|
| |
|
Слаботочка Книги (1.54) - ф-,) 0.866 + (ф2 + фю - ф* - Фв) 0,5; баз = (Фо - Фб) + (Фз + Ф9) + + (ф, + ф, + ф, + (р,! - фз - ф4 - - Фв - Ф1о)0.5; бЯэ = фо + Ф* + Фв - Ф2 - Ф(. - Фю, 6bi = (<pi + Ф5 - ф7 - Фи) 0,5 + + (ф2 + ф4 - Фв - ф1о)0,8бб + Фз - Ф9; бЬа = [(Ф1 + ф2 + *Р7 + 4>в) -- (ф4 + Ф5 + Фю + Ф)1)]0,866; 63 = ф, + фя + ф9 - Фз - Ф7 - ф11- Для упрощения расчетов их можно производить по следующей схеме. Выписываю! в укачанном ниже порядке ординаты фо, ф1 ,.. и производят их сложение и вычитание по схеме 6bi = 0,5ai + 0,86ба2 + ст 662 =0,866 (Ti +-2); бЬз = ai - СТ2 Для получения более точных ретультатов употребляю1ся схемы с большим числом ординат, например схема С 24 ординатами. Интеграл Фурье Если при разложении функции в ряд Фурье дискретность изменения частоты гармонических составляющих будет сгремигься к нулю, а их число - к бесконечности, то выражение (1.33) запишется в виде ф (t) = J [я (<) cos ш + b (со) sin 0)0 d(o, (1.56)
После этою над суммами и ра1ностями производят анало! ичные операции по схемам
Пользуясь полученными соогношения-ми, выражение (1.54) можно переписать в виде 12ао = So + si S2 + sy, =to + 0,8б6г, -f- 0,52; баз = So - Ч- 0,5 (5i - sj); 6fl3 =Го - til (1.55) а{<й) = - (CO) = - Ф (I) cos coi i/(; (1.57) ф(()8тсогг. (1.58) Интеграл в правой час1и выражения (1.56) называется интерралом Фурье. Подставим выражения цля а(ш) и Ь (ад) в интеграл Фурье (1 56). При том в качестве переменной ин1е!рирования н (1.57) и (1.58) возьмем !!еременную х вместо t, чтобы быоо раижчие между переменной тггегрнровапия в выражениях для а (со) и Ь{(й) и аргументом t функции ф(0- Выражение (1 56) примет вид Ф(0 = Ф (т) cos т cos со( + Ф (т) sm шт dx sm шг d(a, (1(0 (p (Т) (COS (ОТ COS <ut + Так как спектральные плотности функций ф (т) и ф (г) равны, то спектральная плотное! ь й(ш) и функция ф(() связаны зависимостью -f- sin т sin (at) dca. С учетом форму-ЕЫ для косинуса разности получим следуюидую форму записи HHTeipana Фурье: Ф() = Ф (T)cos (0(г - zjdz. (1.59) (p{t}e~4t. (1.66) Пример 1.9. Рассмотрим функцию {" О при t < 0; •l приг>0. По формуле (1.66) определяем плотное еь спегЕ ра: Из (1.56) видно, что ф(Г) можно рассматривать как Сумму бесконечного числа колебаний с амплитудами и фазами А (со) = l/fl= ((0) + (ш) (1.60) е(ю) =arctg[b(co)/ti((o)]. (1.61) Соожошеция (1.60) и (1.61) ПОЗВО-ЕИЮТ записать интеграл Фурье в более компактной форме: Ф(0 = - А (со) cos [шг - е (frt)] da. (1.62) В теории автома) ического регулирования чаше применяется комплексная форма интеграла Фурье чс со Ф(т)е""*б/т, (1.63) Ф(0 = 4(co)et""*"»Ma). (1.64) HHTcrpaji Фурье даст рашожение функции в непрерывный спектр, причем частоте ш соответствует плогность спектра 9 (о) = 2ir 1 1 L § 2п 3 -Ь )tE) 2я 3 -ь со Подставляя это выражение в формулу (1.65), получаем Ф(0 = г- Л (COS (О/ -f- У sin юг) dco = pcos cor co sm cof (/со 3 sin cor , ID COS cat , В мнимой части полученного выражения под знаком интеграла находятся нечетные функции от <а. Поскольку при симметричных пределах интегра-ч от нечетной функции равен нулю, то ff(co) = С учетом этого инте! рал Фурье в komie- лекспой форме можно записать в виде Ф(Г)= J ci{a)ed(u. (1.65) Ф(0 = р cos tor dco -ь (0 sin юг (1.67) в теорнн автоматического регулировали? исследомшш линейных систем часто производится при возмушаюием возлейст-вий, заданном в виде едвничиой функции Г о при ( 0; = 1 при t>0. Рассмотрим, каким образом эту функцию можно разложить в интеграл Фурье. Воспользуемся для этого выражением (1.67). Если в выражении ф(1) = «~ р-О, то Ф(0-*1; первое слагаемое в (1.67> стремится к 1/2, а второе - к выражению sin ш Таким образом, разложение единичной функции в интеграл Фурье имеет вид 1 1 (1.68) - это интеграл Дирихле. Отметим два свойства интег рала Фурье, которые используются в теории автоматического регулирования: а) если ф (1) - четная функция, т. е. ф(-()«ф(0, то ф (О - cos ш dot Ф(т)со8сотт; (1-69) б) если ф (t) - нечетная функция, т. е. ф(-()= -<f>U), то ф(1)« - sin bit dca ц) {г) sin mdx. (1.70) Выражения {1.71) и (1.72) соответственно называются прямым ы обртпиым преобразованиями Фурье. С учетом формулы Эйлера выражение (1,71) запишется в виде F(J(i))= J ц>(t){cos(at-jsinat)dt, F(J(i>) = F, (о))-у2 (ш), Л(й))= J (t)cos mdt; Fl (iB) = I Ф (0 sin rat dt. - CO Если функция ф (I) определена только при г > О, т. е. ф (t) = О при t <0, то Ft (w) в J ф (О cos mdt, t> О, (1.73) о - так называемое косинус-преобразование Фурье для ф((), Fi (ш) = J Ф (г) sin ш dt, t > О, (1.74) - синуСПреобразование Фурье для ф((). Обратные преобразования имеют вид Ф(0 = -л Ф(о=-: f, (в))со8со(<ш; (1.75) F2 {а) sin (otdtn. (1.76) Преобразование Фурье Сравиив формулы (1.65) и (1.66), можно заметить взаимосвязь этих выражений. Формула (1.65) определяет giat), если известна функция ф (О- Форыула (1.66), наоборот, определяет ф (t), если известна д (ш), В теории автоматического регулирования для однозначного преобразования функции времени в функцию частоты и наоборот используют выражения f 0о>)= ? 4it)e*"dt; (1.71) <Р(0 = 2п J Fil€a)ed(ii. (1.72) Пример 1.10. Найдем преобразование Фурье функции О при г < 0; е" при t > 0. Имеем e-edt = a-f-jO) Взяв вещественную и мнимую части полученного выражения, получим косинус-и синус-преобразования Фурье для ф(0: F. ((0) = 0/(0 -f- м); Fj (ш) = -ta/{a} + (О*). Преобразование Фурье широко используется в теории автоматического регулнро- 0 1 2 [3] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 |