Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 [82] 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Набор рациональных структур системы ЗИП, как правило, сильно ограничен организационными соображениями. В реальной задаче может встретиться не более 10-20 конкурирующих структур. Поэтому нет смысла рассматривать параметры, определяющие структуру ЗИП, в качестве параметров управления в задаче оптимального проектирования (это чрезвычайно усложнит решение задачи). Гораздо разумнее предложить «быстрый» метод оценки затрат на систему ЗИП заданной структуры, использующий огрубление левой части ограничения, с помощью этого метода оценить затраты на системы ЗИП всех конкурирующих структур, выбрать среди них ту, котогой отвечает наименьшее значение оценки, а затем, пользуясь «аккуратными» методами, провести оптимальное проектирование системы ЗИП выбранной структуры, т. е. решить следующую задачу:

mm ni5=0.....пм°

Is i Qjn,,-Q(ni,...,n.)<Qo

l/=i i=\

(14.16).

S y\Cij n;j IQ {Щ,..., пм)< Qo , (14.17).

Для того чтобы весьма грубо оценить затраты на систему ЗИП заданной структуры, можно предложить следующий эвристический метод решения задачи (14.16).

Идея метода в том, что вместо задачи (14.16) решается задача

где Q (п, ..., Пм) = 2 ("jj")-сепарабельная функция.

/=1.=1

Если функция Q (п, Пм) выбрана так, что при всех пи > О, / = 1,

М, i = 1, Л;, выполняется неравенство Q {пц) < Q (щ!), то очевидно, что всякий набор пц, удовлетворяющий ограничению задачи (14.17), удовлетворяет и ограничению задачи (14.16). Следовательно, оптимальное значение целевого функционала задачи (14.17) служит верхней оценкой оптимального значения целевого функционала задачи (14.16).

Для того чтобы найти ограничивающую сепарабельную функцию Q {nij), используется следующее предположение. Пусть отказ любого из комплектов в заданной структуре системы ЗИП выполнить поступившее в него требование на запасной элемент приводит к отказу изделия, причем этот отказ длится до тех пор, пока требование на запасной элемент не будет удовлетворено.

Тогда показатель достаточности системы ЗИП представим в виде

/ = 0 i=l

где Qij (пц) - -In [1 - (fij {riij)], если показателем достаточности системы-ЗИП

выбран его коэффициент готовности, и Qij (riij) = л" Фа Фа), если показателем

достаточности системы ЗИП в исходной задаче выбрано среднее время задержки в исполнении заявки на запасной элемент; ф,-у (riij) - средняя по времени вероятность наличия в /-М комплекте хотя бы одной неудовлетворенной заявки на элементы 1-го типа.

Очевидно, что высказанное предположение увеличивает значение показреля достаточности системы ЗИП -In К* или Д* так, что действительно при любых

пц, j = 1, М, i = 1, Nj, выполняется неравенство Q (riij) < Q (пц)-

Для решения задачи (14.17) можно воспользоваться любым методом, предусмотренным для задач с линейным целевым функционалом и сепарабельным ограничением, например методом наискорейшего покоординатного спуска, описанным в гл. 13. Необходимо только при расчете вероятностей фг/ (пц) помнить.

в каком комплекте ЗИП (одиночном, групповом или ремонтном) хранится запас элементов данного типа и соответственно пользоваться формулами § 14.5, 14.6 или 14.7.

Решение задачи оптимального проектирования системы ЗИП предложенным методом можно использовать для оценки затрат на систему ЗИП при выборе его структуры. Оптимальное проектирование системы ЗИП выбранной структуры производится методом последовательной оптимизации. Идея применения этого метода в задаче оптимального проектирования системы ЗИП заданной структуры состоит в том, что оптимальные затраты на систему ЗИП ищутся как минимум выпуклой функции (М - 1)-го переменного (М - число разных комплектов в ЗИП заданной структуры).

Пусть заданы: х > О, Xg > О, Хм>0;

X = (2, Хм).

Рассмотрим следующую задачу с М ограничениями:

min 2 S I Q ("i. X) < Qo Д* ("л Xj) < Xj, / =2,M , (14.18)

ni>o.....m>o /=1

где Xj = (2, Xj-i, x,+i, Xm). (При записи ограничений задачи (14.18) мы воспользовались описанным в § 14.4 свойством показателей достаточности комплектов ЗИП: показатель достаточности /-го комплекта ЗИП в системе ЗИП заданной структуры является функцией от П; - начальных количеств запасных элементов всех типов в j-м комплекте - и от показателей достаточности всех комплектов ЗИП, за счет которых пополняется /-Й.)

Очевидно, что оптимальное значение целевого функционала задачи (14.18) представимо в виде

С(х)=2 С,(х,),

где Ci (х) - оптимальное значение целевого функционала задачи

f 1

min 2 ii "il I Q ("i xX Qo ,

a Cj (Xj), / = 2, M, - оптимальные значения целевых функционалов задач

min ( 2 Ci/n.. I д* (n„ X,) С4 • (14.20)

Методы решения задач (14.19), (14.20) - задач оптимального проектирования комплектов ЗИП - представлены в гл. 13. Таким образом, известно, как вычислять функцию С (х) с заданной или достаточной с практической точки зрения точностью

Ясно, что С* -оптимальное значение целевого функционала задачи (14.16) - есть минимум

C* = minC(x), (14.21)

х>0

а ее решение - решения задач (14.19), (14.20) при х*, реализующем минимум в (14.21).

Поскольку функция с (х) кусочно постоянна (из-за целочисленности задач (14.19), (14.20)), для поиска ее минимума можно пользоваться лишь такими методами, которые используют значение функции, но не ее градиент.

Можно показать, что функция С (у) имеет следующее свойство. Существует выпуклая функция С (х), такая, что

О < С (х) - С (х) < б,

где б - максимальные затраты на один запасной элемент.

(14.19)

Поскольку даже при решении задач оптимального проектирования комплектов ЗИП мы считали точность в максимальные затраты на один запасной элемент вполне удовлетворительной, будем требовать и от методов оптимизации функции С (х) точности с порядка 6.

Мы можем ввести априорные верхние и нижние оценки показателей достаточности всех, кроме одиночного, комплектов ЗИП, считая, таким образом, что векторы X меняются в заданном параллелепипеде G = {х : ху 6 [Aj, Bj]}.

Эти оценки можно получить, например, последовательно вычисляя:

Ам = А* (nJ5--); Вм = Д* (пип); Лм 1 = Д*(п-!р =Д*№р Щ - .4 =

= Д* Лз,..., Ам); В2 = Д* (nfВз - . Вм).

Здесь пТ", Пк"" - априорные нижняя и верхняя оценки количеств запасных алементов.

Для минимизации функции С (х) на параллелепипеде G при небольших М (М < 4) проще всего применять метод последовательной оптимизации, который сводит приближенную минимизацию функции многих переменных к многократной приближенной минимизации функций одной переменной.

Эту одномерную минимизацию предлагается проводить методом золотого сечения.

Пусть требуется минимизировать функцию / (х) одного переменного, меняющегося на отрезке Д = [а, Ь]. Метод золотого сечения представляет собой следующую итеративную процедуру. Положим До = Д и разобьем отрезок Д на три части точками Xl <i х так, чтобы части, примыкающие к концам отрезка Дд, были равны друг другу и каждая из них имела длину 61До (До1 - длина отрезка До. 6 = (3 - У5)/2). Вычислив значения функции / (х,) / (х), определим новый отрезок Ai по правилу

.\[a,xi],f{xi)f(x,),

\[X2,b],fiXi)>fiX2).

Этот отрезок на следующем шаге делится на три части и сокращается за счет отбрасывания одной из крайних частей точно так же, как отрезок До на первом шаге. К полученному отрезку применяется та же процедура и т. д.

Результатом х - работы Ф шагового метода золотого сечения - считается лучшая (т. е. с наименьшим значением / (х)) из точек деления, построенных на первых Ф шагах. Отметим, что на всех шагах, кроме первого, одна из очеред-/ ных точек деления является также точкой деления предыдущего отрезка (это гарантируется правилом выбора 6). Поэтому для построения требуется Ф + 1 вычисление значений функции / (х).

Рассмотрим теперь, как с помощью описанной процедуры приближенной минимизации функции одной переменной приближенно минимизировать функцию многих переменных.

Пусть задана выпуклая функция двух переменных / {Xi, х) и требуется найти ее минимум на G = {х = (Xi, х) Xt 6 lAt, Bj]}. Поступим следующим образом. Обозначим через /* (Xi) минимум функции / (xi, х) как функции оДной переменной 2 на отрезке [Лз, Bgl:

/* (Xl) = min / (xi, Xz). (С помощью золотого сечения мы умеем находить /* (%) при любом х.)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 [82] 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199