|
| |
|
Слаботочка Книги Рассмотрим теперь модель 2. Обоначим V (т, п) = Vi (т, п) + («), где VAmn)- У 2 («)=- /=т+1 Пусть последовательность gj имеет единственный минимум в точке /о. При фиксации последовательных значений п условно оптимальные зоны Г„ строятся по правилу: Ti = /о> Гг = (/о. Л). /o-f 1, если /.+1 </.1. /о-1, если /.+Г>/„-ь и т. д., так что Г„ образуется прибавлением к зоне Г„ 1 соседней точки либо справа, либо слева, в зависимости от того, где меньше значение gj. Обозначим члены последовательности gj, переставленные в порядке возра- стания, через а, ... И пусть Л„ = 2 сц, тогда оптимальное п получается при минимизации выражения AJn + с {п)/па. (15.8) При с (и) = Со + Citi это выражение унимодально, причем его минимум достигается при минимальном п, таком, что nOn+i - Л„ > cja. Если поток требований пуассоновский с параметром к и kl i, i < О, 2 i, i >0, gj = (1 + kz) [khQ (j, Щ - jQ (/ + 1, Щ] + kz (/ - Щ; Agj = - -{ki + k2)Q{j+ 1, Щ. (15.9) Пример 15.2. Положим: Cp = 1; = 5; /г = 2; = 8; 2 = 2. Значение не влияет на выбор оптимальных параметров, так как с ним связано только постоянное слагаемое кс в выражении для V. Решение. Ищем минимум gj, для чего в таблице Q (j, 10) берем такое минимальное /о, что Q (/, 10) < kJiki + kz) = 0,2. Получаем /о = 13. В табл. 15.3 приведены значения Q (/, 10) в окрестности этой точки. В третьей строке даны значения gj, вычисленные согласно (15.9). Ясно, что = 13; = (12, 13); Гз= 12,14; Г4 = 11,14; Г5 = 11,15. Таблица 15.3 Значения (?(;, 10)
Результаты решения для примера 15.2 Таблица 15.4 Теперь минимизируем выражение (15.8). Результаты вычислений сведем в табл. 15.4. По нижней строке табл. 15.4 ищем минимальное п, такое, что nOn+i - - А-п, > Хсо. Это и* = 4. Следовательно, оптимальной зоной изменения Y (f) будет Г4 = 11,14. Иными словами, оптимальными будут параметры пг* = 10 и и* = 4. При этом У = Л4/4 + Ясо/4 = = 10,85. 15.1.6. Приближенное решение для централизованной системы. Рассмотрим два случая. 1. Центральный склад располагает элементами, чтобы снабжать k низовых складов в течение фиксированного времени Наработка элемента - с функцией распределения F (х). Время доставки с центрального склада на объекты постоянно и равно д. На каждом низовом складе используется (пг, и)-правило заказа (при п > пг). Пусть Р (to) - вероятность того, что ни на одном низовом складе не произойдет перебоя в снабжении элементами и центральный склад будет своевременно отправлять заказанные партии. Тогда
P{to) » е-«««(д)/««Ф N-kto/a-M Vcktola? +D (15.10) где ТИ = (и + 1) ( - l)/2; D = (k - \) {n - 1)/12; Ф (x) - нормированная функция нормального распределения. Формула (15.10) дает хорошее приближение, когда: а) Fm (д) < 1. т. е. за время доставки заказанной партии вероятность появления более пг требований мала; б) суммарное число требований, поступивших за время от всех k низовых складов, достаточно велико (что позволяет использовать нормальную аппроксимацию для распределения числа поступивших требований). 2. С центрального склада имеется возможность посылать заказы на пополнение, причем они доставляются за фиксированное время Тд. Центральный склад использует (М, Л/)-правило заказа, а низовые склады (т, и)-правило, причем п > пг, N > ТИ. Поскольку в центральный склад поступают требования сразу на п элементов, удобно перейти к приведенным параметрам М = М/п; N = NIn, считая их целыми. Вероятность бесперебойного снабжения Р (t) за время t можно вычислить в предположении > 1, что позволяет использовать пуассоновскую аппроксимацию для описания суммарного потока заказов с низовых складов в центральный. Параметр этого аппроксимирующего потока Л вычисляется по формуле Л = kina, где а а [1 -f mlnFm (/д)1 (предполагается, что f „ (Q 1). Если дополнительно предположить, что М--1 :(ЛГд)-1-е-д 2 - (ЛГд)/ / = 0 «1, то искомая функция Р (t) хорошо приближается экспоненциальной функцией Р (/) » е"-* с параметром л.=-£-(д + Лм--.(лГд). J5.2. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ИЕРАРХИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ МНОГОНОМЕНКЛАТУРНОГО ЗАПАСА ЭЛЕМЕНТОВ 15.2.1. Предварительные замечания. На практике часто возникает проблема обеспечения парка технических систем (например, вычислительных центров, автохозяйств и т. п.) многономенклатурным запасом элементов и деталей, необходимых для проведения текущих ремонтов и плановых предупредительных замен. При этом предполагается, что каждый территориально обособленный объект может включать в свой состав несколько обслуживаемых технических устройств: вычислительный центр может быть оснащен несколькими ЭВМ одного и того же класса или типа, к автопарку может быть приписано много машин, запасные части которых могут совпадать по типоразмерам, и т. д. Такой обособленный объект может пополнять свой индивидуальный запас элементов и деталей, необходимых для проведения технического обслуживания, лишь периодически из фондв некоторого центрального или регионального склада. Подобная иерархия складского хозяйства может быть продолжена, а в качестве верхнего уровня можно рассмотреть поток поступления запасных частей и элементов с заводов. Для простоты будет рассмотрена лишь двухуровневая схема снабжения, однако результаты могут быть легко перенесены и на схемы с большим числом уровней, каждый из которых может иметь свои периоды пополнения. Говоря об обеспечении некоторого технического объекта запасными элементами, мы будем предполагать, что эти элементы предназначаются для поддержания системы в исходном состоянии, т. е. с учетом наличия всех резервов. Иными словами, обслуживаемый объект в этом смысле представляет собой как бы последовательное соединение элементов. Аналогично центральный склад считается удовлетворительно функционирующим, если он способен в начале каждого периода планового пополнения запаса индивидуального объекта довести этот запас до номинального уровня. Принцип решения общей задачи поясняется на простой вспомогательной задаче с однономенклатурным запасом. 15.2.2. Однономенклатурный запас. Единственный технический объект, состоящий из п основных однотипных элементов, должен быть обеспечен запасными элементами (ненагруженным резервом) на период работы 6, после чего запас пополняется до начального уровня и работа объекта продолжается. Не отказавшие элементы продолжают работать на следующем периоде. Запас пополняется мгновенно (это ограничение, по существу, не является принципиальным и может быть легко учтено) за счет центрального склада. Сам центральный склад может пополняться с периодом т, который для простоты выбран кратным В, т. е. т = = sQ, где S - целое. Требуется обеспечить объект и центральный склад таким числом запасных элементов, чтобы затраты на запасные элементы были бы минимальными при требуемой вероятности обеспечения объекта необходимыми средствами для технического обслуживания. (Ради краткости изложения обратная постановка задачи, касающаяся максимизации качества обеспечения запасными элементами при ограничениях на суммарные затраты, не рассматривается.) Для конкретности будем рассматривать в качестве показателя надежности системы обеспечения технического объекта запасными элементами вероятность того, что за время т не возникнет дефицита запасных элементов при необходимости проведения замены в течение времени 6 непосредственно на объекте либо при необходимости постановки очередной партии с центрального склада, который оказался к этому моменту опустошенным. Примечание. Можно в качестве показателей надежности обеспечения выбрать и другие, например долю времени, в течение которого объект находится в состоянии обеспеченности запасными элементами (аналог коэффициента готовности), среднюю длительность периода до первого возникновения дефицита запасных элементов и т, п. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 [86] 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |