|
| |
|
Слаботочка Книги 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [64] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 12.5. МЕТОД «ИСКУССТВЕННЫХ» МОМЕНТОВ РЕГЕНЕРАЦИИ Предположение о существовании вложенного процесса восстановления существенно облегчает анализ сложных систем. В теории массового обслуживания принято считать, что такой процесс существует лишь в том случае, когда основной марковский процесс, описывающий работу системы, является линейчатым. Более общий случай, когда одновременно функционируют многие элементы с «немарковским» характером отказов, исследовать сложнее, так как непосредственно не видна вложенная цепь Маркова. Для описания широкого класса систем используется марковский процесс вида Ut) =(v (0; li (0. 2 (О- -. iiv wi (0). i > 0. Здесь V (f) - дискретная компонента, характеризующая «качественное» состояние системы в момент t; li (/), 12(0. •• - непрерывные величины, определяющие времена до окончания «операций», происходящих в системе в момент t; \v (t) \ - число таких операций при состоянии системы v (f) (под операцией можно понимать, например, восстановление или работу элемента системы, ожидание поступления нового требования, обслуживание требования и т. д.). Марковский процесс g (f) называется существенно многомерным процессом теории массового обслуживания, если для любого t > О P(lv(/) >2) = 1. Если исследуемая система описывается существенно многомерным процессом С (0. то подход, получивший название метода «искусственных» моментов регенерации, позволяет во многих практически важных случаях искусственно вводить вложенную цепь Маркова. При определенных условиях с помощью специального приема можно построить новый непрерывный справа процесс 1,* (t), стохастически эквивалентный процессу (f), и монотонно возрастающую последовательность моментов времени (Й, п > 0}, обладающие следующими свойствами. 1. Распределение случайной величины t,* (tn) не зависит от п. 2. Последовательность двумерных случайных величин {(С* (/„). й - U-i), п > 1} образует однородную цепь Маркова. 3. Пусть An, я > 1, обозначает некоторое событие, связанное с поведением процесса (t) в интервале (Й-ь й)- Тогда события Л„ и An+i могут быть зависимы. 4. Вероятность события An+i однозначно определяется распределением случайной величины С* (*i+i)- 5. Для любых л 1 и > 2 события Л„ и Ап+и независимы. Указанные свойства процесса С* (0> t О, позволяют доказывать теоремы эргодичности и устойчивости, а также предельные теоремы для широкого класса систем, описываемых существенно многомерными процессами теории массового обслуживания. Наиболее эффективно метод «искусственных» моментов регенерации может быть использоваТн при анализе высоконадежных систем. Одной из важнейших характеристик систем является вероятность Р (Т) отказа в заданном промежутке времени [О, Т]. Использование метода «искусственных» моментов регенерации позволило для ряда конкретных высоконадежных систем доказать асимптотическую экспоненциальность первого момента 1, отказа систем, т. е. справедливость для любого фиксированного Т > О соотношения Р (Г) - Р (С < Т) ~ 1 - ехр {-Т/Щ}. (12.3) Следовательно, этот метод может быть весьма успешно использован для получения «качествелных» результатов (например, для обоснования экспоненциальности распределения Q. Однако для практического использования соотношения (12.3) необходимо найти М. Если стационарные вероятности состояний исследуемой системы находятся в явном виде (например, если система описывается т незави- симыми альтернирующими процессами восстановления), то в ряде случаев л; а, где а находится в явном виде. Однако явные формулы для стационарных вероятностей состояний системы могут быть получены лишь в довольно редких случаях. 12.6. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ ВЫСОКОНАДЕЖНЫХ СИСТЕМ В последнее время разработан численный метод нахождения Р (Г) для широкого класса высоконадежных систем, описываемых существенно многомерными процессами теории массового обслуживания. Основные «качественные» предположения, накладываемые на систему, состоят в следующем: 1) система является высоконадежной; 2) случайные величины, определяющие работу системы, имеют функции распределения общего вида {Hi (х), i G Л}, где - некоторое подмножество натуральных чисел; данные функции удовлетворяют условиям: а) Hi (+0) = О,- i 6 Л; б) существуют плотности hi (х) = HI (х), jc > О, i 6 Л; в) для любого со 6 (О, 1) и любого / 6 существует алгоритм нахождения решения уравнения со = Я, (х). При исследовании конкретных систем условия пункта 2) можно несколько «ослабить». Использование этого метода для определения вероятности безотказной работы высоконадежных систем рассмотрим на примере резервированной системы с восстановлением. Резервированная система состоит из т элементов и п ремонтных устройств (1 < п <: т). Функционирование системы начинается в момент = О, в который все ее элементы исправны. Длительность безотказной работы t-ro элемента (1 < t < т) имеет функцию распределения Fi {х). Пусть v (t) - число неисправных элементов в момент t. Если в момент t отказал г-й элемент (1 < t < ш) и V it - 0) <: п, то немедленно начинается его восстановление с функцией распределения Gi {х). Если же V (/ - 0) > п, то элемент становится в очередь. Восстановление отказавших элементов проводится в порядке выхода их из строя. Первый момент отказа системы определим следующим образом: С = inf {t>Q:v (f) > г), где п+1 < г < /п. Требуется найти вероятность отказа системы в промежутке [0. Т], т. е. нужно определить Р (Г) = Р < Т)- Предположим, что предварителыюе изучение системы позволяет сделать вывод о ее высокой надежности в [О, Т]. Пусть, кроме того, функции Fi (х) и Gj (х), 1 < г < ш, являются абсолютно непрерывными с плотностями ft (х), gi {х): Fi (х) = 5 h (и) du; Gi (х) = J Яг И du. Эти функции распределения могут быть представлены в виде: Fi (4= 1 -ехр -1 «г (и) d« ; Gi (х) = 1-ехр - 5 Рг iu)du\ ,i = l,...,m, l-Fi(x) l - Gi(x) функционирование системы можно описать следующим эквивалентным образом. Для этого введем величины: Уг (0 = О, если в момент t i-й элемент исправен, - 1, если в момент t i-й элемент находится на восстановлении, k, если в момент t i-й элемент находится k-м по счету в очереди на восстановление, k=l, п-т; 7Л0 = sup {х G [О, t]: vi (t-x) =0}, если {t)==0, sup {x G [0, t]: vi (t-x) = - 1}, если Vj (/) = - 1, 0, если vi (/) 1. Случайный процесс Z (О = К (О, V,„ (О, Vl (0. Vm является марковским. Чтобы промоделировать поведение системы в промежутке [О, Т], необходимо с помощью величин {vi (t)} и {у; (/)} построить последовательность моментов выхода элементов из строя и окончания их восстановления. Данная последовательность строится следующим образом. Положим to = 0; yt {to + 0) = 0; Vi {to + 0) = 0, i= 1, m, v {to + 0) = 0. Предположим, что момент tn построен и известны величины yi {tn + 0), Vj {tn + 0), 1 < / < га, V {tn + 0). Реализуем теперь случайные величины бг {i Vj {tn + 0) < 0) с функциями распределения вида: Г, (4 = и находим: 1 -expl- ai{u + yi(tn + 0))du , если (4 + 0) = О, \ - exp\ - f>i{u + yi{tn + 0))du; если (4 + 0)= -1 Ио= min 6j;xi= min 6, a также io и ii, такие, что fi«„ = Xo; fit, = Xv Положим 4+1 = 4 + min (xo, Xj). Если Ко < Xi, TO io-й элемент отказал в момент 4-и. и в этом случае: v {tn+1 + 0) = V (4 + 0) + 1; (4-ц + 0) = V, (4 + 0),i Ф io, vUW.+0) = ( если(4+.+0)<п, Ь (4 + 0) -п., если v (4+1 + 0) > п; V,. (4+1+0)=0; Y,(Wi+0) = f (4 + 0) + у-о- если i =5 io и V, (4 + 0)< О, если Vj(4 + 0) >0, i==l,... ,га. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [64] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |