|
| |
|
Слаботочка Книги ем сведений по теории вероятности приведен Операционное исчисление, основы которого изложены в § 1.7, в теории автоматического регулирования получило настолько широкое применение, что вряд ли нуждается в комментариях. Наиболее фундаментальное понятие теории автоматического регулирования - понятие передаточной функции - базируется на основах операционного исчисления, что говорит о ею важности для специалиста по автоматическому регулированию. Естественно, что приведенный в настоящем разделе объем математических сведений не является исчерпывающим. На наш взгляд, это лишь необходимый минимум математических знаний, которыми должен владеть специалист по иаладке автоматических систем регулирования. 1.2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Комплексные числа Комплексным числом z называется выражение вида z = x+jy, (1.1) где хну - вещесгвенные числа; / - некото- рый символ, под которым понимается )/ - 1 Из этого следует, что = - 1, = -j, f = = 1. В o6uieM случае f" = 1, f"* Число X называется вещественной частью комплексного числа и обозначается Re z; число у называется мнимой частью комплексного числа н обозначается Jm z. Комплексное число называется чисто мнимым, если Re г = 0. Сложение, деление и умножение комплексных чисел осуществляются по следующим формулам: ix\ -Ь \хг +}Уг) = УХу + Хг)+ЦУ\ + УгУ (1-2) (1 +Jyj)(C2 +}У2) = (jci +Ш = (12 + yiyiVil + у1) + + ){Х2У-ХхУ2)1{Х2+У2)- (1-4) Вычисления с комплексными числами можно производить, применяя обычные правила алгебры, если в расчетах принимать j=-l. Таким образом, для комплексных  Рис, 1.1. Представление комплексного числа на плоскости чисел нет необходимости создавать специальную алгебру. Комплексные числа = jci -I- jy и 2 = Xi -Ь }yi считаются равными, если х\ = = Х2; У1= уг- Комплексные числа zi=x+jy и гг = = JC - jy называются сопряженными. Комплексное число = Xi + jy можно изобразить как точку Mi (xj; у) на плоскости с координатами х и у (рис, 1Л). Число 1 = Xi + jyi называется аффиксом точки Ml {Xi\ vi). На рис. 1.1 в качестве примера изображена точка (Xii -yi), соответствующая комплексному числу Zj = - jyi, сопряженному с комплексным числом Zi = xi + jy. На данной плоскости можно изобразить бесконечное множество комплексных чисел. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называют комплексной плоскостью. Комплексное число, например Zi, можно также изобразить вектором, начало которого находится в центре координат, а конец - в точке М1. При сложении комплексных чисел их векторы складываются по правилам параллелограмма. Комплексные числа кроме приведенной выше алгебраической формы удобно записывать также в тригонометрической форме: Z = X + Jy = р (cos Ч> +,i sin ф). (1.5) Выражение (1.5) для комплексного числа с учетом формулы Эйлера = cos ф -I- j sin ф .можно записать в показательной форме: г = ре, (1.6) где р = I г I = j/x + У - модуль комплексного числа; Ф = ±arctg(y/x) при х>0 и Ф = я + arctg iy/x) при X < О - api умент ком- плексного числа; ф = п/2 при х = О, если у>% и ф = -п/2 при X = О, если >> < О Геометрический смысл р и ф понятен из рис. 1.1. Необходимо помнить, что все углы Ф + 2Ы ( де к может принимать все возможные целые значения: положительные, отрипа-тельные и нуль) также будут представлять собой аргументы г. Пшмер 1.1. 1) г = 1 = cos 2fciH- У sin 2кк = е*"; 2) z=j = cos (я/2 + 2кк) + + (тс/2-н2Лл) = е+ 3) z = 2+j2 = 2\/2 cos(j + 2kK + + J&m(j + 2kT =2]/2e" Тригонометрическая и показательные формы записи комплексных чисел удобны при их умножении, делении, возведении в степень, логарифмировании и пр При умножении (делении) комплексных чисел их модули перемножаются (делятся), а аргументы складываются (вычитаются), при -»iom слагаемое 2кп в аргументе опускается: 212 - pi(COS ф1 Н-jSin ФО р2(С08ф2 -f- H-ysin ф2) = р,рг [со8(ф1 -f- фа) + -JSШ(ф, +ф1)]=р.р2е<-*; (1.7) г" = р" (cos ф -н J sm фУ = = р" (cos Пф -н 7 sin пф) = pV"*. (1.8) При извлечении корня нз комплексного числа слагаемым 2кк в аргументе пренебрегать нельзя: р = "К = р"-fcos JФ±2Ь\ (1.9) Пример 1.2. Извлечем кубический корень из числа Z = 8 = 8 (cos 2кп + J зш Ikn). Имеем р = 1 = 2 [со* (2Ля/3) + J sin (2tai/3)]. При ft = О получим Ро = 2 (cos 0+j sin О) = 2; при ft = 1 Pi = 2 (cos 2я/3 + jsin2ii/3) = -1 + при ft = 2 p2 = 2(co847t/3-bysm47i:/3) = = -l-J]/3 При ft 3 значения ), повторяются. Функции комплексного переменного Если Р (х, у) и 2 (х, у) - функции вещественных переменных х и у, то комплекс- ная величина f (г) = Р (х, у) + jQ (х, у) рассматривается как функция комплексного переменного Z = X + ]у. функция f(z) непрерывна в точке zq, если для каждого сколь угодно малого юложитепьното числа с существует положительное число б = б(с) такое, чю выполняется неравенство [/(2)-/(2о)1<5 (1.10) для всех Z, удовлетворяющих неравенству и-Го<е. (1.11) lim/(z) = /(zo). (1-12) Функция / (z) однозначна, если каждому значению z соответствует единственное значение J {z). Например, /(z) = г"" - неоднозначная функция, так как на основании формулы (1 9) для одного значения z получаем п значений /(г). Производная однозначной функции по определению равна / (Z) = hm {[/(Z + z)~J (z)]/Azl.(1.13) Если предел (1.13) существует и не зависит от тою, каким образом Az стремится к нулю, то /(г) - аналитическан функция. Условия, необходимые для аналитичности функщш/(г) (усдония Коши - Римана), следующие: дР/дх = дО/ду; дР/ду-dQ/dx. (1.14) Эти условия будут достаточными, если дополнительно потребовать непрерывности частных производных функций Р (х, у) и Q (х, у). Однозначная аналитическая функция называется голоморфной. Пусть С " непрерывная кривая в плоскости комплексной переменной f{z). Разделим эту кривую на п произвольных частей с помощью промежуточных точек zi, Zi, ... .., г„; пусть R„ - точка, находящаяся между z„j и z„; обозначим Az„ = гщ - г„-1. Предел суммы произведений вида /{Яя,)Аг„ называется криволинейным интегралом функции f{z) вдоль кривой С, т. е lun t /(R„)Ar=J/(z)dz. (1.15) "-O - i • с Вычисление интеграла (1.15) производится по выражению \nz)dz = \(Pdx~Qdy)+j\(Pdy + Q dx). с с с (1.16) Если функция / (х) голоморфна внутри некоторой области, то криволинейный интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру, расположенному внутри области, равен нулю (теорема Кпии): jf{z)dz = (K (1.17) где С - замкнутый контур внутри области; / (z) - голоморфная функция. Еспи /(I) - функция, голоморфная в замкнутой области, ограниченной контуром С, а 2t) - внутренняя точка области, го по формулам Коиги /(2) 2тс/ J г - -dz; о 2я/ J (Z - zaf (1.18) (1.19) здесь контур С обходится в положи!ельцом направлении, Всякая функция/(г), юломорфня внутри некоторого круга с центром а, может быть во всех точках z внутри этого крута единственным образом представлена в виде степенною ряда f(z)=f(a) + f(a) + ... ... + /<"(й)-*-..-, (1-20) и! называемого рядом Тейлора, где /(а) = = ldfiz)/dzl.„ f4a) = [d"fiz}/dz%„. Если центр круга находится в начале координат (а = 0), 10 получается ряд Маклорена /()=/(0)-н ,-/(0) + ... (1-21) Пример 1.3, Рассмотрим разложение некоторых функций в ряд: 1)/(г) = sinr « Z - 2/3! -нг75! - 2) /(2) = COS2 = 1 - 2/2! -Н zV4! - 3J /(Z) = shz = 2 -н г-/З! -н г/5! + 4) /(г) = chz = 1 -Н ZI2\ + г*/4! -н ...; 5) /(2) = = 1 -Н 2/1! -Н гД! Ц-... Если / (г) - голоморфная функция в определенной области, за исключением ее некоторых точек, то такие точки называю1ся особыми. В окрестностях особых точек j {z) не может быть разложена в ряд Тейлора, К особым точкам относятся: полюсы - это особые точки, вблизи которых/(z) остается однозначной и которые яв:[яются неособыми точками для Iffiz), например/(z) = 1/(2 - 1) имеет простые полюсы 2, = 1 и 22 = -1; суцественно осо&ые ?т>чкм - это особые точки, в окрестностях которых f{z) однозначна, но которые являются особыми и для функции \/j {z), например /(г)=8ш1/г имеет существенно особую точк> в начале координат; критические точки или точки 5>азвствле-нин - это особые точки, вблизи которых /(z) неоднозначна, например /(г) = г"" имеет гочку разветвления в начале координат. PaзJ[oжeннe функции f (г) в ряд вблизи полюса или Существенно особой точки а осуи1ествляе1СЯ с помощью ря/1Д Лорана; /12)= Е Л(2-а)", (1.22) fiz)iz-a)-"-4z. (1.23) Здесь С - некоторый замкнутый KOirryp, обходяпдий прогив часовой стрелки точку а. Прнмер 1.4. Функция / (г) = 1/z (z - 1) имеет два простых полюса: Zj = О и Z; = 1. Разложение/(2) в ряд Лорана вблизи полюса zj - О имеет вид lflzi.z-l)\= -(1+z + z +...)fz, а вблизи полюса zz = V l/[z(z-l)] = [l-(2-l)-h(Z-])--(2-l)+...]/U-l). Ко-зффнциент Л-1 при члене (z -й)" в ряде Лорана называегся вычетом функции j (z) в точке Z s= п, Res[/(z)],=,a. и определяется по формуле =Res [/(2)],=, = /(z)dz.(1.24) Из выражения (124) следует теорема вычетов, дающая возможность вычислять интеграл по замкнутому контуру, охватывающему особые точки. Если функция /(г) имеет особые точки а,, dj, .... оц, охватываемые контуром С, то \f{z)dz = 2nj ERes[/(z)],,, (1.25) 0 [1] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 |