|
| |
|
Слаботочка Книги при этом может быть сформулирована следующая задача: раздельным резервированием системы, состоящей из т участков, добиться, чтобы вероятности выполнения системой каждой из К функций были не меньше заданных значений при минимальной общей стоимости резерва: min [С {Хх,... ,xj\n Ri (Xi) > Ri, /= 1,..., К], (13.3) где Gj - подмножество элементов, работоспособность которых необходима для выполнения j-й функции; р/ - требуемое значение вероятности выполнения /-Й ф)ункции. 13.3. РЕШЕНИЕ ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ НАДЕЖНОСТИ ТИПА R ПРИ ОДНОМ ОГРАНИЧЕНИИ 13.3.1. границы возможного изменения количества резервных элементов. Для практического использования различных алгоритмов решения задач оптимального резервирования удобно ввести заранее t/j и 2j, i = 1, т, - границы возможного изменения количества резервных элементов на i-м участке системы t/i < л;; < 2j. Границы yi и 2j вводятся так, чтобы решение Xi задачи оптимального резервирования заведомо попало в множество {xt : yi < < 2г, i = 1, т). В прямых задачах оптимального резервирования (13.1), (13.3) значения нижних границ у1 можно получить непосредственно из следующих ограничений: в задаче (13.1) в задаче (13.3) yt = min {Xi\Ri (Xi) > Ro}; t/i=max min К (P (xj) > ?}. ieOj 1</<к (Надежность любого участка системы не может быть меньше надежности всей системы.) Нижние границы yt в обратных задачах оптимального резервирования в общем случае полагаются равными нулю. Для получения верхних границ Zt разумно воспользоваться следующим соображением. В практических задачах расчет показателей надежности Ri (xi) (Li (Xi), Qi (Xi)) всегда производится с заданной точностью е > 0. Значение е может определяться как спецификой задачи, так и возможностями имеющихся вычислительных средств. (В практических расчетах точность е колеблется от 10- до 10-".) Функции Ri (Xi) (Li (Xi), Qi (Xi)) с ростом Xi асимптотически стремятся к некоторым константам Ri < 1 (L > О, Qi > 0), поэтому, начиная с 2,, значения функций Ri (Xi) (Li (Xi), Qt (Xt)) в пределах заданной точности нельзя отличить от значений предельных констант Rf (L*, Qf): Zi = min {Xi\Ri (Xi) > Rt - e}; Zi = min {Xi\Li (Xi) < + e}; Zi = min {XilQi (Xi) < Q? + e}. Для более конструктивного изложения алгоритмов решения задач оптимального резервирования введем общие границы изменения количества резервных элементов на всех участках системы: F = min t/j; Z = max (z). 13.3.2. Метод динамического программирования. Для того чтобы решить прямую задачу оптимального резервирования (13.1), введем функцию Беллмана Фь (О - оптимальное значение целевого функционала в задаче с k переменными и правой частью ограничения, равной г. Фь(/-) = тш 2 (ii П Ri (Xi) > г Функция (/•) строится рекуррентно при k = 1, ...,т в соответствии с уравнениями: Ф1 (г) = min {q I Rj (%) > г}, / G [Ro, 1 -el: (13.4) (i>n{R)= min {q>ki{r) + CnX,,\rR„{x,,)R},r[R,l-e]. (13.5) Путь xt (R), k = I, m, - те значения Xu, на которых достигается минимум в (13.4), (13.5). Очевидно, что ф (Ro) - это оптимальное значение целевого функционала задачи (13.1). Решение же этой задачи xJ, Хт получается последовательно при k = т, I: (Ro), R"- = Ro/Rm (Хт); xl=x;{R%R-iR4RAx°k). Для решения обратной задачи оптимального резервирования (13.2) вводится функция Беллмана CiXiC , %(C) = maxj П Ri(Xi) U=i (13.7) юторая рекуррентно по k строится в соответствии с уравнениями: Ф1 (с) = max {Ri {х) \ q % < с}, с е [О, С]; %(С)= max {k-i(c)Ru(Xn}\c + c„x,,C„cG[0,C]. yk<>k<h При построении ijjj (С) запоминаются значения xt (С), на которых достигается максимум в (13.7). Решение xJ, х%г задачи (13.2) затем определяется как x = x;(Q,C-=Со-с„х; xl = Xi {С% С*- 1 =С*- с„ х°, k =т- 1 ,..., 1. Пример 13.1. Рассматривается последовательная система из трех независимых элементов с характеристиками: = 0,7; = I; = 0,5; Cg = 3; Гз = 0,5; Сз = 1. Требуется найти такие значения х, х и Хд, которые обеспечивают вероятность безотказной работы системы не ниже 0,9 при минимальных затратах. Используется поэлементное нагруженное резервирование без восстановления: Ri{Xi) = 1 - (1 - Гг)«+. Значения показателей надежности Ri (Xi) будем вычислять с точностью 8 = 0,001. Решение. Определяем границы возможного изменения величин Xi: для нижних границ t/j воспользуемся правилом (3.1) - получаем Ух = I; = Уз - = 3; для верхних границ Zt воспользуемся правилом, описанным в п. 13.3.1, - получаем Zi == 5; Zg = Z3 = 9. Для удобства дальнейших вычислений предварительно рассчитываем значения функций Ri (Xi) и заполняем табл. 13.1. По правилу (13.4) строим функцию Беллмана ф (Rj), k = 1, 2, 3, в точках: Ro = 0,9; Rx = 0,91; R = 0,92; R = 0,93; P4 = 0,94; R = 0,95; R = 0,96; результаты заносим в табл. 13.2; одновременно значения Xi, на которых достига- Таблица Значения функций 13.1 ется минимум, заносим в табл. 13.3. (Для построения решения по правилу (13.6) нас интересует лишь одно значение функция (г): при г = Ro, поэтому в последней строке табл. 13.2 и 13.3 достаточно заполнить только крайнюю левую клетку.) По правилу (13.6), пользуясь табл. 13.3, строим решение исходной задачи: Хд = 4; х = 4; х = 2. Это решение не является оптимальным из-за слишком крупного шага значений Rj в табл. 13.2. Необходимость сравнительно мелкого и обычно неизвестного заранее шага для значений Rj делает этот метод неудобным для решения прямой задачи оптимального резервирования. 13.3.3. Модифицированный метод динамического программирования. Если хорошо известны статистические характеристики надежности отдельных элементов системы и характер зависимости показателей надежности от количества резервных элементов, целесообразно использовать методику точного определения оптимального количества резервных элементов, основанную на модифицированном методе динамического программирования. Методика состоит в следующем.
Таблица 13.2 Значения функции Беллмана Таблица 13.3 Оптимальные значения аргументов
1. Для каждого i-ro участка резервирования при различном числе резервных элементов Xi вычисляются значения показателя надежности Ri (Xi), Xi = О, 1, 2, ... 2. Для удобства составляется сводная таблица значений Ri (Xi) при различных Xi (табл. 13.4). 3. Для двух участков системы, например для т-го и (т - 1)-го, составляется таблица (табл. 13.5). Сводная таблица значений Ri(Xi) Таблица 13.4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 [67] 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |