем, изучаемых в теориях надежности и массового обслуживания.

Суть метода заключается в получении аналитическим путем зависимостей искомых вероятностей от исходных параметров. Эти зависимости представляются в виде асимптотических разложений по степеням некоторого «малого» параметра, например интенсивности отказов одного элемента. Коэффициентам разложения придается вероятностный смысл - как правило, это среднее значение некоторого функционала от процесса функционирования системы. Таким образом, задача сводится к оценке на модели указанных функционалов. Поскольку эти функционалы от «малых» параметров не зависят, их оценка не требует чрезмерных затрат времени (по сравнению с оценками, получаемыми с помощью непосредственного моделирования, экономия времени составляет десятки и сотни раз в зависимости от условий задачи). Здесь эффективность достигается за счет использования аналитических результатов и организации на их основе так называемых направленных имитационных экспериментов по оценке показателей, отличных от искомой величины, но связанных с ней (вид связи определяется аналитически).

11.6. НЕКОТОРЫЕ МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

Приведенный краткий обзор показывает, что в настоящее время развиты или развиваются методы, позволяющие решать задачи моделирования на всех трех упомянутых выше этапах (построение формальной модели, организация программного обеспечения, организация имитационных экспериментов). Вместе с тем нужно констатировать, что указанные методы развивались несистемно. Например, существующие программные средства далеко не всегда ориентированы на решение первостепенных задач моделирования (анализ адекватности, чувствительности, направленное изменение моделей и т. п.). Точно также статистические процедуры часто не имеют удовлетворительного обоснования, и потому неизвестны не только их точность, но и границы и .сферы применимости. В связи с этим в последние годы значительное внимание стали уделять методологии моделирования для выработки общих требований к применяемым методам и средствам.

Эти методологические разработки содержат требования к архитектуре и структуре имитационных систем, совокупность эвристических принципов и правил работы с моделями, методы организации имитационных экспериментов.

Неопределенность границ применимости многих статистических методов (в том числе рассматривавшихся выше) связана прежде всего с тем, что модель для этих методов представляет собой «черный ящик». Допущения, например, о монотонности (в методе дополняющих переменных), положительности корреляции (в методе зависимых испытаний) носят, как правило, декларативный характер, и действенность методов проверяется фактически в процессе их реализации.

Возможный выход из этой ситуации предлагает агрегативный подход, разработанный Н. П. Бусленко. В нем основу модели составляет некоторая общая математическая схема (агрегативная система), сохраняющая основные особенности дискретной модели, описанной выше и являющейся моделью широкого класса реальных систем, в том числе систем, исследуемых в рамках теории надежности. Программная поддержка процесса моделирования строится в расчете на аг-регативную систему. Поскольку математическая модель при этом «открыта» для исследователя, появляется возможность использования строго обоснованных математических методов для исследования структурных и динамических свойств систем.

Глава 12

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫСОКОНАДЕЖНЫХ СИСТЕМ

12.!. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

К настоящему времени разработано много методов определения характеристик систем, состоящих из высоконадежных элементов. Однако часто ввиду сложной структуры исследуемой системы аналитические, и в частности асимптотические, методы, оказываются неприменимыми. В этих случаях используется наиболее универсальный метод определения характеристик сложных систем - метод статистических испытаний. Однако при исследовании высоконадежных систем данный метод имеет существенный недостаток - большую трудоемкость. Предположим, что требуется оценить вероятность р некоторого редкого события, связанного с траекторией системы в промежутке [О, Т] (например, р - вероятность отказа системы в [О, Т]). Для наиболее важных в практическом отношении высо-коотвгтственных систем, надежность которых очень велика, р может принимать значения порядка 10~*-10 и ниже. Для того чтобы получить оценку для р с относительной погрешностью б и достоверностью р, требуется число испытаний Л, которое при малых р > О имеет вид

N гУ {р8%

где Z - корень уравнения

Следовательно, для нахождения р с заданной точностью понадобится огромное число реализаций поведения системы в интервале [О, Т], что может потребовать десятки часов машинного времени. Поэтому для высоконадежных систем метод непосредственного моделирования неприемлем. В этом случае, наиболее эффективными являются методы ускоренного моделирования, и в частности аналитико-статистический метод.

12.2. СУЩНОСТЬ МЕТОДА УСКОРЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Разъясним метод на примерах.

1. Рассматривается резервированная система, состоящая из одного основного и г - 1 резервных элементов. Система отказывает в момент , когда впервые оказывается г неисправных элементов. Все элементы восстанавливаются одним оператором: время восстановления - случайная величина ц с функцией распределения Н (х). Наработка до отказа основного элемента - случайная величина с экспоненциальным распределением с параметром К. Требуется оценить Р (i) - вероятность безотказной работы системы в течение времени / при условии абсолютной исправности в момент to = 0. Рассматривается случай «быстрого восстановления»: за время восстановления резервного элемента основной элемент может отказать лишь с малой вероятностью. Для исследования подобных систем давно используется метод регенерирующих процессов. Именно весь процесс проходит через моменты восстановления ti, t.....где - /г-й в порядке возрастания момент, когда система выходит из абсолютно исправного состояния, т. е. отказывает некоторый элемент. Известно, что в таком случае

Р(0е-Р«, (12.1)

где Ро - вероятность отказа в интервале восстановления, т. е. между и

Таким образом, для оценки надежности достаточно оценить параметр р. Можно показать, что Ро ~ Ро, где р -вероятность отказа г - 1 элементов за время восстановления одного резервного элемента. Вероятность р определяется как

k - г - 1 о

Таким образом, в конечном счете все сводится к оценке Мт)-которая выполняется простым усреднением по множеству независимых реализаций случайной величины т)-Ч

2. Пусть, в отличие от примера 1, имеются два оператора, которые могут восстанавливать элементы раздельно. В этом случае формула (12.1) сохраняется; для Ро имеет место следующее приближенное выражение:

где / (х) - вероятность события А, состоящего в следующем. На отрезок [О, х\ по равномерному закону бросается г - 1 точек. Пусть < ... < /-i - координаты этих точек, расположенные в порядке возрастания. Тогда А состоит в том, что tr-x - 1 <: Tji, где tji - случайная величина с функцией распределения Hin).

Таким образом, алгоритм оценки ро методом статистических испытаний состоит в следующем. Реализуем независимые случайные величины т), ц,, у,, y-i. две первые из которых имеют функцию распределения Н (х), а остальные равномерно распределены в интервале (О, 1). Находим к, U-i как упорядоченные в порядке возрастания величины щ,, Щг-г- Полагаем Д = 1, если 4-i - - ti<Z 111, А = О в противном случае. Наконец, полагаем С = k- т)-! Д. Тогда Рд = М. Следовательно, Рд (а вместе с ним и ро) можно оценить, усредняя результаты независимых реализаций случайной величины С-

3. Поведение конечного вероятностного автомата описывается цепью Маркова {v„, п > 0} с матрицей перехода Р = Ро + в (Р, - Р, где Ро, Pi, Р, - заданные матрицы с неотрицательными элементами, е > О - малый параметр. Вектор начальных вероятностей есть х = Хр + е (xi - Xg), где Хо, Xi, Xg - векторы с неотрицательными элементами. Если v„ = i, v+i = /, то, если (i, /)-й элемент матрицы Ро положителен, переход i -> / назовем высоковероятным; если данный элемент равен нулю, но соответствующий элемент Р положителен, назовем переход i -> / маловероятным (порядка е). Начальное состояние Vo = i назовем высоковероятным, если i-я компонента вектора Хо положительна, и маловероятным (порядка е), если i-я компонента вектора Xq равна нулю, а i-я компонента вектора Xj положительна. Определим г о (vo) = О, если Vo высоковероятное, и г о (у о) =

= 1, если Vo маловероятное состояние. Подобным же образом положим г (t, /) = = О или г (t, /) = 1 для высоковероятного и соответственно маловероятного переходов i /. Наконец, положим г„ == г о (vq) + ("Vo. "Vi) -f ••• + ("Vn-ii "Vn)-Назовем число г (j) рангом состояния /, если существует цепочка состояний to, /„ = / (п >0), для которой Гп = Го (io) + г (to, 4) + ... + г in) = = г (/), и не существует подобной цепочки, для которой было бы г„ < г (/). Ставится задача оценки р(") (/) == Р (v„ = /) для тех /, для кототрых г (j) = т.

Пусть О < J"i < Js < ••• < < п - случайная выборка, вероятности частных значений которой равны \/Cn+i. Если эта выборка фиксирована, реализуем неоднородную цепь Маркова v, О < < /г, закон поведения которой определяется следующим образом. Если tl > О, то Vo выбирается в соответствии с распределением Хо. Если r"i = О, то Vo может принимать лишь те значения t, для которых " i-я компонента вектора Xi положительна; вероятности различных значений i пропорциональны соответствующим компонентам Xi. Пусть v-i = /. Если k совпа-

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 [62] 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199