|
| |
|
Слаботочка Книги дает с некоторым из чисел ii, im, распределение определяется 1-й строкой матрицы Pi/c (I), где постоянная с (1) выбирается из условия равенства единице суммы всех элементов этой строки. Если k не пересекается с множеством ....t} в тех же условиях, распределение определяется 1-й строкой матрицы Р. Пусть А - любое подмножество тех /, для которых г (/) = т. Положим: Д = 1 при v„ е Л, Д = О, в противном случае g = C+ie« Др ...р„, где = = с при k >2 или il > I, Pi равна сумме компонент вектора при tl = = 0. Тогда РКбЛ)М?. Таким образом, и в данном случае найдена случайная величина, путем усреднения реализаций которой оценивается распределение вероятностей случайной величины v„. Заметим, что во всех примерах имеет место одно и то же свойство построенной статистической оценки: среднеквадратическое отклонение относительной погрешности оценки остается ограниченным при е 0. В то же время относительная погрешность оценки, получаемой при непосредственном моделировании, неограниченно возрастает при s 0. 12.3. МЕТОД «ВЗВЕШЕ!НОГО» МОДЕЛИРОВАНИЯ Одним из способов ускорения моделирования является метод «взвешенного» моделирования, суть которого состоит в следующем. Пусть и т) - одномерные или многомерные случайные величины с плотностями р (х) и q (х), причем q (х) не обращается в нуль в тех точках, где р (х) > 0. Предположим, что требуется вычислить Мф (), причем в силу тех или иных причин вычисление непосредственным моделированием нежелательно (например, когда ф (•) - индикатор события {I > Т}, а Mi - мало). Тогда Мф (I) = I [ф {х)р {x)lq (x)]q (x)dx = М {ф (ri)p {y\)lq (rj)}. Таким образом, для вычисления Мф () можно вместо использовать случайную величину т). Пусть Tji, Tin - независимые реализации этой величины. Тогда несмещенной оценкой Мф () является причем Оф„ = aln, где 0 = D (ф (Г1)р (п)/9 (Т1)} < J ф (х)р (x)lq (x)dx = F \q\. Далее выберем q {х) так, чтобы функционал F [q\ принял минимальное значение: 9 (X) = ф {х)р (x)/J Ф {t)p it)dt; Р [9] = [ J ф {х)р ix)dx]\ В практике моделирования случайных процессов, описывающих поведение сложных систем, получили применение различные конкретизации метода взвешенного моделирования, учитывающие специфику того или иного класса задач. Одним из методов, хорошо зарекомендовавшим себя при решении конкретных задач теории массового обслуживания и надежности, является аналитико-статис-тический метод, основанный на сочетании аналитических и статистических методов. А именно, среди исходных характеристик системы выделяется та, которую можно выбрать в качестве малого параметра е. Затем, используя различные аналитические методы, искомая характеристика системы представляется в виде ряда по степеням е, причем коэффициенты этого ряда интерпретируются как математические ожидания функционалов от некоторых вспомогательных случайных процессов и могут быть найдены с помощью метода статистических испытаний. С практической точки зрения зачастую достаточно построить статистическую оценку для коэффициента при главном члене ряда по е, оценив остаток данного ряда. 12.4. АЛГОРИТМ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕПОСРЕДСТВЕННО НА МОДЕЛИ СИСТЕМЫ В настоящем разделе указан один из способов реализации аналитико-статис-тического метода непосредственно на модели системы. Предположим, что исследуемая система описывается непрерывным справа марковским процессом вида z(t) = hiit), ...,zm {t)\, t>Q. Процесс zi {t) (1 < t < m) принимает значения в измеримом пространстве (Zj «О, а Z {/) - в (Z, 21), где Z = Zi X ... X 1, И = SIj X ... X 5а„,; «х» обозначает декартово произведение. Распределение процесса z {t) в начальный момент считается заданным: Po(A)=P(z(o)eA), Aeai. Пусть заданы также следующие характеристики: Pj {t, x,t + v,A) = P (zj it + v)eA\zi() = X); PJ (t, x,t + v,A) = P (zJ it+v)eA Iz" (0 = X), Л б % X e Z, / = 1, m, t>0, v> 0, где z" (/), / > 0 - марковский процесс того же вида, что и z (t)\ kj (t, x), / > 0, X 6 Z, / = 1, m, -- марковская функция, измеримая по и х; Qj (t, X, Л), > О, X G Z, Л G j = 1, fn, - вероятностная мера, зависящая от параметров t, х, /. Предположим, что введенные величины удовлетворяют для любых t > О, X 6 Z, Л j, / = I, т, соотношению Pj it, X, / + Д/, Л) = [1 - kj (t, х)Д/]Р«- (t, X, t + М, А) + kj (t, х)х xAtQjit,x,A) + oiAt). (12.2) Введенные характеристики и соотношение (12.2) можно интерпретировать следующим образом. Исследуемай система состоит из т элементов. Процесс zJ (t) определяет режим, в котором используется /-й элемент в момент t, а kj (t, х) - интенсивность отказа этого элемента при ; (f) = х. Тогда Kj (t, z; {f))dt - вероятность отказа /-го элемента в интервале (t, t + df) при условии, что используется режим zJ (t). Если в момент t произошел отказ /-го элемента, то режим его использования в момент / + О пересчитывается согласно распределению Qj (t, х. Л). Отметим, что описанная модель позволяет учитывать распределения, отличные от экспоненциального. Действительно, пусть Fj (х) - произвольная непрерывная функция распределения, Fj (+0) = О, которую интерпретируем как функцию распределения времени работы /-го элемента. Если этот элемент включен в работу в момент 4. то его отказ наступит в момент s, определяемый из уравнения 5 Kj{t,z it))dt =r,„ где r]j - случайная величина с функцией распределения Fj (х). В дальнейшем событие с интенсивностью kj (t, z" (f)) назовем отказом /-го элемента. Предположим, что рассматриваемая система, описываемая процессом z (t), исследуется в промежутке [О, Т] и требуется вычислить характеристику вида а = MUr, г > 1, где = Ф (z (•)) - функционал от траектории системы в [О, Т], а - индикатор события {v = г}, где v - число отказов элементов системы в [О, Т]. Предположим далее, что отказы элементов в [О, Т] достаточно редки в том смысле, что [zo] = J (t, zP (t IX)) Л, 1 < / < m - равномерно малая величина относительно реализаций z" (t), О t Tt и начального состояния х. Здесь z" (/х) обозначает марковский процесс z" (t) с начальным состоянием х. Алгоритм вычисления а в одной реализации выглядит следующим образом. Положим = 0. Строим реализацию zi (f) процесса z" (t) в промежутке :[То, Т] и вычисляем: оЕ.Ч = J Kj [t, zto] Щ dt, К / < m; °am=a[<} + ... + am. Номер tl элемента, который отказал первым, выбираем согласно распределению Р {il = j) = atVafo], 1 < / < m. Момент Ti отказа г-го элемента имеет плотность распределения Pi (О = к {t, zto] (0), t G Т]. Если величины i и известны, то состояние i-ro элемента преобразуется согласно распределению Qi,XTi, zfl (Tj - 0), А). Итак, момент первого отказа построен. Предположим теперь, что построен момент Т„ п-го отказа (п <; г) и известно состояние системы в момент Т„ + 0. Тогда момент {п + 1)-го отказа получается следующим образом. Строим реализацию z" {t) процесса z" {t) в промежутке [Г„, Т] и вычисляем: а[.«] = j Xj {t, z[«] (0) Л, 1 < / < m; a[0]=aW + ... + aW. Номер элемента, который отказал {п + 1)-м по счету в [О, Т\, выбираем -согласно распределению Р (t„+i = /) = at/Vaf", 1 j т. Момент T„+i отка--за этого элемента имеет плотность распределения Рп+1 (0= -- „+1 zf" (0). е [Т„, л. Затем в момент 7n+i снова пересчитываем состояние n+i-To элемента. Описанную процедуру продолжаем до тех пор, пока не будет построено г моментов отказов элементов, после чего строим последнюю реализацию zW {t) процесса z" (t) в промежутке [Тг, Т]. Положим z (t) = zW (t). Если Г„ < < Tni, « = 1, г, Tri = Т nil = ф (z (•)). Тогда в качестве оценки для а, полученной в одной реализации, выбираем = ato] а[П...аГ-1]. Сделав достаточное число реализаций, можно построить оценку для а с за" данными точностью и достоверностью. в Институте кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР разработана система моделирования АМОС, на основании которой создан пакет, предназначенный для статистического моделирования систем массового обслуживания и надежности. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 [63] 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |