Слаботочка Книги

0 1 [2] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

Когда / (z) = ф (2)/»ji (2), где ф (г) и >J/ (z) -функции, аналитические в точках 2 = а, и а являе1ся iipocibiM корнем уравнения )/(z) = = О, т. е. (а) = О, (а) Ф О, то точка z = « яаляе1см npoci ым полюсом, или полюсом первого порядка функции / (г), н

Res [ф (z)/\/ {z)\ ., = ф (а), (i .26)

Если а является т-кратным корнем уравнения \/(г) = О, I.e. (и) = («) \/"(а) = ... ... = \/f"~4(a) = О, то точка z = a является полюсом т-го порядка функции у (z) и

X [/•(z)(z-a)"]U, (127)

С помощью теоремы вычетов можно находить некоторые определенные интегралы от функции вещественной переменной,

Рассмотрим частный случай применения теоремы вычетов для вычисления определенных инте! ра-1ов. Есш /(z) - функция, голоморфная во всей верхней полуплоскости (включая и вещественную ось), за исключением конечного числа особых точек а, 02, ..., а», лежащих выще вещественной оси, и число О является корнем уравнения / (1/z) = О кратности m > 2, то

f f{z)dz = 2Tij X Res и iz)l„. (1.28)

1Л РЯД и ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Рид Фурье

В ряде задач теории авюматического

регулирования бывает необходимо заменить данную функцию ф(£) на интервале О-Г

рядом

где п = 1, 2, 3... выбирается в зависимости 01 желаемой точности приближения >\i,(t) к ф(0.

При заданном п приближение i\f„(t) к Ф (О является наилучшим, если козффициен-1ы ащ, Ofc, являются коэффициентами Фурье:

йо= \ 4>it)dt;

а = -

ф (() cos кчч dt;

bft = 1 Ф (г) sin k&l dt.

(1.30)

(1.31)

(1,32)

Пример 1.5. Вычислить HHiei рал dz

(1 + z)3 Функция

(1 + 1/z) (1 +

имеет шестикратный корень z = 0. В верхней полуплоскости функция j (z) = 1/(] + zf имеет единственную особую точку z = у, являющуюся полюсом третьего порядка. По формуле (1.27) находим

1

2! dz

(+j)-

По формуле (1 28) имеем dz

где (В = 2тг/Т.

ЕСЧИ при П-»СО »jl,(t) СфСМИГСЯ к ф((),

то пачучастся сходящийся рял Фурье данной функции ф(():

\/ (г) = uq -I- Z (а cos kiot + bj, sin fctot). (1.33)

Ряд Фурье можно представить в комплексной форме;

*= -га

с к =

-jimit

(1.34)

(1.35)

Рассмотрим основные свойсгта ряда Фурье.

\ Если функция ф (t) в интервале О - Г удовлетворяет условиям Днрнхлс, т. е. всюду оано{начна, конечна и кусочно-непрерывна, а также имеет ограниченное число максимумов и минимумов, то ряд Фурье для этой функции сходится и сумма его равна ф (t) в точках непрерывности ф{г), а в точках

разрыва а она равна

[Ф (а - 0) + ф (я + 0)]/2,

(1.36)

где ф(й"0)= Итф(1); ф(а + 0) = Ит ф(г).

I -.д 1 -.а

( < а ( > а

Пример 1.6. Разложим в ряд Фурье в промежутке - л < ot < я функцию

ф(£) =

- 1 при -п < (Hi < 0;

+ 1 при О < <й( < п; Т= 2я, ш = 2л/Г= 1; 1

-л о J

= 0;

- J COS ktdt + cos ftt dt

-4 0

	- Sin kt		Л - sm Л(	я"
	U /		U /

= 0;

- J sm fcrtif + jsin kt dt

1 , ---cos kt

L \

/ 1

-- cos kt

Таким образом, все коэффициенты hi с четными индексами равны нулю, а с нечетными отсюда получаем ряд

\Кг) = -{(sin 0/1 + (sin 30/3-1-

... + i;sin(2fl+l)l]/(2n + l)+...).

Функция ф (г) в промежутке - л < шг < я имеет точку разрыва при ( = 0: ф (0) = О, Для той точки

Ф(0} = [ф(-0} + ф(+0)]=-(-1 + 1) = 0.

2. При приближенной замене функции ф (t) рядом (1.29) средняя квадратическая погрешность

b = -\.\M)~Ut)fdt (1.?7)

будет наименьшей, если а, а, являются коэффициентами Фурье.

3. Если ф (г) -четная функция (симметрия I рода), т.е. ф(-1)= ф(0, то

а = - I ф (()cos А:(о(£/(;

ь. = о,

(1,38) (1.39)

где ft =0, 1, 2...

Пример 1.7. Разложим в ряд Фурье функцию ф (г) = cos at в нигервале - л < г < < п (а - не целое число). Так как функция Ф (г) - четная, то bjt = О, а

cos at cos kt dt =

sm (a - Л) t sin {a + k)t

П L 2 (ot - A)

cos А:л

= - a sin ЯЛ

2 (a + A) л

ot- - ft

откуда получаем ряд

2a sm an / 1

cos at =

cos t - 1

cos2f a=-2

(1.40)

4. Если ф(1) - нечетная функция (симметрия II рода), т. е. ф (-t) - - ф [I), то

а. = 0; (1.41)

ф (t) sin kbit dt, (1-42)

Пример 1.8. Разложим в ряд Фурье функцию ф (t) = t для - л < f < U. функция нечетная, поэтому = О,

2 Г 2 = - I sm At (/t =----ft cos АЛ IS -Ь

t cos ktdt=~ -cos Art = - (-1)**4 к к

Получаем ряд

t = 2 [sin t - (sin 2r)/2 + (sin 3l)/3 -...].

5. Пусть для функций ф1 (l) и ц>2 (() известны их ряды Фурье \i;i(0 и \;2 (t) соответственно с коэффициентами а, hj, и Л;, В. Чтобы получить ряд Фурье \/(i) для суммы

или разности функций tpi (t) и {() с коэффициентами OLi и Pj, достаточно произвести сложение или соответственно вычитание из-вес1ных рядов:

а* = ± А„; (1.43)

Р* = Ь. ± В». <1.44)

Ряд Фурье для функции пф (г) (п = const) получае1Ся ич ряда Фурье для ф(() умножением всех его членов на п.

6. Коэффициенты ряда Фурье aj и Pj для футисции ф(0 = ф1 (()ф2(0 вычисляняся по следующим формулам.

«О = «00 + I (Мк + Мк); (1-45)

-f-b„(B«+ft + B«-fc)]; (146)

(1.47)

В зтих формулах следует считать А„ =

1. Иногда могут встретиться случаи, когда известен лишь ряд Фурье, но не сама функция. В связи с этим возникает задача - как, зная ряд Фурье функции ф (г), вычислить

]tp{t)dt.

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема: если функция ф (f) задана своим рядом Фурье S форме (1.33), то искомый интеграл может быть naUden почленным интегрированием ряда независимо от того, сходится последний или нет, т. е.

ф(Г)Г =aoid - с) +

а» (sin kcad - sin ktoc) -- bj, (cos kcad - cos kmc)

(1.48)

8. Днффрешпфсюянне ряпов Фурье. Будем везде предполагать, что функция ф(1) обладает абсолютной производной (которая может и не существовать в отдельных точках) Здесь возможны следующие случаи-

а) функция непрерывна с периодом 2п (или Г). Тогда ряд Фурье \/ (t) для ф (I)

можег быть получен из ряда Фурье функции Ф и) почленны.м дифференцированием, т. е. для О < ( < 2п имеем

ф (О = f, к (Ь cos fcf - й» sin kt); (1.49) k-i

б) функция задана на отрезке (-я, к):

1(0= + I {[ftЬ-f(-l)A]cosft(- *-1

- ка sm kt},

(1.50)

А = [ф(71)-ф(-т1)]/п; (1.51)

в) функция задана на отрезке (О, л). В этом случае ряд по косинусам всегда можно почленно дифференцировать, а для ряда синусов это ВОЗМОЖНО только при Ф (0) = ф (It) = 0.

Если ф (I) непрерывна на отрезке (О, п) и разложена в ряд Фурье по синусам, т. е

(t)= Y. * sin frf.

(1.52)

k = l

(1.53)

Л = 2[ф(п)-ф(0)]/п; д = 2ф(0)/л.

9 В практических вопросах теории автоматическою регулирования часто функция, которую нужно разложить в ряд Фурье, за,5астся не аналитически, а графически или таблично. В этом случае коэффициенты Фурье непосредственно с применением обычных формул не могут быть получены и ставится задача об нх приближенном вычислении.

Один из способов приближенного вычисления коэффициентов Фурье (метод прямо-уюльников) заключается в следующем.

Отрезок (ОДп) точками

0; 2л/т; 2 (2п/т); ., ; (т - l)2jt/m; 2п

делят на т равных частей и определяют значения ф(0 в этих точках: фо; Ф1; ... ф„ 1; ф„.

Для И] = 12 приближенные значения коэффициентов Фурье Со, fli, Й2» йз, bi, Ьз определяются по следующим формулам:

12£1о = Ф1 -Ь ф2 + ФЗ -Ь Ф4 + ... + Фи: 6и, =(фо - фб) + (ф1 + ф11 - ф, -

0 1 [2] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121