Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [84] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

т - задержка в выполнении заказа (случайная или детерминированная величина);

G (х) =Р {т < х}; G(x) = l -О {x);h = Mx = G (х)

Правило подачи заказов на пополнение характеризуется параметрами: т - точка заказа (при снижении запаса до размера т подается заказ); п - размер заказа;

k = т ~\- п - максимальный уровень запаса.

3. Стоимостные характеристики:

с (п) - функция стоимости заказа (зависящая от его размера), определенная при п > I;

fi - штрафная функция, определенная при - сю < i <С оо и показывающая интенсивность издержек при запасе Z (t) = i. С помощью этой функции задаются расходы на хранение запасных изделий, издержки, связанные с их недостачей, и т. п.;

V - общая интенсивность издержек в стационарном режиме.

4. Характеристики системы управления запасами:

л - частота подачи заказов в стационарном режиме;

6 - время, в течение которого Z (f) > 0;

К - стационарная вероятность ненулевого уровня запасов;

MZ - средний стационарный уровень запаса;

Pi = Р {Z = i) - стационарное распределение уровня запаса;

Si = Р {Y = k - i) - стационарное распределение фиктивного уровня.

15.1.3. Описание моделей.

1. Прерывание потока требований (модель 1). Предполагается, что пока запас изделий не исчерпан, требования (единичного размера) поступают через случайные независимые и одинаково распределенные интервалы j. В момент, когда в наличии остается т изделий, подается заказ на п изделий, которые доставляются через случайное время т. Если за это время m изделий израсходуются, то после этого новые требования уже не поступают вплоть до момента, когда будут доставлены заказанные изделия. Это и называется прерыванием потока требований. На практике такое явление имеет место тогда, когда отсутствие запасных изделий приводит к приостановке функционирования системы и тем самым - к приостановке расхода. Для упрощения принимается предположение о том, что п > т.

2. Рекуррентный поток требований единичного размера и постоянное время доставки (модель 2). В этой модели при истощении наличного запаса рекуррентный поток требований не приостанавливается, и возможно образование очереди неудовлетворенных требований, что соответствует отрицательным значениям Z {t). Заказы на пополнение подаются после поступления очередных п требований в том же размере п, что и накопившийся расход. Задержка выполнения заказов т постоянна. Максимальный уровень запаса равен k. Здесь, в отличие от модели 1, величина Z {t) в момент заказа может быть различной, как и число уже сделанных, но еще не выполненных заказов. Однако понятие точки заказа можно сохранить, если ввести в рассмотрение фиктивный уровень Y (t), представляющий собой сумму наличного запаса Z (t) и числа заказанных, но еще недоставленных к моменту t изделий. Величина Y (t) в момент заказа всегда равна т = k - п.

3. Случайный размер требований (модель 3). Отличие от модели 2 состоит в том, что размеры требований здесь являются случайными независимыми и одинаково распределенными величинами. Заказы подаются, когда процесс Y (t) пересекает сверху уровень т, причем в таком размере, чтобы поднять Y (t) до уровня k. Параметр п = k - т здесь уже не является размером заказа, его можно именовать шириной зоны изменения процесса Y (t).

4. Поступление требований от нескольких источников (модель 4). Если создаваемый запас изделий служит для обеспечения нескольких источников спро-

са, то моделью расхода может служить суперпозиция нескольких независимых рекуррентных потоков. Когда число составляющих потоков велико, то при достаточно общих условиях доказана близость результирующего потока к пуассо-новскому. Здесь рассматривается случай, когда число источников невелико, так что такая аппроксимация некорректна. Все остальные предположения такие же, как в модели 2.

5. Случайные возможности пополнений (модель 5). Пусть возможность подачи заказа имеется не всегда (как это предполагалось в моделях 1-4), а появляется от случая к случаю. Например, запасаемые изделия дефицитны или потенциальная возможность заказа имеется всегда, но постоянное слежение за расходом не осуществляется, а проверки состояния запаса и принятие решений о пополнениях происходят в случайные моменты времени.

Считаем, что расход описывается пуассоновским потоком интенсивности к; моменты времени {ti}r=\, когда.возможно пополнение, образуют рекуррентный поток, и заказы подаются в том случае, если Z (t) < m, в таком размере, чтобы пополнить запас до k. Задержку в доставке считаем нулевой.

15.1.4. Основные формулы.

Модель 1:

11(па + Ьт)-, где Ьт=10(х)Рт{х)йх;

М е = na/dm, где = J G (х) dF (х);

Rit) = P{Q>t) при d„ « 1;

К = па/(па + Ьт);

па (n+2m+ 1)/2-п (h-b) .

v = h{i-K) + hm + pc(n) при fl = h-i, i > 1.

Модель 2: . -

р = (тг)-; Sj = l/n, f=0, l,...,n -1;

1 * " fjf+i

где go = l-p{x)dx; = [Fi-i {T~x)-Fi (т-х)] F (x) dx, i> 1;

„+2m+l y(;„) L 2

П- 1 , ,

n • na

где g}= q/~ifi-

»= oo

Модель 3:

in-i

I /=0

где последовательность {/,-}"= i имеет производящую функцию

Ф (2) - 2 =(1 (2))-. 1=1а "2 h] ; Pi ="2 k-j-i, i < k,

i=0 \ /=0 / /=0

где wjhm P (t-x, t)= j}; = 2 9; (г).

1 = 0

При с (и) = Со + Cii, / > 1,

+ Ci М V/G,

= 0 " /

где gj = 2 fi tl-Модель 4:

Si = l/tt, t = 0, 1, n - 1 (как в модели 2).

Модель 5:

Пусть Pi =lim Р {Z (t) =k - i}; G (x). P -i < x}; g (2) = (" e- dG (x).

Тогда = p, 2 <-/ By, /=0

где Л г и i5,- имеют производящие функции:

= 7-1Г ; i5 (2) = [1 (?. -2)]-, а р, определяется из условия нормировки. В частности, при и = 1:

1 = 0

При с (и) = Со + Citt, и > 1,

, (.li

М Д/ ?о (1-Z)

М At

V (k, п) = ("2 gk-i Bj + cJM At \f=o

I /=0

Bj + CiK

1 = 0

15.1.5. Методы оптимизации управляющих параметров. Рассмотрим модель I. Обозначим

у , /о fem+fi п [(n+2m+l)/2-ft + feml + c (п)

(15.1)

Нужно минимизировать эту функцию на секторе целочисленной решетки: и > О, m > О, и > т. При любых F {х) и G {х) последовательность Ьт не возрастает и выпукла, т. е. АЬ < О, Ат О- Используя этот факт, можно показать, что при п = const V (tn, п) унимодальна (имеет единственный минимум) по т. Прн с{п) = Со + СуП, п > I, функция V {т, п) также унимодальна по п при т = const.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [84] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199