|
| |
|
Слаботочка Книги Точка минимума определяется явным выражением: п* (т) =тах А L 1 h 2 а ha I (15.2) где fjcl означает округление х сверху до ближайшего целого. Основные вычислительные трудности связаны с нахождением значений через свертки функции F (х), но в некоторых случаях можно получить явные формулы. Если, например, G (х) = 1 -e-« то Ьт = [F (а)Г/а, где ()= J ""dF (х): При т= ft = const f (л;) = 1-е-; bm = hQ(m - l, Ш) - mQ (m, Ш)1К (15.3) где функция Q {d, с) табулированная. Если G (х) - распределение Эрланга /-го порядка с параметром X, а т = = h = const, то Ьт = hQilm - l, Щ - mlQ {ml, Щ/h. Функцию Q (d, а) табулируют обычно до значений а, не превышающих 100-150. При больших значениях с можно пользоваться нормальной аппроксимацией пуассоновского распределения. В случаях, когда явных формул для Ьт нет, можно воспользоваться методом Монте-Карло, используя представление Ьт = М(о, где о) = т-2 При этом в соответствии с распределениями G (х) и F (х) генерируются случайные величины т, {j}f=i и вычисляется соответствующая величина ю. Эта процедура 1 повторяется многократно, и в качестве оценки Ьт берется bm=-jf 2 t- Точность получаемых оценок зависит от числа статистических испытаний Л, и для выбора этого параметра нужно уметь оценивать Do. Легко показать, что Do. < (ft + maf d„ + Dt + mDg. В табл. 15.1 приведены для иллюстрации результаты, полученные методом статистического моделирования в случае т = 5, G (х) = 1 - е~*, вместе с истинными значениями Ьт, вычисленными по формуле (15.3). Таблица 15.1 Результаты статистического моделирования
При < 100 оценка оставалась равной нулю. При = 1000 была получена оценка Ь = 0,0109 при истинном значении Ь = 0,0227. Из таблицы видно, что при фиксированном N малые fc оцениваются с большей относительной погрешностью. Для уменьшения погрешности нужно увеличивать Л, что требует высокого быстродействия используемой ЭВМ. Указанный имитационный метод оценки можно распространить ина характерный для практики случай, когда распределения F {х) и G (х) (или одно из них) не известны, а есть лишь набор статистических данных с наблюдавшимися реализациями величин и т. Тогда для оценки ам h естественно взять соответствующие среднестатистические величины, после чего для расчетов по формуле (15.1) останется лишь оценить Ь- Для этого можно опять-таки генерировать и усреднять величины со, с той лишь разницей, что для получения т и используется равновероятная выборка из имеющихся статистических наборов. Таким" способом можно находить оптимальные m и и, не используя никаких гипотез о функциях распределения О (х) и F (х) и исходя непосредственно из статистических данных. Пример 15.1. Допустим, что поток требований пуассоновский, а время задержки в выполнении заказа постоянно. При этом Ьт, определяется формулой (15.3). Пусть: G = 1 (?. = 1/а); т = 5; = 50; /i = 0,1; с (и) = Со + сп (и > 0); Со = 20; Су = 10. Здесь и далее не указываем размерностей, предполагая, что все величины даны в одной и той же системе единиц. Решение. Из (15.1) 0,lmn-j-0,ln [(n-j-l)/2-5]+20+10«-(50+0,1«) « Ьт+п (15.4) а согласно (15.2) п* (m)=max (m, Г1/400,25 + 2& (-щ-0,5bт +404,5)-Ьт-0,5~\). (15.5) Кроме того, нам понадобятся значения Ьт, рассчитанные по формуле (15.3) и приведенные в табл. 15.2 с точностью до четвертого знака после запятой. 1/(/п, tt = const)= 50-f 0,1и- Значения 6„ Таблица 15.2
При m > 15 величины fc с принятой точностью можно считать нулевыми. Поиск минимума будем осуществлять методом покоординатного спуска из точки (О, 0), где V = 50. По формуле (15.5) п* (0) = ГК4420,25 - 5,5~1 = 61. Подставляя и = 61 в (15.4), находим V (т, л =61) = 56,1 6,1т-2633,5 6т+61 (15.6) Из точки (О, 61), где V = 16,2, спускаемся вдоль оси. Минимум функции (15.6), являющейся унимодальной, можно найти методом Фибоначчи. (Напомним* что t-й член последовательности Фибоначчи находится по формуле Fi = Fj i + + Fj 2, i > 3.) Предположим, что искомый минимум расположен в одной из целочисленных точек интервала, длина которого равна одному из членов ряда Фибоначчи. В рассматриваемом случае в качестве такого интервала можно взять (-1, 20), длина которого равна F. При m > 20 функция V (т) линейно возрастает по т, поскольку fcm О, и, следовательно, минимум этой функции расположен на интервале (-1, 20). Вычисления по методу Фибоначчи приводят к последовательному сокращению длины Fg интервала неопределенности, причем после первого шага его длина равна /7, после второго F и т. д. На первом шаге вычисляем значения функции (15.6) в точках, отстоящих на F = 13 от концов исходного интервала (-1, 20), т. е. в точках т = 7 и т = 12: У (7) = 13,805; У (12) = 14,123. Поскольку V (12) > V (7), минимум не может находиться на полуинтервале [12, 20) и этот полуинтервал отбрасываем. Остается интервал (-1, 12), длина которого равна F. Отступая от его концов на Fe = 8, получаем точки m = 4 и m = 7 и находим, что У (4) = 14,312 [У (7) уже вычислено на первом шаге]. Видим, что У (4) >-У (7) и отбрасываем полуинтервал (-1, 4]. Остается интервал (4, 12) длиной Fg. Отступаем от концов на F = 5, получаем точки m = 7 и m = 9. Находим, что V (6) = 13,865. Поскольку у (7) <; у (9), остается интервал (4, 9) длиной F. Отступаем от его концов на F == 3 и получаем точки m = 6 и m = 7. Находим, что У (6) = = 13,869, следовательно, У (7) < У (6). Остается интервал (6, 9), содержащий единственную точку m = 8, в которой значение функции (15.6) еще не найдено. Находим, что У (8)= 13,813, и убеждаемся, что минимум функции (15.6) достигается при m = 7. Итак, получена точка (7, 61), причем У (7, 61) = 13,805. Дальнейший спуск осуществляем вдоль оси п. Из (15.5) и* (7) = Г1/603,3072 - 0,7555~ = 24. Из точки (7, 24) спускаемся вдоль оси т. Из (15.4) y(m,n = 24)=52.4 + :i=. (15.7) Поиск минимума функции (15.7) на интервале (-1, 20) методом Фибоначчи дает такую последовательность значений: У (7) = 12,706; У (12) = 12,788; У (4) = 14,266; У (9) = 12,5715; У (10) = 12,621; У (8) = 12,586. Видим, что минимум достигается в точке т = 9. Из точки (9, 24) осуществляем спуск вдоль оси п. Из (15.5) получаем п* (9) = ГТ/442,25 -0,5531~1 =21 и попадаем в точку (9, 21). Из (15.4) У(;„,„=21)=52,1 + Методом Фибоначчи находим, что минимум этой функции находится в точке т* = 9. Поскольку точка (9, 21) получена вторичнр, она является точкой минимума, причем У (9, 21) = 12,552. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 [85] 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||