|
| |
|
Слаботочка Книги 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [65] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 Если же > щ, то восстановление 1\-го элемента окончилось в момент и в этом случае: v,.(„+.+0) = уЛп+1 + 0) = v(„+,+0) = v(„ + 0)-l; V,-. (/„+,+0)=0; Vi {t„ + 0), если Vi (4 + 0) О, i =5 k, - 1, если Vi {tn + 0) = l, (in + 0) - 1, если + 0) > 2; V.-. (4+1 +0)=0; (tn + 0) + если I Ф il и („ + 0)< 0, 0, если Vj(„ + 0)>0. Приведенный алгоритм определяет последовательность {4, n > 0}, строящуюся до первого момента tn> Т. В дальнейшем предполагается, что поведение системы моделируется согласно этому алгоритму. Введем случайные процессы вида 1 iiyt (0). если (О = - 1, 1 I < т, > 0. Здесь Ki (t) - интенсивность отказа (v, (t) = 0) или восстановления (v (/) = -l) 1-го элемента в момент t. Пусть z - некоторое натуральное число, О < 2 < г - 1. Интенсивности {Я, {f)} при v (f) < 2 представим в виде h (О = ? (О + 1 (0. i = 1, -. т, t>0, X? (t) = I v(f>=z, Vi (t) =0, [ О, противном случае; V (f)=\ " •V (О < 2 ИЛИ V (0=2, (/) = - !, [ о противном случае. Исходную систему, поведение которой определяют интенсивности {Xj (t)}, обозначим Si. Наряду с этой системой рассмотрим систему с интенсивностями перехода {V (0). которую обозначим Sg (2). Ясно, что для системы (2) v ( < 2 с вероятностью 1 для любого i > 0. Если 2 = г, то до момента отказа поведение систем Si и Sa (2) описывается одним и тем же марковским процессом Z (t). Рассмотрим случайную величину т Т л(2)=2 J () 1=1 о являющуюся функционалом от траекторий системы Sg (2). Величина МЛ (z) является верхней оценкой вероятности того, что в интервале [О, Т] система Si хотя бы раз попадает в состояние 2 + 1 (состояние z - в системе неисправно z элементов). Можно предложить следующий алгоритм определения вероятности Р (Т) отказа системы Sj в интервале [О, Т]. 1. Выбор уровня 2*. Натуральное число 2* должно удовлетворять двум основным условиям. Предположим, что в промежутке [О, Т] исследуется система Sg (2*). Обозначим событие А (г*) = {существует t 6 Ю, Т\ такое, что v (t) = 2* }. Тогда 2* должно удовлетворять условиям: а) Р (Л (2*)) > 61; б) М {Л (2*) Л (2*)} = fig. где 61 и 62 - некоторые положительные числа, характеризующие частоту попадания системы S2 (2*) на уровень 2* и вероятность того, что система Si в интервале [О, Г] хотя бы раз перейдет из состояния 2* в z* + 1. Например, в качестве fi и можно выбрать 6i = б = 0,1. При исследовании реальных систем выбор уровня z*, как правило, не представляет трудностей. 2. Нахождение оценки вероятности Р (Т) в одной реализации. Пусть уровень Z* выбран. Промоделируем поведение системы (z*) в промежутке [О, Т]. Если событие А (z*) не произошло, т. е. v (f) < z* для любого t € [О, Т], то Л (z*) = О и в качестве оценки вероятности Р (Т) отказа системы в одной реализации получим р = 0. Предположим, что Л (г*) > О и в процессе моделирования поведения системы Sz (z*) в [О, Т] получены следующие величины: К - число интервалов времени из [О, Т], в течение которых в системе (2*) было неисправно 2* элементов; W (k), k = 1, К - длительность -го интервала; t(k), k = I, К - момент начала -го интервала; У (i, k) = yt (t (k) + 0); (k) = Vi (t (k) + 0), i = 1, m, k= I, K. Положим V = z*, Ti = T. Далее вычисляем A{v)=-AAv), . (12.4) V (1, k) +W (ft) Aft(t))= 2 f ai{u)du. (12.5) Рассмотрим два случая. 1. у <: /• - 1. Отказ некоторого элемента, переводящий систему S, из состояния VBV -\- 1, может произойти только в одном из указанных интервалов. Номер feo интервала, в котором произойдет этот отказ, определяется так: ко = k с вероятностью {и)/А (v). Номер io этого элемента и момент т его отказа, отсчитываемый с момента t{k„), определяется следующим образом. Положим: у и. ко) +W {ко) f Kj (ы) du, если %i {ko)=0, А (V) = у (i, ft.) О в противном случае, i = 1,..., т; A(v)= Aiiv). Тогда io = io с вероятностью л г {v)/A (v), и отказ /„-го элемента произойдет в момент t (ko) + t, где т == to - 7 (io, ko) - случайная величина, распределенная в [у (io, 0). У («о. *о) + W (ko)] с плотностью Если v> N,TO положим %{, iko) = v + \ - N.B противном случае Хн = = -1. Далее в качестве новых значений v и Ti выбираем v + I и Ti - t (ko) - - т. Затем в интервале [О, Т,] моделируем поведение системы Sg (р), начальное состояние которой определяется величинами: V (+0) = v; fi (+0) = у (i, ko) +t, 1Ф io, Vi (+0) = %i (ko), i = I, m; v.-.(+o) = o. при этом вычисляют новые значения для К (число интервалов времени из [О, Т\, в течение которых в системе Sg {v) было неисправно v элементов), а также соответствующие величины {W (k), t (k), Хг (k), у (i, k), i = I, m, k = \, ... K). Затем находят величины Л (t)) и {v), k = I, К, вида (12.4), (12.5) и переходят к сравнению v с г - 1. 2. V ~ г - 1. Тогда оценка для Р (Г) в одной реализации • Л(2*)Л(2* + 1) ...Л(/-- 1). Число реализаций N, необходимых для построения оценки вероятности Р (Г) с заданной точностью б и достоверностью р, определяется следующим образом: N = тт {п>2:п> (p)D {п)1Ь}, где D (п), п >2 - выборочная дисперсия: D(„) = -LVp?---1- n-1 rt(rt-1) Ij.i pj - оценка вероятности P (Г), полученная в i-й реализации, а л; (Р) - решение уравнения Jexp{-}d = p, определяемое из таблиц нормального распределения. При известном N получим оценку Для достаточно широкого класса систем применимы как метод «искусственных» моментов регенерации, так и численный метод. Поэтому для определения приближенного значения Р (Т) при любом Г > О вполне естественно использовать оба эти метода. А именно, для некоторого То, применяя численный метод, находим Р (Го). Затем из уравнения 1 - ехр {-Го/М?} = Р (То) получаем [при малых значениях Р (То) Щ То/Р (Го)]. При известном значении вероятность Р (Г) отказа системы в [О, Г] определяется согласно (12.3). Численные примеры, просчитанные на ЭВМ, подтверждают эффективность предложенного подхода. Отметим, что численный метод может быть использован для определения надежности систем, для которых метод «искусственных» моментов регенерации неприменим и соотношение (12.3) не имеет места. В частности, он может быть использован при исследовании высоконадежных систем, имеющих в своем составе невосстанавливаемые элементы. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [65] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |