|
| |
|
Слаботочка Книги Предположим для простоты, что отказы элементов у рассматриваемого технического объекта образуют пуассоновский поток Л= пк. В этом предположении все элементы, проработавшие безотказно в течение интервала времени 6, в начале нового периода работы полностью эквивалентны по своим характеристикам надежности новым элементам, только что поставленным в работу из числа запасных. Обозначим через Vj случайное число элементов, отказавших за время t. Если на период В техническому объекту придано х запасных элементов, то вероятность того, что запасных элементов окажется достаточно, равна г (x,e)=P{ve<x} = y - е-«б. (15.П) Если не наступает полного исчерпания запасных элементов, то в начале нового Периода нужно пополнить запас на случайную величину ve. Эта случайная величина отличается от ve тем, что она имеет усеченное справа распределение (она не может быть больше х), т. е. Р {ve = z (P{ve< 4)- -е-"б при 2< х, О при z> X. При приближенном решении усечение распределения можно не учитывать, что позволит получить решение в более простой форме. Далее, центральный склад, имея х запасных элементов на период т, может обеспечить пополнение индивидуального запаса технического объекта в течение S - 1 необходимых по объему поставок с вероятностью («„,T-e)i*pJ2vj<x«j (п?о(т-6)) е-"с-б) (15.12) (Аргумент т - 6 появляется, так как пополнение начинается со второго цикла работы объекта.) Вероятность того, что описанная система обеспечит бесперебойное снабжение технического объекта запасными элементами в течение всего периода т, можно приближенно записать в виде R {X, хо, Q, х)г (хо, т - 6) [г {X, е)]/е, где в правой части стоят выражения, определенные в (15.11) и (15.12). Истинная вероятность указанного события будет больше, так как: 1) отказ какого-либо элемента при отсутствии запасных элементов на объекте может еще не означать отказа этого объекта, так как последний может продолжать нормально функционировать за счет наличия внутренней избыточности; 2) нехватка запасных элементов в центральном складе для очередного пополнения индивидуального запаса не означает отказа системы, так как при этом объект может нормально проработать в течение периода В (или даже нескольких таких периодов) при неполном исходном числе запасных элементов; 3) события А - нехватка элементов индивидуального запаса на одном из периодов 6 и В - нехватка элементов центрального склада для пополнения индивидуального запаса на одном из периодов т являются положительно коррелированными, а следовательно, Р {АВ) >Р{А)Р (В). Примечание. Вероятность R (х, х„, в, т) можно было бы записать и более точно (с учетом указанных выше поправок), однако предлагаемое приближенное решение является вполне удовлетворительным для практических целей. Прямая и обратная задачи оптимизации могут быть записаны соответственно в виде: max{R (X, х, 6, т) d (x)-f Q К) < С*}; х.х" min { Ci (х) + Q W IR (х, x„ e, т) > i?* где с* и /?* - соответствующие допустимые (или требуемые) значения. Функции Ci и С2 выбраны различными, так как в общем случае они могут учитывать разные затраты на хранение запасных элементов в составе индивидуального запаса непосредственно на объекте, а также на центральном складе. Для простоты в дальне11шем будем считать (х) = сх и (х) = схо, где с - стоимость одного элемента. Если центральный склад должен обеспечить М различных территориально обособленных технических объектов, различающихся по числу входящих в них однотипных элементов (t-й объект состоит из tit элементов, i = 1, Л), то целевой функционал R (х, х, 6, т), где х = (л;,, х), имеет вид R кх, х„ е, т) » г (Хо, г-в\М) и [г (Хг т)] . (15.13) 1= 1 хо (Мт-е) 2«.-)* Здесь r(Xo,T-eM) = V -=j -мх-е),=. . Выражение для затрат на запасные элементы будет иметь вид (для случая линейной зависимости) { = 1 / Примечание. Запись функционала в виде (15.13) может в принципе привести к тому, что различные объекты будут обеспечены запасными элементами с разной степенью надежности. 15.2.3. Многономенклатурный запас. Пусть i-й объект состоит из т типов различных элементов Пц, tiim- Обозначим Cj и Xj-соответственно стоимость и интенсивность отказов одного элемента /-го типа (/ = 1, т); = (Хц, Xim), X = {Xi, Хм), Хо = (Хох, .... Хот)- Очевидно, что: г,(Х,,е)= П г(хи,в); d = 0 Го(Хо,т -6)= П r(Xo,T -6); /=1 rojixoj, т-6) = Kj{r-Q) 2 ntj d = 0 -x,(T-e)2 «u При решении практических задач можно воспользоваться приближенным методом (см. п. 13.3.6). Применительно к рассматриваемой задаче этот метод дает следующее выражение для оптимального решения: / m I М т \ Qt (х;,Q) 2 2 S Qo. (15.14) где X/ - вектор, соответствующий оптимальному решению г-го технического объекта; „ f 1, если в состав t-ro технического объекта входит элемент /-го типа, [ О в противном случае. Аналогично / т (Mm \ Qo{Xl,r-e) bojCj / 2 CjbiAQo, \/ = l / 1 = 0/=1 / (15.15) где X* - вектор, соответствующий оптимальному решению для центрального склада; {1, если в состав хотя бы одного технического объекта входит элемент /-го типа, О в противном случае. Процедуру определения «квот ненадежности» типа (15.14) и (15.15) можно продолжить далее. Однако (15.14) и (15.15) можно взять в качестве первых приближений, а далее использовать, например, метод покоординатного наискорейшего спуска для каждого технического объекта и для центрального склада. В этом случае можно, рекомендовать следующую - процедуру. Пусть в i-M техническом объекте (индекс t = О соответствует центральному складу), где уже имеется Xj запасных элементов, добавляется один запасной элемент /-ГО типа. Вычисляем для этого случая относительное приращение: Qi (Xj)-Qj (Xj + ej) (15.16) где - вектор, у которого все компоненты, кроме j-u, равны нулю, а /-я равна единице. В систему добавляются элемент с таким номером / и система с таким номером i, для которых величина yij, определяемая в (15.16), является наибольшей. Таким образом, может быть получено хотя и приближенное, но зато крайне простое решение задачи о нахождении состава многономенклатурного запаса с иерархической структурой и периодическим пополнением. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [87] 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 |