Слаботочка Книги

0 1 2 [3] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

(1.54)

- ф-,) 0.866 + (ф2 + фю - ф* - Фв) 0,5; баз = (Фо - Фб) + (Фз + Ф9) +

+ (ф, + ф, + ф, + (р,! - фз - ф4 -

- Фв - Ф1о)0.5;

бЯэ = фо + Ф* + Фв - Ф2 - Ф(. - Фю,

6bi = (<pi + Ф5 - ф7 - Фи) 0,5 +

+ (ф2 + ф4 - Фв - ф1о)0,8бб + Фз - Ф9;

бЬа = [(Ф1 + ф2 + *Р7 + 4>в) -- (ф4 + Ф5 + Фю + Ф)1)]0,866;

63 = ф, + фя + ф9 - Фз - Ф7 - ф11-

Для упрощения расчетов их можно производить по следующей схеме.

Выписываю! в укачанном ниже порядке ординаты фо, ф1 ,.. и производят их сложение и вычитание по схеме

6bi = 0,5ai + 0,86ба2 + ст

662 =0,866 (Ti +-2);

бЬз = ai - СТ2

Для получения более точных ретультатов употребляю1ся схемы с большим числом ординат, например схема С 24 ординатами.

Интеграл Фурье

Если при разложении функции в ряд

Фурье дискретность изменения частоты гармонических составляющих будет сгремигься к нулю, а их число - к бесконечности, то выражение (1.33) запишется в виде

ф (t) = J [я (<) cos ш + b (со) sin 0)0 d(o,

(1.56)

Ординаты

Pi

Ра

Суммы

"l

"2

"4

"s

Разности

"2

"4

После этою над суммами и ра1ностями производят анало! ичные операции по схемам

Ординаты

«1

"2

Суммы

Разности

Ординаты

Суммы

Разности

Пользуясь полученными соогношения-ми, выражение (1.54) можно переписать в виде

12ао = So + si S2 + sy,

=to + 0,8б6г, -f- 0,52;

баз = So - Ч- 0,5 (5i - sj);

6fl3 =Го - til (1.55)

а{<й) = -

(CO) = -

Ф (I) cos coi i/(; (1.57)

ф(()8тсогг. (1.58)

Интеграл в правой час1и выражения (1.56) называется интерралом Фурье.

Подставим выражения цля а(ш) и Ь (ад) в интеграл Фурье (1 56). При том в качестве переменной ин1е!рирования н (1.57) и (1.58) возьмем !!еременную х вместо t, чтобы быоо раижчие между переменной тггегрнровапия в выражениях для а (со) и Ь{(й) и аргументом t функции ф(0- Выражение (1 56) примет вид

Ф(0 =

Ф (т) cos т

cos со( +

Ф (т) sm шт dx

sm шг

d(a,



(1(0

(p (Т) (COS (ОТ COS <ut +

Так как спектральные плотности функций ф (т) и ф (г) равны, то спектральная плотное! ь й(ш) и функция ф(() связаны зависимостью

-f- sin т sin (at) dca.

С учетом форму-ЕЫ для косинуса разности получим следуюидую форму записи HHTeipana Фурье:

Ф() =

Ф (T)cos (0(г - zjdz. (1.59)

(p{t}e~4t. (1.66)

Пример 1.9. Рассмотрим функцию {" О при t < 0;

•l приг>0.

По формуле (1.66) определяем плотное еь спегЕ ра:

Из (1.56) видно, что ф(Г) можно рассматривать как Сумму бесконечного числа колебаний с амплитудами

и фазами

А (со) = l/fl= ((0) + (ш) (1.60)

е(ю) =arctg[b(co)/ti((o)]. (1.61)

Соожошеция (1.60) и (1.61) ПОЗВО-ЕИЮТ записать интеграл Фурье в более компактной форме:

Ф(0 = -

А (со) cos [шг - е (frt)] da. (1.62)

В теории автома) ического регулирования чаше применяется комплексная форма интеграла Фурье

чс со

Ф(т)е""*б/т, (1.63)

Ф(0 =

4(co)et""*"»Ma). (1.64)

HHTcrpaji Фурье даст рашожение функции в непрерывный спектр, причем частоте ш соответствует плогность спектра

9 (о) =

2ir 1 1

L §

2п 3 -Ь )tE) 2я 3 -ь со

Подставляя это выражение в формулу (1.65), получаем

Ф(0 =

г- Л

(COS (О/ -f- У sin юг) dco =

pcos cor

co sm cof

(/со

3 sin cor ,

ID COS cat ,

В мнимой части полученного выражения под знаком интеграла находятся нечетные функции от <а. Поскольку при симметричных пределах интегра-ч от нечетной функции равен нулю, то

ff(co) =

С учетом этого инте! рал Фурье в komie-

лекспой форме можно записать в виде

Ф(Г)= J ci{a)ed(u. (1.65)

Ф(0 =

р cos tor

dco -ь

(0 sin юг

(1.67)



в теорнн автоматического регулировали? исследомшш линейных систем часто

производится при возмушаюием возлейст-вий, заданном в виде едвничиой функции

Г о при ( 0;

= 1 при t>0.

Рассмотрим, каким образом эту функцию можно разложить в интеграл Фурье. Воспользуемся для этого выражением (1.67).

Если в выражении ф(1) = «~ р-О, то Ф(0-*1; первое слагаемое в (1.67> стремится к 1/2, а второе - к выражению

sin ш

Таким образом, разложение единичной функции в интеграл Фурье имеет вид

1 1

(1.68)

- это интеграл Дирихле.

Отметим два свойства интег рала Фурье, которые используются в теории автоматического регулирования:

а) если ф (1) - четная функция, т. е. ф(-()«ф(0, то

ф (О -

cos ш dot

Ф(т)со8сотт; (1-69)

б) если ф (t) - нечетная функция, т. е. ф(-()= -<f>U), то

ф(1)« -

sin bit dca

ц) {г) sin mdx. (1.70)

Выражения {1.71) и (1.72) соответственно называются прямым ы обртпиым преобразованиями Фурье.

С учетом формулы Эйлера выражение (1,71) запишется в виде

F(J(i))= J ц>(t){cos(at-jsinat)dt,

F(J(i>) = F, (о))-у2 (ш),

Л(й))= J (t)cos mdt;

Fl (iB) = I Ф (0 sin rat dt.

- CO

Если функция ф (I) определена только при г > О, т. е. ф (t) = О при t <0, то

Ft (w) в J ф (О cos mdt, t> О, (1.73) о

- так называемое косинус-преобразование Фурье для ф((),

Fi (ш) = J Ф (г) sin ш dt, t > О, (1.74)

- синуСПреобразование Фурье для ф((). Обратные преобразования имеют вид

Ф(0 = -л

Ф(о=-:

f, (в))со8со(<ш; (1.75)

F2 {а) sin (otdtn. (1.76)

Преобразование Фурье

Сравиив формулы (1.65) и (1.66), можно заметить взаимосвязь этих выражений. Формула (1.65) определяет giat), если известна функция ф (О- Форыула (1.66), наоборот, определяет ф (t), если известна д (ш),

В теории автоматического регулирования для однозначного преобразования функции времени в функцию частоты и наоборот используют выражения

f 0о>)= ? 4it)e*"dt; (1.71)

<Р(0 =

2п J

Fil€a)ed(ii. (1.72)

Пример 1.10. Найдем преобразование Фурье функции

О при г < 0; е" при t > 0.

Имеем

e-edt =

a-f-jO)

Взяв вещественную и мнимую части полученного выражения, получим косинус-и синус-преобразования Фурье для ф(0:

F. ((0) = 0/(0 -f- м); Fj (ш) = -ta/{a} + (О*).

Преобразование Фурье широко используется в теории автоматического регулнро-



Горнолыжных туров по италии tui.ru.
0 1 2 [3] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121
Яндекс.Метрика