|
| |
|
Слаботочка Книги 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 [66] 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 Раздел IV ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НАДЕЖНОСТИ Глава 13 ОПТИМАЛЬНОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ 13.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ При резервировании возникает задача не только обеспечить заданные показатели надежности, но и произвести это как можно более экономично, с наименьшими суммарными затратами на резервные элементы для системы в целом. В качестве подобных затрат могут быть рассмотрены такие характеристики, как стоимость, масса или габаритные размеры. Выбор характеристики определяется конкретным видом системы и ее назначением. Обычно удается выделить одну наиболее важную характеристику, которую для краткости назовем «стоимостью» вне зависимости от ее физической сущности. Рассматриваемые системы представляют собой последовательное соединение взаимонезависимых участков. Участком системы в данном случае будем называть такую ее часть, для резервирования которой могут быть использованы однотипные элементы. Таким образом, участок системы - это не обязательно конструктивно оформленная часть системы. Например, в задачах обеспечения системы запасными элементами к одному участку могут быть отнесены условно все однотипные элементы, если даже они конструктивно разнесены и схемно не связаны между собой. На практике возникают также ситуации, в которых требуется максимизировать надежность при нескольких ограничениях или минимизировать затраты на избыточные элементы при задании совокупности требований к надежности отдельных подсистем. В главе используются следующие обозначения: с - параметр пуассоновского распределения; Ci - стоимость одного элемента i-ro участка системы; Cij - затраты /-го типа, связанные с одним элементом i-ro участка системы; Со - заданное (допустимое) значение стоимости резерва; С jo - заданное (допустимое) значение затрат /-го типа на резерв; С {Xi, х,п) - стоимость резерва в целом для системы при условии, что на i-M участке имеется Xi резервных элементов; Cj (%, Хт) - затраты /-го типа на резерв в целом для системы при условии, что на i-M участке имеется Xi резервных элементов; Cj (Xi) - стоимость.резерва i-ro участка при условии, что на нем имеется Xt резервных элементов; gi (Xi) - относительное приращение показателя надежности i-ro участка системы на единицу затрат; Но - заданное значение показателя надежности R; R(Xi, Хт) - показатель надежности (типа Р (4); R (4) или К) системы при условии, что на i-м участке имеется Xt резервных элементов; Ri iXi) - показатель надежности (типа Р (4), R (4) или К) i-ro участка системы при условии, что на нем имеется Xt резервных элементов; Lo = -log Ro, L (Xi, Xm) = -log R {Xi, Xjn); Li (хг) = -log Ri (Xt); m - число участков системы; til - начальное число элементов i-ro участка (начальное число элементов 1-го типа); Pi {t\Xi) - вероятность безотказной работы 1-го участка системы за время t при условии, что на нем имеется Xt резервных элементов; Ph (р) - вероятность появления ровно k событий для пуассоновского распределения с параметром а; Pk (о) - вероятность появления не менее k событий для пуассоновского распределения с параметром а; (?о = 1 - 7?о; Q (xi, Хт) \ - R (xi, Хт); Qi (Xi)=l~Ri (Xi); Т (Хх, Хт) - Средняя наработка до отказа при условии, что на i-м участке имеется Xi резервных элементов; Т„ - заданное значение средней наработки системы до отказа; Xj - интенсивность отказов одного элемента i-ro участка; Рг - неотрицательные весовые коэффициенты: 2рг = 1; Ф (х) - плотность нормального распределения; Ф (л-) - функция нормального распределения; X = (Xi, Хт)- 13.2. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО РЕЗЕРВИРОВАНИЯ 13.2.1. Одно ограничение, показатель надежности типа R. Характерной особенностью этих задач является то, что показатель надежности системы выражается в виде произведения соответствующих показателей надежности отдельных участков (мультипликативная форма): R(Xi,...,Xm)= П RiiXi) « = 1 ИЛИ в виде суммы (аддитивная форма): L(xi,...,xj=2 Li(Xi). 1 = 1 Кроме того, если надежность системы высока, т. е. Q (%, Хт) < 1, то можно приближенно записать Q(Xi,...,Xm) « 2 /= 1 Обычно в задачах оптимального резервирования предполагается, что стоимость резерва в целом определяется как C(Xi,...,xJ= 2 «() г = 1 и, кроме того, сама стоимость резервных элементов i-ro участка системы обычно определяется как Ci (Xi) = CiXi. При наличии одного ограничивающего фактора возможна постановка двух следующих задач оптимального резервирования. 1. Раздельным резервированием системы, состоящей из т участков, добиться того, чтобы показатель надежности был не менее заданного Ro (или не более за- данного показателя Qo или Lo) при минимально возможной стоимости резерва в целом: mm{C(Xi,...,xJ\R{Xi,...xJRo}. (13.1) (Условие R (X) > Ro можно заменить на Q (X) < Qo или L (X) < Lq.) 2. Раздельным резервированием системы, состоящей из т участков, добиться того, чтобы при максимально возможном показателе надежности системы R (или при минимально возможных показателях Q или L) стоимость всего резерва не превысила заданного значения С: max {R (xi,... ,Хт)\С(х,,..., х„Х CJ. (13.2) x (функцию R (X) можно заменить на Q (X) или L (X), заменив при этом max на min.) В дальнейшем R будем интерпретировать в терминах вероятностей безотказной работы для невосстанавливаемых систем. Однако простой заменой этих вероятностей соответствующими коэффициентами готовности (или коэффициентами оперативной готовности) может быть решена оптимальная задача и для восстанавливаемых систем. 13..2.2. Одно ограничение, показатель надежности типа Т. В этом случае показатель надежности системы Т (Xi,... ,Xm) = j Р (t\x,..., Хт) dt= I Pi (t\xddt. При этом могут быть сформулированы две следующие задачи. 1. Прямая задача. Раздельным резервированием системы, состоящей из т участков, добиться того, чтобы значение средней наработки до отказа было не менее заданного То при минимальной возможной стоимости резерва в целом, т. е. min {С (xi,..., Хт)\Т {х,...,Хт) > Го}. 2. Обратная задача. Раздельным резервированием системы, состоящей из т участков, максимизировать среднюю наработку до отказа Т при условии, что стоимость резерва не превысит заданного значения Со: max {Т (х,, ...,Хт)\С{х,,...,Хга) С}. 13.2.3. Несколько ограничений, показатель надежности типа R. Пусть имеется М ограничений, например: на стоимость, массу, габаритные размеры системы и т. п., которые должны быть выполнены одновременно. Используя введенные обозначения, можно сформулировать следующую задачу: max {R {х-у,..., xJlС- (xi,... < Со, /= 1,..., М). (Функцию R (X) можно заменить на Q (X) или L (X), заменив max на min .) Обычно на практике предполагают Cj (х-у,..., Хт)= Cij Xi. =1 13.2.4. Многофункциональная система при нескольких ограничениях. Для многофункциональных систем требования к надежности задаются в виде набора значений вероятности выполнения каждой из этих функций. (Значения этих вероятностей зависят от важности и ответственности соответствующих функций.) Выполнение каждой функции зависит от работоспособности определенных элементов системы, причем в общем случае подмножества элементов, необходимые для реализации различных функций, могут иметь и общие части (пересекаться). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 [66] 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |