|
| |
|
Слаботочка Книги Li*l . (1.201) 2. Прай1ию диффереяюровшшя. Пусть ф(р) = L[ф(t)] и существует н-я производная Ф(еХ тогда .[ф<"ЧО]=/>[ф(Р)- (1.202) где ф"*(+0) - значение функции ф(0 и всех ее п - 1 производных при стремлении t к нулю справа. В частном случае при нулевых начальных условиях, т. е. когда ф(0) = ф(0) = ... ... = ф*""*(0) = О, получаем .[ф"*(0]=/ф(р) (1-203) В этом случае дифференцированию исходной функции соответствует умножение преобразованной функции на р, т. е. замена d/di на р. Пример 1.16. Пусть (( (t) = dip it)[dP, Toi да "{p) - pfip) при нулевых начальных yaio-вияя. EtiH начальные условия не нулевые, то по (1.202) Ф (р) = рф (р) ~ /ф (0) - рф (0) - ф" (0). Если ф(() = L" [ф(р)], то в области абсолютной сходимости ф(Г) дифференцирование изображений осуществляется по формуле (-l)-r"ф(I) = L-[ф""(P)], (1204) т. е. операции дифференцирования изображений соответствует алгебраическая операция умножения оригинала на независимун) переменную f, взя1ую с огрииатсчьным знаком. Пример 1.17, Даио ф(р) = Этому изображению соответствует оригинал ф(г) = 1. Найдем оригинал, соответствующий изображению \/(р) = 1/р. Так как \;(р) = 1/р = -ф(р), то -1-[ф(рЛ = -(-1)ф-() = следовательно, L-4I/P] = r- . 3. Правила интегрирования. Если ф (р) = = L[ф(r)] И при ( >0 ф(01 <а, то ф(т)т Ф(Р) (1.205) т. е. операции интегрирования оригинала 2 Зиказ 1546 соответствует операция деления изображения на р. Если ф(r) = L-[ф(p)] И lV{q)dq сходится, то (1.206) т. е. операции интегрирования изображения соответствует операция деления оригинала на переменную l с обратным знаком. Пример 1.18. Пусть ii/(t) - ф(т)(гт, где ф(т) = 1, о для которой [Ф()] = Ф(Р)= L/P, гогда \}/(г) = I. Найдем L[\/(r)], используя формулу (1.205): ф(т)т L0 = уф(р)-. Аналогичный результат был получен в предыдущем примере при использовании формулы (1.204). EaiH в (1.206) положить ф(р) = то Ф (t) = (, тогда если 1/(р) = L-[ii/(p)]-L- L Р 4. Изображшне реикння линейного даф-фершцнального уравнения с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях найдем, исгюльзуя правила дифференцирования в iipoc I ранС1 ве изображений. Пусть dy , „ d"-y dt" dt"" df" [1.207) Где x(?) - задания, a >{?) -искомая функции независимою переменного I. При нулевых начальных условиях можно заменить djdt на р, х{1) на х{р), у(Г) на у{р), тогда искомое изображение у{р) = х{р) (1.208) + +... + а„ 5. Теорема смещения. Если Ь[ф(1)] =ф(р), то при т > О £[ф(г-т)] = е-Хр). (1.209) Для ИJOбpaжeний теорема смещения имеет вид {p-p) = L\eP.i<{t)l (1.210) где ро ~ любое комплексное число. 6. Те<фема свертывания. Сверткой двух функций ф1(0 и ф2(0 называется функция <р{1) = ф,(1)ф2(£-т)</т, (1211) лдя которой Ф(Р) = Ф1(Р)Ф2(Р)- (1.212) Выражение (1.212) называется теоремой свертывания изображения. Для оригиналов теорема свертыва:1ия имеет вид -[Ф1(0Ф2{0} = :С7 J Ф1(2)ф2(р-г)/2, (1.213) ф1(2)ф2(р-г)2. (1.2)5) При ф1 (О = фг (I) Ф?(г)е-"гг = ф1(2)ф1(р-2)г. (1.216) Полагая в (1215) и (1.216) р = О, что допустимо, так как при введенных предположениях о показателях роста точка р -О лежит внутри области, определяемой неравен-сгвом о > Ь + fcj. получаем Фз(1)ф2(Г)Г = 2 л/ Ф1(2) ф2(-2)2 = Ф1(/1М)ф2{~>)сй; (1.217) ф1(2)Ф1(-2)г = -[Ф1(0Ф2(0] = Г- 2л: / Ф1(р-г)Ф2(2)(г. (1 214) Формулы (1.2J3) и (1.214) справедливы, если Ф1 (I) и ф2 (Г) - оригиналы с показателями роста Ь, и bz, а фДр) и ф2(р) - соответствующие им изображения в области, где вепгественная часть комплексного аргумента р = с + j<a удовлетворяет неравенству а > hi + bi при Ci > fci и С2 > 2 Пример 1.19. Если функции ф)(0 и ф2(0 имеют показатели роста (jj < О и 2 < О, то можно в формулах (1.213) и (1.214) положить Ci = Сз = 0. Тогда Ф1((а))1[о. (1.218) 7 Теорема разложения. Обратный переход от изображения ф(р) к оригиналу ф(£) в общем случае по формуле (1.196) обычно связан с громоздкими вычислениями в области комплексных чисел. Поэтому в практике автоматического регу.Еирования нашли применение иные математические формулы, охватывающие дос1аточно широкий класс практических задач теории автоматического регулирования Случай 1. Предположим, что ф(р) может быть разложена в ряд по обрат ныл! степеням р, 1 е. Ф(Р) (1.219) тогда (1.220) Эту формулу иногда называют первой теоремой разложения Хевисайда. Случай 2. Пусть Ш=1{Р)1У(Р), (1-221) V{p) = hp" +hp + ...+b„; (1.222) »(р) = аоР" + о.р"" + (1-223) причем п > m и уравнение V{p) = О имеет только простые корни р,, т.е. V(pi)0. Тогда где суммирование ведется по всем п корням уравнения v(p) = 0. Если среди корней уравнения F(p)=0 имеется один нулевой, т.е. K(p)=pW(p), то ф(0=т У JiEiL,., (1.225) где суммирование ведется по всем корням п уравнения W(p) = 0. Формулу (1,225) иногда называют второй теоремой разложения Хевисайда. Случай 3. Ест среди корней уравнения У{р) = О в формуле (1.221) имеются кратные, т. е. (р) = йо(р-р,У">(р - ргГ... (Р - Р-Г% (1.226) то "* Ф()= I lH»/«.-V., (1.227) 1-1J-1 iJ-l)\{m,-JV.dp- {р-РкГУ(р) Прин 1.20. Автоматическая система регулирования описывается дифференциальным равнением вида rdyit) -+y(t) = kxit). (1.228) xit) Определим реакцию системы на единичное воздействие при нулевых начальных условиях, т. е. найдем решение уравнения (1.228) при 1 при t > 0; О при I О- Преобразовав уравнение (i.228) по Лапласу при нулевых начальных условиях, получим у(р)х(р)к/{Тр +1) = к/[р{Тр -t-1)]. Для определения у([) воспользуемся формулой (1.225), для чего положим и{р) = к, Wij>) = Тр -t- 1, откуда п = 1, р, = -1/Г, Wip)=T. Тогда у(0 = Л(1-е-/). 8. Дельта-функцня. В практике исследования автоматических систем управления встречаются случаи, когда ичображение выходного сигнала ф(р), о11реле.1Я№1ое по формуле (1.221), имеет степень числителя, большую или равную степени знаменателя. В этом случае формулы (1.220), (1.225) и (1.227) теряют силу. Поскольку любая дробно-рациональиая функция может быть представлена в виде суммы целой части и правильной дроби и для правильной дроби может быть найден ориги-иа.4, решение поставленного вопроса сводится к отысканию оригинала для изображения в виде целой функции р: 4)(P) = ZV- (1.229) Для отыскания оригинала выражения (1.229) вводится понятие дельта-фуикция (0 (эту функцию также называют импульсной функцией или функцией Дирака). Для дельга-функции имеем L[5<"(t)]=p. (1.230) Чтобы выяснить физический смысл 5((), рассмотрим функцию Ф(г. а)= l/2-H(L/rc)arctg[(£- a)/oJ, (1.231) изображенную на рис. 1.12 для разных значений а. При а -* О фМ=Итф(.,.).{«"Р"<» (U32) а-О (1 при t > О получаем единичную ступенчатую функцию, широко применяемую в теории автоматического регулирования. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [10] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 |