|
| |
|
Слаботочка Книги Итоговая таблица значений л; С<") и Г")
5) находим новые значения xf по правилу л;), если t Ф j. I хр + 1, если 1=/; 6) вычисляем Г, = xf) r,-fe,„ Oj Vxp), t = 1, ..., m, • и продолжаем процедуру с п. 3. П р и .м е ч а н и е. Естественно, что все Tt {х\) для i ф j равны соответствующи.м Ti (хП Пример 13.4. Рассмотрим систему, представляющую собой последовательное соединение десяти элементов, характеристики которых привэдены в табл. 13.23. Требуется найти такой оптимальный состав резервных элементов для системы, чтобы средняя наработка системы до отказа была не менее 100 ч. Р е щ е н и е. Из условия Ф (Ь) =1 - V0,5, используя табл. П2.3, предварительно получаем Ью ~ 1,5. В данном случае начинать пошаговый процесс со значений Xt = 1 нецелесообразно, так как ясно, что для элементов с = 10 ч необходимо не менее 10 резервных элементов, а для элементов с = 30 ч - не менее четырех. Приняв это во внимание, запишем:
Итак, решением задачи являтся набор следующих значений: х = х = И; 3 = -4 = 12; Xs = Хе = Хт = Х8 = 4; х = дгю = 5. Исходные данные для примера 13.4
Заметим, что в большинстве практических задач оптимального резервирования при целевой функции в виде средней наработки до отказа решение в первую очередь, зависит от и Oj и в значительно меньшей степени - от показателя затрат Cj. 13.5. РЕШЕНИЕ ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ НАДЕЖНОСТИ ТИПА Н ПРИ НЕСКОЛЬКИХ ОГРАНИЧЕНИЯХ 13.5.1. Точное решение. Данная задача может быть решена сведением многомерной задачи к одномерной путем введения «приведенных» затрат. Рассмотрим для простоты случай двух ограничении {М = 2). Для образова-вания «приведенных» затрат используем неотрицательные весовые коэффициенты ai и а-2, такие, что ах -f ag = 1- Выберем далее определенный шаг изменения весовых коэффициентов, например l/k, и запишем всевозможные пары весовых коэффициентов: а(1)=0,а(1) = 1; а(2) = 1/А;,а(2)=11/А; а$*+1>-=1,а<*+1)=0. Составим k + 1 различных «приведенных» затрат для каждого типа компонент: C(i)=Cijan) + Qja(i), q*+>=Cij a(*+i) + C2j a(k+ для всех i = 1, .... m. Для каждого набора «приведенных» затрат CY, .... С, j = \, k + I, решим задачу оптимального резервирования, как при одном ограничении, считая точкой остановки процесса первое нарушение хотя бы одного из заданных ограничений (CJ или Сд в данном случае). Для каждого вида «приведенных» затрат находим значение показателя надежности и затем среди них отыскиваем наибольшее, например для j-й пары весовых коэффициентов а\ и аУК Это решение и принимается в качестве приближенного оптимального решения, а соответствующий набор полученных значений числа резервных компонент х/\ х\}} считается искомым. Точность решения определяется выбранным значением шага Ilk. Однако следует заметить, что в силу целочисленности получаемых решений д;\ .... хЦ после некоторого определенного уровня уменьшение шага не приводит к повышению точности (значение этого уровня зависит от конкретной задачи). в случае М ограничений принцип решения не меняется: выбираются весо- вые коэффициенты Uj >0, /= 1, .... М, такие, что 2 = 1. и составляются воз- можные наборы этих коэффициентов, с учетом которых вычисляются «приведенные» затраты. Иными словами, задача остается той же, что и в двумерном случае, увеличивается лишь объем вычислительных работ. Пример 13.5. Рассматривается та же система, что и в примере 13.2. Стоимости элементов различных участков системы в условных единицах равны соответственно: Сц = 3; = 2; С31 = 1; с = 5; С51 = 5, а общая стоимость системы без резерва CJ = 22. Пусть дополнительно известны значения веса (также в некоторых условных единицах) этих элементов: Cjg = 1; С22 = 3; С32 = 5; С42 = 5; С52 = = 1, а общий вес системы без резерва С = 17. Требуется определить оптимальный резерв на каждом участке системы для трех случаев: а) допустимая стоимость системы 55 ед., а допустимый вес системы 45 ед.; б) допустимая стоимость системы 55 ед., а допустимый вес системы 40 ед.; в) допустимая стоимость системы 55 ед., а допустимый вес системы 30 ед. Решение. Решение проведем с использованием метода наискорейшего спуска. (Это объясняется лишь соображениями простоты изложения.) Выберем для коэффициентов и шаг изменения, равный 0,25. В этом случае «приведенные» затраты для каждого из типов элементов равны: с(1) =3, с(1) =2, 41) = 1, с(1) = 1, с(1) =5; с[) =2,5, 42) =2,25, 42) =2, 42) ==2, 42) =4; с(3) =2, 4з) = 2,5, 4з) =3, 4з) =3, 4з> = 3; . с№ =2, = 2,75, 4*) =4, 4*) =4, 44) =2; с(5) = 1, 45) =3, 45) =5, 45) =5, с(5) = 1. Для «2 = О задача сводится к одномерной, и можно, не вычисляя значений gP> (Xi), воспользоваться табл. 13.20. Для остальных а(" составлены специальные таблицы значений gU (xi) (табл. 13.24-13.27). В этих таблицах в скобках после соответствующих значений gj"> (Xj) поставлены номера шагов процесса оптимального решения. Результирующая табл. 13.28 составлена в компактной форме: на основании табл. 13.20 и 13.24-13.27 и заданных величин Сц и c-g для каждого значения приводятся величины и (стоимости и веса) на каждом шаге. По этой таблице можно определить для любого aU~> номер шага, на котором произошло нарушение Таблица 13.24 Значения gf (х,) для различных участков при a>=0,25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [72] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||