|
| |
|
Слаботочка Книги Таблица 7.1. Журнал наблюдений
причем В матричной форме система уравнений (7.9) записывается в виде А = ВС. (7.11) 1 12 ... Г1„ Г21 1 ... Г2, 1 «г ... 1 Решение уравнения (7.U) имеет вид С = АВ", (7.12) гдеВ" - обратная матрица, способы нахождения которой прнаелены в § 1.5. Найденные коэффициенты по- казывают сравните.! ьную степень влияния каждой переменной х на величину у. Для практического использования полученных результатов необходимо вернуться к масштабу величин уравнения (7.6). Коэффициенты уравнения (7.6) определяют по формулам aj = pfo/a; ао =Уср ~ Z jXj, (7.13) TJK )•= 1, 2, 3,...,n. Мерой тесноты связи для множественной корреляции служит множествеиимй коэф- фициент корреляции Ry.,...,., - V, + ... + Р>,,. (7.14) Достоверность найденной статической математической модели в значительной мере зависит от организации эксперимента. Здесь следует придерживаться следующих рекомендаций. Если исследуемые переменные Xi,...,x, представляют собой непрфывиые случайные процессы, то время между соседними измерениями по каждой переменной необходимо выбирать не менее времени затухания ее корреляционной функции. Переменные JCb---.x„ должны изменяться практически не зависимо друг от дру а. Общее число опытов должно быть больше числа определяемых коэффициентов управления в 10-30 раз. По! решность измерения каждого параметра должна быть пренебрежимо мала по сравпеиию с диапазоном его изменения на HHTqieane наблюдения. Особенно важное значение при опреа;е-лении статических характеристик объектов pel у-тнрования методами пассивного эксперимента имеет учет динамических свойств объектов. Неучтенная динамика объекта может привести к существенным погрешностям, причем настолько большим, что применение полученных уравнений окажется бессмысленным. Учет динамичмжих свойств объектов при отыскании его статичмжих характеристик методом пассивного эксперимента сводится: 1) к определению оптимального времени сдвига Допт между моментами регистрации входной X и выходной у величии; для этого определяется взаимная корреляционная функция Ryxi") процессов x{t) н y{t); значение AforiT выбирается равным значению Тм. соответствзтошему максимуму Л,,(т); 2) к вычислению минимального значения относительной погрешности (7.15) 303 и принятию решения о целесообразности проведения пассивного эксперимента. Активный эксперимент основан на использовании преднамеренных возмущений, вносимых в объект регулирования. Преимущество активного эксперимента по сравнению с пассивимм заключается в возможности реализации любой программы задания экспериментальных значений х (см, табл. 7,1) при использовании того илн иного критерия оптимальности. При этом искомая зависимость у = f (xj) представляется в виде некоторого nojmnoMa (отрезка ряда Тейлора); y = f{xuX2,...,x„) = bo + JbiXi + i= 1 + I,b,jx,xj+ X biixf + ..., (7.16) IJ 1-1 где bo, hi, bij, Ьц... - постоянные коэффициенты. Поскольку измерения у носят случайный характер, выражение (7.16) не точно отражает связи между выходом и входом объекта, а является лишь уравнением регрессии 3>* = Д/(у}=/(;с,,Х2.....хД (7,17) где у* -- математическое ожидание выходной величины у. Рассмотрим задачу нахождения коэффициентов уравнения регрессии на примере уравнения второй степени с четмрьмя неизвестными переменными. Полученные выводы могут быть распространены на уравнения любой степени с любым числом неизвестных переменных. Пусть уравнение регрессии находится в виде y*-bo+t biXr+ i bijXtXj + i b,<xf. (7.18) i, 1 r<; i-i Введем фиктивную переменную Xq = 1 н обозначим: 0 ~ 0, Xi = 2], , , . ,Х4 = = Zj,,. .,Х4 = Гц; Х1Х2 ™ 29,...,ХзХ4 = Zi4. В новой системе обозначений (7.18) записывается как линейное однородное уравнение У*-= I,b,z, (7.19) Пусть при эксперименте в точке х„ (З = 1, 2, 3,..., выходная величина имеет значение у, тогда коэффициенты Ь, находятся из условия минимума выражения (ме- тод наименьших квадратов) iV / 14 \2 JV Sb-IM,, = 1{У,-У)- (7.20) S-1 \ 1-0 / 9 = 1 Взяв частные производные выражения (7.20) по bi и приравняв их нулю, получим систему нормальных уравнений: СюЬо + ciibi + ... + С114Й14 = tti; Ci4oo + С141&1 -I- ... -I- Ci4i4bi4 = ОС,4, Причем Я-1 ff=l (7-21) (7,22) где 1=0, 1, 2,,..,14; j = 0, 1, 2.....14. Система уравнений (7.21) решается аналогично (7.9). Чтобы система (7.21) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы матрица 1*0 1*1 Г014 С] 14 (1414 . (7.23) была невырожденной (см. § 1.5), т. е. определитель мат-рины С должен быть отличеи от нуля. Анализ решения системы (7.21) показывает, что коэффициенты bi зависят от числа членов уравнения регрессии (7.18). Такая неопределенность в Оценке коэффициентов регрессии затрудняет их физическую интерпретацию, поэтому при проведении активного эксперимента его стремятся спланировать так, чтобы сделать матрицу С диагональной (см, § 1,5), т. е. чтобы выполнялось условие ti/ = S HaJ = О при i ф j. (7.24) В этом случае система (7.23) превращается в систему независимых уравнений СооЬо = йо; eiibi =«,; (7-25) откуда *1414&14 - *14, , Ь,=а,/с„, 1=0, 1, 2,..., 14. (7.26) Для пос I роения математической модели объекта в свете сформулированных выше требований к матри1,в С применяют полный факторный эксперимент (ПФЭ) со следующими основными этапами: планирование эксперимента, проведение эксперимента, проверка воспроизводимости, получение математической модели объекта с проверкой статистической значимости коэффициентов регрессии, проверка адеква! ности математического описания. Планирование эксперимента. Математическое 01шсание обычно осущес! вляется в окрестнос1ях какого-то базового режима Ys= /(ЛГбь -62• • - •-бн) н может быть получено варьированием каждого из факторов Л", на двух уровнях, отличающихся от базовог о на шаг варьирования + ДА,. Значение ДХ, выбирается таким, чтобы приращение AY к базовому значению можно было выделить на фоне шума при небольшом числе параллельных опытов. Полным факторным экспериментом на-1ывается эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней п независимых переменных, каждая из которых принудительно варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций N = 2" определяет тип планирования. Преобразуем X, к безразмерной форме; Xi = (X. ~ Л-б,)/ДХ,. (7.27) В отклонениях от базового режима у = (У, - Ув)/ДУб математическое описание модели объекта будет определяться зависимостью У = /(х„Хг.....х„), (7.28) где и - число факторов, Прн использовании в (7.27) только верхних н нижних уровней варьирования значения Xj будут соответственно равны -и 1 и -1 (обозначаются в дальнейшем просто «+» и «-»),что значительно зщрощает построение матрипы планирования. Таблица 7.2. Матрица Рассмотрим на примере трехфакториой задачи, являющейся предельной для большинства технических задач, меюдику планирования ПФЭ. Для трехфакториой задачи теоретическое уравнение регрессии (7.17) с учетом (7.16) имеет вид 1-1 I.j (7.29) Уравнение (7,29) в координатах z аналогично уравнению (7.19) за1шсывается в виде У*= tbiZ„ (7.30) 2о = Хх,; Zj = Xi; Z2 = xj-, 2з = хз 24 = -«1X2; Zi * XiXa; Z6 =Х2Хэ Z7 = XiXiXy 1 (7.31) Для онределения коэффициентов 6, должно быгь проведено N = 2 = 8 опытов в соответствии с матрицей тигаиирования г10лно[ о факторного эксперимента, представленной в табл. 7,2, которая составлявся по следующему правилу: 1) каждая д-я строка матрицы соответствует набору варьируемых значений факторов х„ осуществляемых в данном опыте. 2) вводится фиктивная переменная xq = = zp = -1-1; 3) в первом опыте {д = 1) варьируемые неременные должны находиться на нижнем уровне, т. е. X, = ~1, Хг = -1, Xj = -1; 4) последующие строки матрицы планирования выбирают по правилу: при построчном переборе всех вариантов частота смены знака варьируемых переменных для каждой последующей переменной должна быть вдвое меньше, чем для предыдущей. Столбцы zu Z2, Z3 образуют собственно планирование, так как остальные элементы матрицы ползаются нз исходных соответствующим перемножением. плаинрованйя ПФЭ тяпа 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 [100] 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||