Слаботочка Книги штриховкой. Поскольку нас интересуют лшпь вещественные значения "К, искомые значения X будут представлять собой отрезок вещественной оси, лежащей в устойчивой области Случай 2. Пусть в характеристическом уравнении (2.49) заданы все коэффициенты, кроме ц и Х, предположим также, чю в уравнении (2.49) не! ни произведений \iX, ни их степеней выше первой, т. е. уравнение (2,49) можно разрешить относительно ii я X: \iS{p) + XQip} + R(p) = 0. (2.53) Отобразим мнимую ось jm плоскости корней характеристического уравнения (2.49) в плоскость коэффициентов \к-Х, для чею в уравнении (2.53) заменим р на US Ow) + >-Q Offl) -I- Л Ofi>) = 0. (2 54) Отделяя мнимую и вещественную части в (2.54), получаем сисгему из двух уравнений uSi (to) + XQi (ш) -I- Ri (ш) О ;) iiSi (w)+\Qi((fl) + R2H=0,J (2.55) откуда (2.56) Si (co)GiH S2(u))e2(fi)) Л, = -Ri(fi>)Gi(fi>) -2(fi))G2(fi>) S, (0)) - Л, (ffl) S2 (ш)-К2(а,)1 (2.57) Задавая ш значения от -со до +-оо, по (2.56) строим D-кривую в плоскости д - X (рис. 2.11); D-кривая несимметрична относительно осей, но точки для положительных и отрицательных <о совпадают. Выражения (2.56) определяют только одно значение для ц и >. при каждом поло-жигельном или отрицательном to только тогда, котда эти уравнения совместны и линейно независимы. При некоторых значениях со - со, уравнения (2 56) перестают быть линейно независимыми (в частности, всегда при е)=Ояе) = ±со). В этом случае одновремеи-но Л) (илн Л}) и Л оказываются равными нулю ичи бесконечности Это означает, что одно из уравнений (2.56) является при данном значении <а = <а, следствием другого и тогда в плоскости ц - Х появляется не точка, а прямая - так называемая особая прямая. Поэтому граница £>-раэбие11ИЯ должна быть дополнена особыми прямыми. Если А = О при всех со. ю D-кривой не существует и D-разбиение производится особыми прямыми. Правила штриховки D-кривой и особых прямых (см. рис. 2.11): 1) D-кривую штрихуют двойной штриховкой при изменении со от О до со слева, если А > О, в справа, если Д < 0; 2) особые прямые при (й = О и со = ±со штрихуют одинарной штриховкой, так чтобы одновременно заштрихованные или одновременно н&(ашгрнхоЕанныс стороны прямой н кривой располагались встречно. Особую прямую при (о =е (о, (со, ФО, 0), ?б ± со) также штрихуют, но двойной штриховкой, если в точке пересечения ее с кривой А меняет знак; если знак Д не меняется, ю эту особую прямую не штрихуют. Переход в плоскости ц - Х через двойную штриховку означает переход в плоскости корней р, двух корней через ось /со; переход через одинарную штриховку - переход одного корня через ось Jco. Случай 3. В характеристическом уравнении (2.49) ц и >. связаны нелинейно, т. е. имеются произведения и их степени выше первой В этом случае, заменяя р иа )to и отделяя вещественную и мнимую части, получаем два уравнения вида А(со.Ц,?.)=0, jzi<u,ix,X) = 0. (2.58) Изменяя (о от -со до -t-oo, по точкам строим D-кривую в плоскости р - Правила штриховки в этом случае le же, что и в предыдущем, но D-крнвая и особые прямые штрихуют уже ощнарной штриховкой в зависимости от знака якобиана: (2.59) Рис 2.11. D-разбиепие плоскости двух параметров Запас устомпвости. Из-за неточного знания, а также возможной флюктуации коэффициентов а, в уравнении (2.49) АСР рас-считьтается таким образом, чтобы в ней всегда был обеспечен некоторый запас устойчивости. Теоретически эго выглядит следую-
}а((о) Рис 2.12. Задание запаса уст ойчивос ги в плоскости корней характеристического уравнения Рис. 2.14. Задание запаса устойчивости по критерию Найквиста А ((О) Рис. 2.13. Задание запаса устойчивости по критерию Михайлова щим образом: нужно так рассчитать АСР (наладить), чтобы при возможных изменениях коэффициентов а, в уравнении (2 49) корни его не прнближа:[ись к мнимой оси ]{й ближе чем на в&ничину а (рмс 2.12). Задание величины а обычно определяется достоверностью наших знаний о динамических свойствах объекта регулирования и возможными (ожидаемыми) их изменениями. Если устойчивость АСР рассчитывается по критерию Гурвнца, то граница области заданного запаса устойчивости определяется из выражения ,А„-1 =s, (2.60) Где £ > О - величина, задаваемая аналогично а. Запас устойчивост и по Михайлову и Найквисту формулируется в виде требований cooTBeiCTBCHHo к Dijai) и разомкнутой системы: они не должньг заходить в опасную зону радиусом е (см, соответственно рис. 2.13 и 2.14) Достаточно часто об устойчивости .АСР судят по ампл и i удно-частотной харак i е-ристике Л (со) замкнутой системы. Если при (л=(йр А (Юр) терпит разрыв, то АСР вы\о-дит за 1раницу устойчивости Для задания запаса устойчивости необходимо потребовать, чтобы (рис. 2.15) Л(а)р)М(0)М, (2.61) Рис. 215 Амплитудно-частотная характеристика замкнутой АСР [де значение М обьгчно выбирается равным 1Д-2,4, наиболее часго полатаюг М = 1,62 [24]. Качество регулнровавня Любая промышленная АСР кроме устойчивости должна обеспечить определенные качественные показатели процесса peiy-лирования. Качество процесса регулирования обычно оценивают по переходной характеристике hf{t) по отношению к единичному ступенчатому возмущающему воздействию (рис. 2 16). Основными показателями качества являются: время ретулирования, тгереретули-роваиие, колебательность и установившаяся ошибка. Вречя регулирования. Временем регулирования fp называется время, в течение которого, начиная с момента приложения воздействия на систему, отклонения значений регулируемой величины A/i/(r) от ее установившегося значения hfo = i/(x)) будут меньше наперед заданного значения ео- Таким образом, время регулирования опреде-тяет .[ЛИ гельнос! ь (быстродействие) ттереходного процесса. Перерегу шрование Перерегулированием а f называется максимальное от кл онение Ломаке регулируемой величины от установившегося значения hf, выраженнсх; в процентах по отношению х hj-o- Рис. 2.16. Показатели качества регулирова-нвя Колебательность системы характеризуется числом колебаний регулируемой величины за время регулирования (р. Если за это время переходный процесс в системе совер-таег число колебаний меныие заданного по условиям технологии, то считается, что систе-.ма имеет требуемое качество регулирования в части ее колебательное!и. yimuHoeueuiancn ошибка. В общем случае установившаяся ошибка Eq или ючность регулирования определяется как разность двух значений - уС1 ановившегося рсЕулируемой величины h(, после окончания переходною процесса и заданного д- to = 9о - Ло- (2.62) По отношению к возмущающему воздействию ео = -К- (2.63) Показатели качества регулирования опреде-1яю1ся непосредственно по кривой переходною процесса, которую можно получить эксперименгально илн решением дифференциальных уравнений системы Решение дифференциального уравнения является трудоемкой задачей, в связи с -зтим в инженерной практике находят широкое применение косвенные оценки качества регулирования Косвенными оценками называются некоторые величины, в той или иной .мере характеризующие отдельные особенности переходного процесса. Косвенные оценки качества ршулнрова-пая. Одной из косвенных оценок качества регулирования яв,1яв1ся степень удаленности корней характеристического уравнения замкнутой системы от .мнимой оси (рис. 2.17) Расстояние а б.!ижайшего корня от мнимой оси характернзуе! lanac устойчивости системы, называется степенью устойчивости этой сис1емы и равно веществеииой части корня, ближайшего к мнимой оси. Наибольший из углов (р, образованных о[ринательной вешествсиной полуосью и лучами, проведенными из начала координат Рис 2.17. Область расположения корней с заданными значениями а и ф чере! корни, характеризует колебате 1ьность системы Котангенс это1 о угла т = ctg (р называется степенью колебательности. Согласно (2 42) комплексно-сопряженные корни, имеющие максимальный угол (р, ;1адут составляющую колебательного переходною процесса, имеющую наименьшее 1атуха1ше, и, следова1ельно, колебательность системы будет определяться этой составляющей, так как остальные сос1авляющие имеют большее затухание Для оценки колебательности в ряде случаев удобно также пользоваться понятием «степень затухания». Степенью затухания i]( называется отношение рашости двух соседних амплитуд одного знака кривой переходною процесса к большей из них. Так, для переходного процесса по рис 2.16 V = (АА,ма.с - АЛп)/Лй/м..с (2.64) Степень колебательности и степень затухания связаны .меж>1у собой соотношением v, = ] е 2-г™ 2.65) Чтобы система обладала заданной колебательностью, все корни характеристического уравнения до1жны вписываться в угол 2(р (рис. 2.17). Таким образом, для одновременного обеспечения заданных значений быстродействия и колебательности системы необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения лежали внутри заштрихованной области иа рис. 2.17. Для определения параметров системы, обеспечивающих заданные значения а и ф, можно воспользоваться методом i7-pa36He-нйя. Для поС1роеиия i)-кpивoй при определении параметров системы, обеспечивающих заданное значение ot, в (2 S1) и (2.S3) необходимо заменять р не на j<o, а на -oi-i-fio. При определении параметров, обеспечивающих заданное значение (р, необходимо р заменять на ш (/ ~ ") Произведя D-разбиеиис по одному или двум интересующим нас параметрам, можно получить условия, при 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [16] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 |
|