|
| |
|
Слаботочка Книги Когда / (z) = ф (2)/»ji (2), где ф (г) и >J/ (z) -функции, аналитические в точках 2 = а, и а являе1ся iipocibiM корнем уравнения )/(z) = = О, т. е. (а) = О, (а) Ф О, то точка z = « яаляе1см npoci ым полюсом, или полюсом первого порядка функции / (г), н Res [ф (z)/\/ {z)\ ., = ф (а), (i .26) Если а является т-кратным корнем уравнения \/(г) = О, I.e. (и) = («) \/"(а) = ... ... = \/f"~4(a) = О, то точка z = a является полюсом т-го порядка функции у (z) и X [/•(z)(z-a)"]U, (127) С помощью теоремы вычетов можно находить некоторые определенные интегралы от функции вещественной переменной, Рассмотрим частный случай применения теоремы вычетов для вычисления определенных инте! ра-1ов. Есш /(z) - функция, голоморфная во всей верхней полуплоскости (включая и вещественную ось), за исключением конечного числа особых точек а, 02, ..., а», лежащих выще вещественной оси, и число О является корнем уравнения / (1/z) = О кратности m > 2, то f f{z)dz = 2Tij X Res и iz)l„. (1.28) 1Л РЯД и ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Рид Фурье В ряде задач теории авюматического регулирования бывает необходимо заменить данную функцию ф(£) на интервале О-Г рядом где п = 1, 2, 3... выбирается в зависимости 01 желаемой точности приближения >\i,(t) к ф(0. При заданном п приближение i\f„(t) к Ф (О является наилучшим, если козффициен-1ы ащ, Ofc, являются коэффициентами Фурье: йо= \ 4>it)dt; а = - ф (() cos кчч dt; bft = 1 Ф (г) sin k&l dt. (1.30) (1.31) (1,32) Пример 1.5. Вычислить HHiei рал dz (1 + z)3 Функция (1 + 1/z) (1 + имеет шестикратный корень z = 0. В верхней полуплоскости функция j (z) = 1/(] + zf имеет единственную особую точку z = у, являющуюся полюсом третьего порядка. По формуле (1.27) находим 1 2! dz (+j)- По формуле (1 28) имеем dz где (В = 2тг/Т. ЕСЧИ при П-»СО »jl,(t) СфСМИГСЯ к ф((), то пачучастся сходящийся рял Фурье данной функции ф((): \/ (г) = uq -I- Z (а cos kiot + bj, sin fctot). (1.33) Ряд Фурье можно представить в комплексной форме; *= -га с к = -jimit (1.34) (1.35) Рассмотрим основные свойсгта ряда Фурье. \ Если функция ф (t) в интервале О - Г удовлетворяет условиям Днрнхлс, т. е. всюду оано{начна, конечна и кусочно-непрерывна, а также имеет ограниченное число максимумов и минимумов, то ряд Фурье для этой функции сходится и сумма его равна ф (t) в точках непрерывности ф{г), а в точках разрыва а она равна [Ф (а - 0) + ф (я + 0)]/2, (1.36) где ф(й"0)= Итф(1); ф(а + 0) = Ит ф(г). I -.д 1 -.а ( < а ( > а Пример 1.6. Разложим в ряд Фурье в промежутке - л < ot < я функцию ф(£) = - 1 при -п < (Hi < 0; + 1 при О < <й( < п; Т= 2я, ш = 2л/Г= 1; 1 -л о J = 0; - J COS ktdt + cos ftt dt -4 0
= 0; - J sm fcrtif + jsin kt dt 1 , ---cos kt L \ / 1 -- cos kt Таким образом, все коэффициенты hi с четными индексами равны нулю, а с нечетными отсюда получаем ряд \Кг) = -{(sin 0/1 + (sin 30/3-1- ... + i;sin(2fl+l)l]/(2n + l)+...). Функция ф (г) в промежутке - л < шг < я имеет точку разрыва при ( = 0: ф (0) = О, Для той точки Ф(0} = [ф(-0} + ф(+0)]=-(-1 + 1) = 0. 2. При приближенной замене функции ф (t) рядом (1.29) средняя квадратическая погрешность b = -\.\M)~Ut)fdt (1.?7) будет наименьшей, если а, а, являются коэффициентами Фурье. 3. Если ф (г) -четная функция (симметрия I рода), т.е. ф(-1)= ф(0, то а = - I ф (()cos А:(о(£/(; ь. = о, (1,38) (1.39) где ft =0, 1, 2... Пример 1.7. Разложим в ряд Фурье функцию ф (г) = cos at в нигервале - л < г < < п (а - не целое число). Так как функция Ф (г) - четная, то bjt = О, а cos at cos kt dt = sm (a - Л) t sin {a + k)t П L 2 (ot - A) cos А:л = - a sin ЯЛ 2 (a + A) л ot- - ft откуда получаем ряд 2a sm an / 1 cos at = cos t - 1 cos2f a=-2 (1.40) 4. Если ф(1) - нечетная функция (симметрия II рода), т. е. ф (-t) - - ф [I), то а. = 0; (1.41) ф (t) sin kbit dt, (1-42) Пример 1.8. Разложим в ряд Фурье функцию ф (t) = t для - л < f < U. функция нечетная, поэтому = О, 2 Г 2 = - I sm At (/t =----ft cos АЛ IS -Ь t cos ktdt=~ -cos Art = - (-1)**4 к к Получаем ряд t = 2 [sin t - (sin 2r)/2 + (sin 3l)/3 -...]. 5. Пусть для функций ф1 (l) и ц>2 (() известны их ряды Фурье \i;i(0 и \;2 (t) соответственно с коэффициентами а, hj, и Л;, В. Чтобы получить ряд Фурье \/(i) для суммы или разности функций tpi (t) и {() с коэффициентами OLi и Pj, достаточно произвести сложение или соответственно вычитание из-вес1ных рядов: а* = ± А„; (1.43) Р* = Ь. ± В». <1.44) Ряд Фурье для функции пф (г) (п = const) получае1Ся ич ряда Фурье для ф(() умножением всех его членов на п. 6. Коэффициенты ряда Фурье aj и Pj для футисции ф(0 = ф1 (()ф2(0 вычисляняся по следующим формулам. «О = «00 + I (Мк + Мк); (1-45) -f-b„(B«+ft + B«-fc)]; (146) (1.47) В зтих формулах следует считать А„ = 1. Иногда могут встретиться случаи, когда известен лишь ряд Фурье, но не сама функция. В связи с этим возникает задача - как, зная ряд Фурье функции ф (г), вычислить ]tp{t)dt. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема: если функция ф (f) задана своим рядом Фурье S форме (1.33), то искомый интеграл может быть naUden почленным интегрированием ряда независимо от того, сходится последний или нет, т. е. ф(Г)Г =aoid - с) + а» (sin kcad - sin ktoc) -- bj, (cos kcad - cos kmc) (1.48) 8. Днффрешпфсюянне ряпов Фурье. Будем везде предполагать, что функция ф(1) обладает абсолютной производной (которая может и не существовать в отдельных точках) Здесь возможны следующие случаи- а) функция непрерывна с периодом 2п (или Г). Тогда ряд Фурье \/ (t) для ф (I) можег быть получен из ряда Фурье функции Ф и) почленны.м дифференцированием, т. е. для О < ( < 2п имеем ф (О = f, к (Ь cos fcf - й» sin kt); (1.49) k-i б) функция задана на отрезке (-я, к): 1(0= + I {[ftЬ-f(-l)A]cosft(- *-1 - ка sm kt}, (1.50) А = [ф(71)-ф(-т1)]/п; (1.51) в) функция задана на отрезке (О, л). В этом случае ряд по косинусам всегда можно почленно дифференцировать, а для ряда синусов это ВОЗМОЖНО только при Ф (0) = ф (It) = 0. Если ф (I) непрерывна на отрезке (О, п) и разложена в ряд Фурье по синусам, т. е (t)= Y. * sin frf. (1.52) k = l (1.53) Л = 2[ф(п)-ф(0)]/п; д = 2ф(0)/л. 9 В практических вопросах теории автоматическою регулирования часто функция, которую нужно разложить в ряд Фурье, за,5астся не аналитически, а графически или таблично. В этом случае коэффициенты Фурье непосредственно с применением обычных формул не могут быть получены и ставится задача об нх приближенном вычислении. Один из способов приближенного вычисления коэффициентов Фурье (метод прямо-уюльников) заключается в следующем. Отрезок (ОДп) точками 0; 2л/т; 2 (2п/т); ., ; (т - l)2jt/m; 2п делят на т равных частей и определяют значения ф(0 в этих точках: фо; Ф1; ... ф„ 1; ф„. Для И] = 12 приближенные значения коэффициентов Фурье Со, fli, Й2» йз, bi, Ьз определяются по следующим формулам: 12£1о = Ф1 -Ь ф2 + ФЗ -Ь Ф4 + ... + Фи: 6и, =(фо - фб) + (ф1 + ф11 - ф, - 0 1 [2] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 |