|
| |
|
Слаботочка Книги Из (7,72) следует, что вещественная Р{а)) и мнимая Q((ii) частотные характеристики WQco) могут быть найдены по формулам Р(со) = Ке[И]/5хИ; (7.73) Если входной сигнал представляет собой белый шум с Sj(oj) = Sf,, то с учетом (7.72) КЧХ определяется выражением Wiji) = Sy,((o)/So. (7.74) Определение статистических характеристик возмущений В реальных условиях система регулирования подвержена различным воздействиям, которые в обшем случае являются случайными функциями временн. Учет характеристик реальных эксплуатационных возмущений дает возможность более строго подойти к расчету АСР и к выбору оптимальных параметров ее настройки. Если на изучение случайных процессов не наложить ограничивающих предположений, то возникают серьезные трудности в их математическом описании и экспериментальном изучении. Поэтому при практических расчетах характеристики изучаемых случайных процессов обычно относят к какому-лнбо классу математическнх моделей. Для промытттленных АСР достаточно представительной моделью случайного процесса y(t) является модель вида [28] y{t) = ait) + bit) + cit) + dit) + xit). (7,75) где а (I) - постоянная или линейно изменяющаяся функция; 6(() - периодическая функция с фиксированным периодом; с(1)-нерегулярная, случайная, весьма низкочастотная функция; d (г) - аддитивная, весьма высокочастотная помеха измерения; х (I) - стационарный, эргодический, гауссовский дифференцируемый не менее чем дважды случайный процесс с нулевым математическим ожиданием. В реальных условиях пе каждый случайный процесс содержит все указанные компоненты. Так, компоненты a{t) и c{t) можно приравнять нулю в астатической системе автоматической стабилизации. Определяющими для случайного процесса y{t) являются свойства компонента x{t), поэтому в первую очередь в дальнейшем рассматривается этот компонент. Определение корреляционной функции. Для эргоднческого случайного процесса х(1) (см. § 1.6) оценка корреля-цнонной функции производится по един- ственной реализации случайного процесса (рис. 7.16) длительностью Тпо непрерывно-шаговому или выборочно-шаговому алгоритму, который соответственно определяется выражением К(;дт) = - xit)x{t + IAx)dt (7.76) КЛ/Ат) N lr Ar)x(i"A(-b / Аг), (7.77) где At - шаг выборки; Дт - интервал дйскрет-постн. Постановка экспериме1гга по оттреде-лепию корреляционных функций осуществляется в два этапа. На первом этапе записывают предварительную реализацию случайного процесса длштельностью Ti и определяют величины Дг, At и Т, обеспечивающие заданную точность вычисления оценки корреляционной функции по (7.76) или (7,77). Исходными данными для вычисления указанных величин служат число нулей и число максимумов случайного процесса на единице длины реализации. Последовательность операций на первом этапе, 1) записывают в сжатом масштабе времени отрезок реализации случайного процесса длительностью Ti; 2) ориентировочно оценивают среднее значение процесса и проводят среднюю линию процесса С; 3) подсчитывают число пересечений процессом x{t) средней линии С. Определяют среднее число нулей в единицу времени no, = NoJT,. (7.78) Длительность Tj выбирают такой, якобы на ней укладывалось 50-70 нулей;  Рис, 7.16. Пример реализации случайного процесса и ее обработка 4) подсчитывают число максимумов Мо:, процесса х (I) и вычисляют среднее число максимумов в единицу времени то. = MoJT,. (1.19) Подсчитывают все максимумы независимо от их значения; 5) определяют Дт по формуле Дт да 0,2/По:, (7.80) и округляют до ближайшег о меньшего значения, удобного для считывания ординат случайного процесса; 6) выбираю[ значение Дг. Его рекомендуется выбирать в пределах 0,2/«о < Д( < 1/по:.. (7.81) Следует помнить, что чем меньпте шаг выборки Дг, тем точнее определяется Kii), но при этом возрастает объем вычислительных операций. Значение Дг необходимо выбирать кратным значению Дт. Дг = f An, тде/=\, 2. 3...; 7) определяют условный интервал затухания Тзтх корреляционной функции, соответствующий значению нормированной кор-реляцно1ШОЙ функции (хп) = 0,05: (7,82) 8) оценивают длительность реализации Т. Грубая оценка может быть получена из соотношения Т 5 100т. (7.83) Для более точной оценки значения 7 необходима предварительная информация о характере корреляционной функции. Источником такой информации могут служить результаты опытов па аналогичном оборудовании, литературные данные, мнение ведущих специалистов и т. п. Если такая информация имеется, то и тогда выбор значения Т по точным формулам для сложных, многократно дифференцируемых процессов связан с большими вычислительными трудностями. Поэтому целесообразно придерживаться упрошенных рекомендаций по выбору значения Т. Так, для многих промышленных объектов регулирования удовлетворительные результаты получаются при аппроксимации Оценок нормированных корреляционных функций выражениями вида 1 .(ae-lle-ll) прн ) = S (1 +7lt) при ОС = 1, > 1; (7-84)  < S 10 20 itO SOa Рис. 7.17. Графики для определения безразмерной длины реализации р = уТ где величины а н у вычисляются по формулам =*1,2 = [-{Мх-4т1:,) ± ±l/(3<-4mg,)-4«g,]/2«L; (7.85) У = ппо/}/а. (7.86) Значение а, вычисленное по (7.85), в соответствии с (7.84) берется большим илн равным единице. Безразмерная длина реализации р = уТ определяется по графикам на рис. 7.17 по найденному значению а. Цифры на кривых на рис. 7.17 соответствуют значению г(Ку) в точке Ху = уту. Для определения р необходимо предварительно задаться значением Гд, (Ху) [рекомендуется брать (Ху) да 0,05]. Необходимую длину реализации определяют по выражению Т = р/у. (7.87) Последовательность операций определения корреляционной функции на втором этапе: 1) определяют скорость движения диаграммной ленты самопишущего прибора, на которую записывается случайный процесс, по выражению V = v/Дт, (7.88) где V - масштаб времени диаграммы само-пишущего прибора, выбираемый равным 0,5 - 1 дел. диаграммной ленты; 2) записывают на диаграмме изучаемый случайный процесс y{t) длительностью, равной или большей расчетной д;1И1ельности Т, и производят кваитбвание его по времени с шагом Лт; 3) центрируют случайный процесс yit); 4) после центрирования вычисляют (т) по (7.76) или (7.77). Как правило, процесс y(f) нестационарен, однако во многих практических случаях его можно считать нестационарным только по математическому ожиданию. Математическая модель такою процесса на основании (7.75) может быть представлена в виде yit) = m{t) + xit), (7.89) где m (Г) = а (/) + b(t) + с (t) - функция математического ожидания [см. (7.75)]. Центрирование случайного процесса y{t) связано с выделением каждой из составляющих математического ожидания. Д:1я выделения составляющей a(t) в основном применяется метод наименьших квадратов, сущность которого шключается в следуюшем. Зависимость a{t) отыскивают в виде a(t) = flo -Ь Oit, где коэффициенты и Oi находят из условия = J Ь(0 - a{t)y = мин. (7.90) о Для дискретных значений времени ( = / Дх t(0, 1 = 0, 1,2,...,N; X определяют по выражению = I [3(/) - - Oit(/)] - мин. (7.91) 1 = 0 Взяв частные производные dX/da и dX/dai н приравняв их нулю, получают уравнения JV N N aoS((0 + a. 1((0= Iy(Ot(0, I-O I»0 !•© из которых определяют значения oq и О]. Для выделения компоиеита c{t) применяю! метод фильтрации, основанный на сглаживании математического ожидания фильтрами текущего среднего (рис. 7.18). Процесс y{t) пропускают через фильтр низ- Рис. 7.18. Структурная схема фильтрации случайного процесса ких частот, на выходе которого выделяют математическое ожидание m{t), вычитаемое из y{t) в сумматоре. Фильтр осуществляет преобразование y(t) в m{t) согласно соотношению ДГ/2 т{1) = у{1 + т)(/т, (7.92) -ДГ/2 1де ДГ-интервал усреднения. Комплексная частотная характеристика фильтра текущего среднего W(/co) = соДТ/2 sina> (7.93) где п - кратность текущего среднего. Переменным параметром фильтра является величина ДТ, которая в общем случае зависит от свойств х(1) и m{t). Чтобы дать рек<»«ендацни по выбору значения AT, необходимо задаться математическими моделями процессов x{t) и m{t). В первом приближении можно считать, что x{t) имеет корреляционную функцию (7.94) а математическое ожидание т(0 = /4cpCoscocpf, (7.95) = ~ Гу(1 Дт) - т(1 Дт)] (7.96) 7=3/т, (7.97) значение т, определяют по (7.82). Для оценки средних значений величин Лср и соср необходимо случайный процесс y{t) записать в сжатом масштабе времени так, чтобы запись образовала отчетливую полосу, характеризующую значение m(r), но которой определяю! величины Ар и (ар. Вполне удовлетворительные результа1Ы получаются при фильтрации y(t) фильтром однократного текущего среднег о [п = 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 [106] 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 |