|
| |
|
Слаботочка Книги 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [20] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 релейная характеристика идеальная (рис. 2.36): у - Ь при jc > 0; у = -Ь при jc < 0; (2.126) релейная с зоной нечувствительности (рис. 2.37): у = 0 при I xI < й; у = b при x > д; / (2.127) у = -Ь при х< -а.. Неоднозначные нелинейные статические характеристики. Наиболее- распространенные типовые разрывные характеристики приведены ниже: люфт (рис. 2.38): у ~ к{х - а) при dx/dl > 0; у = к{х + а) прн dx/dt < 0; У (2.128) dy/dx = О прн \у/к \ -1x1 < а;, двухпозиционная релейная характеристика с зоной нечувствительности (рис. 2.39): у = Ь прн X > а;1 у = - 6 прн X <а. если iijc/t/t > 0; у = b при jc > - а; у = - 6 при д: < - й, если dx/dt<0; (2.129) трехпозиционная релейная характеристика с зонами нечувствительности (рис. 2.40): у=Ь при х>а2\ у= -Ь при л:< ~й1; у = 0 при -£2,<:с<аз, = при x>fl,; у= - 6 при д:< - у = 0 при - flj <jc<ai. * если rfx/rft > 0; * если < 0. (2.130) Линеаризация нелинейных характеристик Разработанные в настоящее время точные методы исследования нелинейных АСР практически могут применяться jijih систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями невысокого порядка, и часто сложны для инженерного пользования. Поэтому в инженерной практике большое примененяе находят приближенные методы, основанные на )амене действительных зависимостей между входной и выходной переменными приближенными линейными При JTOM линеаризацию необходимо про- изводить так, чтобы учесть хотя бы приближенно нелинейные свойства звеньев, т. е. чтобы для линеаризованных элементов не выполнялся принцип суперпозиции. vlHHeapH3auKH нелинейных характеристик путем разложения в рад состоят в замене характеристики у =f(x) приближенной линейной зависимостью, определяемой двумя первыми ыенами разложения характеристики в ряд Гейлора (1.20). Пусть характеристика У =f() дифференцируема и входной сигнал x(i) мало отличае"1ся от некоторого среднего значения х, тогда зависимость у =f(x) можно заменить приближенной У=/(о)-ь/(о)(х-х(,). (2.131) Замена нелинейной зависимости у =f(x) линейной (2.131) геометрически представляет собой замену кривой y=f{x), касательной к ней в точке xq. Действующие в АСР внешние возмущения можно представить как стационарные случайные функции х (t) с математическим ожиданием и центрированной случайной составляющей л (г): x{t) = т +х{1). (2.132) В этом случае практически линеаризацию нелинейной харак i еристики целесообразно производить относительно центрированного входного случайно! о сигнала х (t), т. е. за центр paзJюжeния хо в (2.131) взять математическое ожидание т входного сигна.ча x{t). В результате получается yit]JimJ+fimAHt). (2.133) Таким образом, приближенная зависи-Mocib (2.133) линейна только относительно случайной составляющей входного сигнала и нелинейна относительно ма!ематиче-ского ожидания т„ поэтому принцип суперпозиции здесь неприменим. Гармоническая ;шнея1»1зация. В цeJюм ряде практических задач приходится рассматривать воздействие на линейное звено гармонических колебаний x{t) = А sinG)t = А sin v;; v; = ot. (2.134) Выходной сигнал нелинейною 1вена также будет периодическим, но не гармоническим. В качестве примера на рис. 2.41 приведены графики сигналов у (г) на выходе нелинейных звеньев с различными характеристиками. Илея гармонической линеаризации состоит в том, что выходные периодические колебания y{t) разла1ают в ряд Фурье (1.29) и для дальнейших исследований ограничи-ваю1ся рассмотрением лишь первых тармо- y(t) ж 1st ОгтО arctg- Рис. 2.41, Сигнал (д) на выходе нелинейного звена с характеристикой (ij) ник этого ряда. В этом случае нелинейная зависимость у =f{x) =/{Л sin v;) заменяется приближенной у(г) = йо + asincoi + bcosm = До + + (i2/(>, (2.135) /(sini/)rfi/; (2.136) qi = /(/1 sin v;) sm vj; dv;; (2.137) /(sinvj/jcos-il/rfvi/. (2.138) Коэффициенты qi и q2 называются гармоническими коэффициентами усиления нелинейного звена, они зависят or характеристики нелинейного элемента и от амп,1И-туды А входною синусоидального сигнала, т. е. qi = qi(A\ q2 = qi (Л). Для типовых нелинейных характеристик формулы для вычисления {А) и qj {А) приведены в табл, 2,3, Для нечетных характеристик О, для однозначных характеристик qi (А) = 0. В дальнейшем рассматриваются нечетные нелинейные характеристики. Выражение (2.135) прн «0=0 можно прец-ставить в виде с = l/fTd; 9 = arctg (2/9,)- (2.140) Часто удобно входной сигнал рассматривать в комплексной форме: x{t)=Ae\ (2.141) тогда первая гармоника выхолно! о сигнала принимает вид y{t) = cAeJ""\ (2.142) Введем понятие комплексно! о i армони-ческого коэффициента усиления нелинейного звена тогда {А) = се. У it) = W„{A)x{t). (2.143) (2.144) Используя (2.140), W„{A) мож1Ю представить в виде WAA) = qAA)+jq2iA). (2.145) Коэффициент (/4) не зависит О! часго-1 ь! входных колебаний, а зависит о! их амплитуды А, в этом в основном и состоит отличие нелинейного безынертшонного звена от линейного инерционно!о. Сгагнсгическая лннеарнзацнн. Метод при-б;!ИженноЙ замены нелинейной характеристики жвивалентиыми в вероятностном смысле линейными !ависимостями называется методом статистической линеаризации. В результате такой линеаризации нелинейная зависимость y=f{x) заменяется приближенной у(1) кот + kix(T), (2.146) где JHj = const - математическое ожидание стационарного случайного си!-нала на входе нелинейного элемента; x(t) - центрирО!(анная случайная составляющая входного сигнала х{1). Прелтюлагается, что выходной стационарный случайный СИ! нал может быть представлен в виде y{t) = m,. +у(1). (2,147) гдешу - математическое ожидание у (0; 0 - центрированная случайная составляющая у (t). Коэффициент 0 = щ/т (2.148) у {t) = с А sin [bit + (2.139) называется статистически.м коэффициентом усиления нелинейного звена по математическому ожиданию. Коэффициент /с, = ±а,/о. (2.149) Таблица 2.3. Коэффициенты гармонической линеаризации типовых нелинейных характеристик Статическая характеристика Нечувствительность (рис. 2.34) к--1 arcsm--1-- при I у4 I > I а j Ограничение (рис 2.35) ft V 2ft / b b arcsin - + - kA kA При M I > Идеальная релейная (рис. 2.36) 46 пА Релейная с зоной нечувствительности (рис 2.37) ±Ь пА при I /4 I > I а I Люфт (рис. 2.38) п: . /. 2а --h arcsm 1 - - 2 V 1-211- 2А 4fta А\ А при М I > I а , при \А\>\а, Двухпо1И1(ионная релейная с зоной печув-ствитепьиости (рис. 2 39) прн I /4 I > I а I 4ah при I /11 > I я I Трехпозиционная релейная с зонами нечувствительности (рис. 2.40) пЛ при А\>\а, пА- \ Я2 при I Л I > 1 I называется статистическим коэффициентом усиления нелинейного звена по центрированной случайной составляющей, где и - лиеперсии y{t) и х(1). С учетом тою что нелинейные звенья в АСР работают совместно с линейными, для которых законы преобразования случайных ситналов определяются ие столько их дисперсиями, сколько корреляционными функциями, можно лопусгить при статистической линеаризации некоторую ошибку в дисперсии выходного сигнала с целью лучше приблиШ1ь ею корреляционную функцию к истинной. В этом случае предпочтительнее вычислять по выражению . *l=/[>i]/cг (2.150) где М -символ матемажческою ожидания. Если ф (х) - одномерная функция плот-нос in распределепия вероятности x(tX то т,= 5 Ф(х)/(х)х; (2.151) к[=± - {/=(x)9(x)dx-mj}°-; (2.152) 3 3.1к.и 1546 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [20] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||