|
| |
|
Слаботочка Книги Будем минимизировать /* (Xj) на отрезке х в [Ai, Bi] опять с помощью метода золотого сечения /*= min f*{xi). Очевидно, что /* = min / (х). X ее Точно так же, применяя метод золотого сечения, можно приближенно найти минимум функции любого числа переменных. Приведем формулы для расчета ф - количества шагов, необходимых в каждой из процедур золотого сечения для минимизации функции С (х) с заданной точностью t- Ф > 2,1 In (б) , (14.23) где С > [(2,6)«- -1].2,6б; l=max С (х)-min С(х). Пример 14.9. Построить оптимальную по стоимости систему ЗИП, состоящую из одиночного комплекта (все элементы в одиночном комплекте восстанавливаемые) и ремонтного комплекта (все запасы в ремонтном комплекте пополняются периодически). Показателем достаточности системы ЗИП выбран коэффициент готовности. Заданы начальные данные = 3; Л2 = 3; Ко = 0,975 по одиночному комплекту:
Элементы всех типов в изделии не резервированы, при хранении не отказывают. Задана необходимая точность расчета показателя достаточности ремонтного комплекта в = 0,1. Решение. Для оптимального проектирования такого ЗИП требуется решить задачу ni>0. {3 3 2 S ct\K* (Щ, Щ) Ко (14.24) Для вычисления функции С (х) (в данном случае количество комплектов ЗИП в ЗИП заданной структуры М = 2) необходимо сложить оптимальные значения целевых функционалов следующих двух задач: mm п, >о S "ii Сц I -In К* (Пх, Хг) < - InKoj (14.25) { 2 "2 I А* (Пг) < xj . (14.26) Для определения отрезка [Лз, Bgl. на котором будет минимизироваться функция С (Xg), поступим следующим образом. В качестве Л выбираем е - заданную точность расчета значений показателя достаточности ремонтного комплекта (меньшие значения не имеет смысла рассматривать), а положим равным Д* (nj4n). Получаем [Л г, В] = [О, 1, 3, 4]. Для оценки ф - количества шагов метода золотого сечения (14.23) - нам требуется оценить V - разность между максимальным и минимальным значениями функции С (Xs) на [Лд, BgJ- Очевидно, что V < V* + Н* ~ ~ + Ь, где V* (V) - оптимальное значение целевого функционала задачи (14.25) при = Bg {Х2 = -2); fi* - оптимальное значение целевого функционала задачи (14.26) или = Az- Я* = = 2 СгаП™"; 6=15 - максимальные затраты на один запасной элемент. Вы-t = I числяем: V*=95; V=45; Я*=70; Я*=38; полагаем К=97. По формуле (14.23) при с = 36 находим ф = 5. Для получения приближенного оптимального решения задачи (14.24) необходимо проделать пятишаговую процедуру золотого сечения. Шаг 1. Находим G = (3 - "/6)/2 = 0,381966; полагаем До = [А; В] = = \а, Ь] = [0,1; 3,4]; находим точки деления отрезка До: х\ = а (Ь - а) 6 = 1,36; 2 = ft - (ft - а) е = 2,14; вычисляем С (xl) = 129; С (xl) = 134; по правилу (14.22) выбираем Aj = [0,1; 2,14]. Шаг 2. Вычисляем точки деления отрезка A-xl = 0,88; = 1,36; С(х1) = 131; С (xl) = 129; следовательно, Д = [0,88; 2,14]. Шаг 3. х1 = х1= 1,36; х1 = 1,66; С (xl) = 129; С (xl) = 128, следовательно, Аз = (1,36; 2,14]. Шаг 4. х1= х1 = 1,66; xt = 1,84; С (х\) = 128; С (xt) = 135; Д5 = ==[1,36; 1,66]. Шаг 5. х1 = 1,54; xl = = 1,66; С (х = 127; С (xl) = 128. Наилучшее значение С (Xg) = 127 получилось при х, = 1,54. Решение задачи оптимального проектирования двухкомплектного ЗИП имеет вид: Пц = 1; = 2; Hgi = 3; ng = 17; П22 = 17; П23 = 9. Полным перебором можно убедиться, что это точное оптимальное решение исходной задачи. Глава 15 ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ 15.1. УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСОМ РЕЗЕРВНЫХ ИЗДЕЛИЙ 15.1.1. Предварительные замечания. Центральным объектом исследования в моделях управления запасами является процесс Z (f) - число запасных изделий, имеющихся в наличии в момент t, или уровень запаса. Процесс Z (t) уменьшается по мере расхода запасных изделий и увеличивается за счет пополнений. Расход задается некоторым случайным процессом (потоком требований), .который определяется потоком отказов, возникающих при эксплуатации систем. Пополнения заказываются в соответствии с принятой политикой управления и доставляются в соответствии с фиксированным правилом выполнения заказов. Политика управления показывает объем заказа и периодичность пополнения запаса. При фиксации всех вышеперечисленных компонент модели Z (t) становится вполне определенным случайным процессом, нахождение различных характеристик которого является одной из задач управления запасами. В частности, практический интерес представляет распределение времени до исчерпания запаса (или вероятность бесперебойного удовлетворения требований), стационарное распределение уровня запаса, его среднее значение, интенсивность подачи заказов и т. д. Более специфические задачи связаны с выбором политики управления, оптимальной с позиции некоторого критерия. В этом критерии отражается стремление, с одной стороны, не создавать чрезмерные запасы, с другой - обеспечить своевременное удовлетворение требований, не допускать дефицита и, наконец, по возможности редко подавать заказы. В совокупности эти факторы противоречивы и разнохарактерны, поэтому их соизмерение представляет на практике самостоятельную нелегкую проблему. При математическом же моделировании вводят формальное понятие издержек разного вида. Так, штрафная функция /г (i - целое) показывает интенсивность издержек при Z (t) = i, связанных либо с поддержанием запаса на определенном уровне (при i > 0), либо с его недостачей (при t< 0). Функция стоимости заказа с (п) (п > 0) показывает, во что обходится заказ партии из п изделий. Если все названные издержки, зависящие от динамики запасов и подачи заказов, проинтегрировать вдоль траектории Z (f) и усреднить по времени, то получится естественный критерий эффективности, подлежащий минимизации. 15.1.2. Основные понятия и обозначения. 1. Основные случайные процессы: Z (t) - запас однотипных изделий в момент t (управляемый случайный процесс с целочисленными значениями). Отрицательные значения Z (t) соответствуют задолженному спросу, т. е. количеству невыполненных требований; С (tl, - расход изделий (или число требований на них) за интервал времени (1, 4) - случайный процесс с известными характеристиками; {Ег}Г=1 -последовательность независимых одинаково распределенных интервалов между поступлением требований (когда поток требований является рекуррентным); {vi}r=i - последовательность целочисленных одинаково распределенных независимых случайных величин, задающих объем каждого требования. Когда каждое требование запрашивает ровно одно изделие, = 1 с вероятностью 1; Y {t) - фиктивный запас, включающий как наличные изделия, так и уже заказанные, но еще не доставленные и, таким образом, еще не готовые к использованию в момент t; F(x)=P {li < х}; 7 (X) = 1 -.f (X); а -=М, f (х) dx; Fm (х)-m-кратная свертка F (х): F,n+i W = 5 (х-у) dF (у); о П-Р к =/}, / > 1; я (2) = 2 2" - " 2. Характеристики процессов пополнения запасов. Предполагается, что для восполнения расхода можно получить любое пополнение, но с некоторой задержкой: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 [83] 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||