|
| |
|
Слаботочка Книги  Рис. 7.19. Номограмма для определения величины AT фильтра однократного текущего среднего в (7.93)], выбор параметров которого производят по номограмме на рис. 7.19. Цифры на кривых соотвегствуют различным значениям ср. (7.98) Определение взаимной корреляционной функции. Случайные процессы x{t) и y(t), между которыми определяют взаимную корреляг[ионную функцию, в общем случае могут быть любыми, однако для большинства технических объектов каждый из них можно представить моделью, аналогичной (7.75), за исключением следующего: если взаимную корреляционную функцию вычисляют для идентификации системы путем подачн на ее вход опорного сигнала х((), то в этом случае стремятся примшять иедифференцнруемый сигнал, близкий к белому шуму. Во всех остальных интересующих нас случаях будем считать x{t) и y{t) дифференцируемыми не менее чем дважды случайными процессами. Оценка взаимной корреляционной функции стационарных и стационарно связанных :годических ачучайных процессов x{t) и у(0 с нулевым математическим ожиданием может быть получена по непрерывно-шаговому и выборочно-шаговому ал1 оритмам, которые соответственно определяются выражением [28] J?(/AT) = -i; x{t)y{t + lAr)dl (7.99) Постановку эксперимента по определению Лду(т) осуществляют в два этапа. Последовательность операций на нервом этапе: 1) записывают в сжаТом масштабе времени процессы x{t) и y(t) такой длительности, чтобы на каждом из них укладывалось 50-70 нулей; 2) если процессы x(t) и у(г) дифференцируемы, то определяют Дт » 0,2/1/посИо>, (7.101) где Пох и «Оу вычисляют по (7.78). Если процессы x(t) и y{t) недифферен-гщруемы, то " (7.102) ДХ Я! ОМ/упо/По,, где вычисляют по (7.79); 3) но (7.81) определяют значение Дг; 4) определяют необходимую длину реализации Т с учетом цели вычисления взаимной корреляционной функции и характера оучайиых процессов x(t) и y{t). EciH Ryyix) вычисляют для идентификации объекта методами пассивного эксперимента, то случайные процессы х(£) и y{t) рассматривают как дифференцируемые и для определения значения Т можно воспользоваться выражениями (7.83) и (7.87). В этом ачучае определение значения Т производят но характеристикам наиболее низкочастотного процесса. Если Rxyit) вычисляют для идентификации объекта методами активного эксперимента, то для определения Т необходима предварительная информация о характере процессов x{t) и y{t). При гармоническом входном сигнале x(f) = Acoswot (7.103) на выходе объекта устанавливаются также гармонические колебания у((), на которые накладываются помехи n(t): y{t) = У1 (О -Ь п (О = cos (aio( + ф) -I- n{t). (7.104) В этом случае последовательность операций по определению необходимого зиачения Г следующая; 1) записывают в сжатом масштабе времени (при малой скорости движения диаграммной ленты) процесс y{t) длитель-носгью Ti =(6-h 10)2л/(йо (7.105) Л(/Дх) = 2x(iAt)y(iAt+lAx). (7.100) и оценивают величины Ау и ф; 2) при x{t) =0 изложенным выше методом находят оценку корреляционной функ- ции К„{х) помехи n{t), а по ней - оценку спектральной плотности S„ (to) (см, ниже); 3) вычисляют необходимую длину реализации по выражению Т > 4S„ ((ао)/(Л cos ф). (7.106) Если входной сигнал x{i) - негармонический, то, разложнв его в ряд Фурье и ограничившись первым членом ряда, можно вычислить необходимое значение Тпо выражению (7.106). Второй этап определеиня RxC) складывается из гех же операций, что и второй .этап вычисления Кх{х). Вычисление спектральных плотностей. При анализе и синтезе АСР часто удобнее пользоваться не корреляционными функциями, а спектральными плотностями случайных процессов. Поэтому возникает задача определения оценок спектральных плотностей по оценкам корреляционных функций. Исходными для определения оценок спектральных плотностей служат следующие выражения: -co 0 (7.107) S,,(c)= I R.y()e-dx. (7.108) Оценки спектральных плотностей с использованием выражений (7.107) и (7.108) находят методами численного интегрирования илн путем аппроксимации корреляционных функций ТИ1ЮВЫМИ корреляционными функциями. Для получения аналитического выражения спектральной плотности строят графики S (w), по которым, если это необходимо для дальнейгле! о исследования, подбирают Эмпирическое выраженнс дза 5(ш). Простейшей типовой корреляционной функцией является треугольная, В качестве примера на рис, 7,20 исходная корреляционная функция Кд(т) аппроксимирована суммой п = 5 типовых треугольных корреляционных функций: K,(t)= I К.(т), (7,109) f к/ 1 - ) при О I т I Г,.; при I г I > Т(. (7,110) Каждой типовой треугольной корреляционной функции соответствует спектраль- ная плотность Si((a) = KiTi 51п(о)Г,72) = К,Т,е(а)Т,), (7.111) где К, и Т( определяют непосредственно по графику Кх (г) (рис, 7.20), а значения е(мТ;) берут по рис. 7.21, Таким образом. (7.112) Чтобы применить рассмотренный метод к вычнатению 5,,(ш), представим (7.108) в виде S,,((a) = P«o)+jQ{a>), (7,113) Р{ш)= уЛ+(т)созштт:; (7.114)  Рис. 7.20. Аппроксимация корреляционной функции типовыми треугольными функциями  Рис. 7,21. График функции е(ш) Q{(o) = J R.{x)sil\(oxdi; (7.115) Rix)=Ry(-x) + Ryix); (7.116) R (T) = R,,(-t)-R,,(t) (7-117) Вычисление P(e>) no R+(t) производят тем же способом, что и 5,(0)) по Ля(т) [см. (7.109)-(7.112)]. Для вычисления 2(е>) график К-(т) аппроксимируют типовыми треугольными корреляционными функциями (рис. 7.22) с параметрами R и Г. Значение Q{(a) определяют по выражению 6(0)) = t R,r,?.((oTO. (7.118) где >.(шТ;) определяют по рис. 7.23. Если корреляционная функция - гармонического характера, ее удобнее аппроксимировать типовыми косинусоида.1ьными функциями. Поясним это на примере корреляционной функции, представив ее конеч- ным рядом вида  Рис. 7.22. Аппроксимация R-(t) типовыми треугольными функциями  Рис. 7.23. График функции .(соТ]) X -fccos - при ] т] = Го; ft-o Jo x(c) = "S О при т1>Т(,. (7.119) Тогда S.(»)=To i (-1)*Л.*((оГо), (7.120) ,9*(шТо) = 2шТо8Ш(тТо)/[((йТо) -(fen)]. (7.121) Для вычисления коэффициентов необходимо интервал х от О до Тд разбить иа п равных участков Дт и предварительно вычислить зиачения y»-i = **(Tn-i); y« = K,(T„)/2. (7.122) Тогда A i = 0 Л = eOS {kv. 0. (7.123) Второй путь вычисления спектральных плотностей по (7,107) и (7,108) связан с предварительной аппроксимацией корреляционной функции каким-либо аналитическим выражением с последующим определением аналитического выражения для S (со) с использованием табличных ин[е1ралов. В общем случае характер корреляционной функции может быть любым, поэтому вид эмпирической формулы, описывающей искомую зависимос1Ь, является произвольным. Предпочтение необходимо 01давать просттлм формулам, обладающим достаточной точностью. Нельзя указать общий метод для нахождения наилучшего вида формулы, соответствующей опьииым данным. Выбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от искусства исследователя. В табл. 7.12 приведены наиболее часто применяемые формулы для аппроксимации корреляционных функций и соответствуюгцие 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 [107] 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 |