Слаботочка Книги

0 1 2 3 [4] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

ваиия, когда необходимо получить час i о г -ные характерис!ики системы по ее передаточной функции. Если передаточная функция системы не имеет геолюсов справа от мнимой оси или на ней самой и ф(1) равна нулю при I < О, то достаточно заменить р в выражении передаточной функции W{p) (где р - символ преобразования Лапласа) на /(0, чтобы получить комплексную частотную функцию системы.

Если ф (() не равна нулю при I < О, то

= I Ф(0" + iip{-t)edl.

Если для ф (f) я ф( -f) преобразования Лапласа соответственно имеют вид ф] (р) и Фз {р) и если обе эти функции не имеют полюсов справа от мнимой оси или на ней самой, то

Fijbi) = фJ (Ум) + ф2 ija),

где ф] Ooi) и фаОш) получаются соотве!-ственно из ф1 {р) и фз {р) заменой р на jta.

1.4. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Осиойиые понятии

Инженеру в практических расчетах приходится иметь дело с величинами двух типов: одни из них (например, угол, площадь, температура, масса и г. д.) полностью характеризуются одним только 4HCjmM; другие (например, скорость, ускорение, сила и т. д.) характеризуются не только числом, но и направлением в пространстве.

Величина, полностью характеризующаяся после выбора единицы измерения одним числом, называется скагяром. Следует различать чистые скаляры и псевдоскаляры. Чистые скаляры (температура, масса, сопротивление и т. д.) полностью определяются числом, не зависящим от выбора направле-ння осей координат. Псевдоскаляры также определяются с помощью числа, абсолютное значение которого не зависит от выбора осей координат, однако знак этого числа зависит от выбора направлений на осях координат. Примерами псевдоскаляров являются угол, плоЕцадь, поверхность.

Вектор - это величина, которая характеризуется числом и направлением. Обычно векторы июбражают отрезком прямой линии, длина которого (модуль) определяет

числовое значение вектора, а стрелка указывает направление вектора

Будем обозначать в дальнейшем скаляры латинскими буквами а, h, . ., векторы а. Ь, ..., модули векторов а , Ь , ... или просто а, Ь, ...

Различают следующие типы векторов-

связанный пектор, начало которого закреплено в определенной точке;

сколыяи(ий (или свободный) вектор, который определяется только направлением линии действия и модулем, начало его не закреплено.

Векторы, параллельные одной и той же прямой, называются коллинеарными; равные по длине коллинеарные векторы называются компланарными. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным векторов или ортом. Орты, имеющие направление прямоу! ольных координатных осей Ох, Оу, Oz, обозначаются i, j, к соответственно.

Векторы а и Ь считаются равными, если равны их модули и совпадают направления.

В системе прямоу] ольныд координат тюбой вектор а может быть представлен в виде

8 =а, + Я,, +а„ (1,77)

где а, = ifl,; = juy-, = кя; а, Яр я-координаты вектора а относительно соответствующих осей координат.

В теории автомагического управления и регулирования векторные представгесния величин используются достаточно широко. Рассмотрим в качестве примера структурную схему автоматической системы, изобраямн-ную на рис. 1.2. В общем случае на управляемый объект УО действует п возмуЕдаю-щих воздействий / (условно считаем, что все пни приложены к УО) и к управляюЕцих воздепсгвий м. Управляющее устройство УУ nojiy4aeT информацию об УО по т каналам, измеряя ретулируемые параметры х (или нх ОЕКлонения от заданною значения), и на основании этой информаЕШи вырабатывает СИ1 налы управления и.

Рис. 1 2. Структурная схема автоматической системы регулирования

Поведение изображенной схемы управления может быть описано системой из т дифференциальных уравнений первого порядка вида

dxi/di = ф,(xi,.. «1..- ,«k;/i.-.-,/J; dxi/dt = Фз (хь . ., х„; Ub .... и»; /i,..., /J;

dxjdt = ф„ (jc,,..., x„; i/,,..., ы»; /ь ..., /J.

(1.78)

Введем в рассмотрение m-мерный векгор X с координатами х,, х„, /с-мерный вектор U с координатами и, и; «-мерный

вектор Г с коорднна1ами /i...../„. То1да

систему уравнений (1.78) можно переписать в виде

dxi/dt = ф1 (х, U, 0; dX2/dt = ф2 (х, U, f);

х„/Л = ф«(х, U, f)-

(1.79)

Введем в рассмотрение т-мерный вектор dx/dl с координатами dxJdt, - dxJdt и m-мерный вектор ф с координатами Ф1. •. Фя1- Тогда систему уравнений (1.79) можно переписагь в более компактном виде-

</х/А =ф(х, U, 1). (1.80)

Таким образом, применение понятий векторного исчисления прнла;1о уравнениям движения автоматической системы управления более компактный вид, позволяющий зпачи 1 ельно упростить все последующие расчеты.

Операции над векторами

Суммой нескольких векторов а, Ь, с, d (рис. 1.3) являе1ся вектор е, представляющий собой замыкающую ломаной линии, составленной из слагаемых векторов

Основные свойства суммы векторов-

а -f- b = b -ь а: (а -ь Ь) -ь с = а -ь (Ь -и с) = а -ь Ь -ь с-, a-f-bKa-Hb; a-f-Oa,

;i.8i)

рис. 1.4, К понятию скалярного (а) и векторного (б) произведений векторов

где О - нулевой вектор (или нуль-вектор).

Нулевой вектор - это математическое понятие вектора с нулевым модулем.

Разностью векторов а - Ь называется сумма векторов а -1-( -Ь).

Свойства разности векторов:

а-Ь=а-г(-Ь), а-а=0; а-Ьа-1Ы; а-0=а.

(1.82)

Произведение вектора а на скаляр к есть вектор, коллинеарный с вектором а длиной к а I, направление которого совпадает с направлением век Юра й при к > О а противоположно ему при к <0.

Свойства произведения вектора на скаляр.

/(Я = яА:; {к + с)а = кя + сяГ к{а + Ь) = кя + кЬ; 1а=я; > (1.83) (-1)а= -я; Оа = 0. J

При умножении некторов различают скалярное и векторное произведения.

Скалярное произведение векторов а и b [обозначается а b или (а, Ь)] есть скаляр, опреде.1яемый равенством

а Ь = ah cos ф, (1 84)

где ф - угол между векторами а н Ь, приведенными к общему началу (рис, 1.4, а).

Свойства скалярного произведения векторов-

аЬ=Ь-а;а-(Ь-ьс)=ЯЬ--ас; {ка)-Ь = к{а-Ь); а я = а = а > 0; а-Ь< lallbi.

(1.85)

Рис. 1.3 Сложение векторов

Если векторы а и b заданы прямоугольными декартовыми координатами а = = iox -f- К -f ка,; Ь*К + ]Ь, + то

а - b = a,ftx + оу + ajbj. (1.86)

Векторное произведение векторов а и b (обозначается а х b или £а, Ь]) есть вектор с, juiMHa которого равна йЬяшф, т.е. равна площади пapa,oлeJЮГpaммa, построенного иа векторах а и b как на его сторонах (заш1рихованная площадь на рис. 1.4, й);

(1.87)

вектор с направлен перпендикулярно а и b в !акую сторону, чтобы векторы а, b и с образовали правую 1ройку, i.e. чтобы после совмеп1ения начал векюров а, Ь и с кратчайший поворот от а к b казался наблюдателю, смотрящему с конца вектора с, идущим против часовой стрелки.

Свойства векторното произведения векторов:

а X b = -Ь X а; а X (Ь -i- с) =

= ахЬ-ьахс; (кя) X b = /с (а X Ь); а X а = 0;

а (а X Ь) = Ь (а X а) = 0.

В 1[рямоугольных декартовых координатах имеются следующие соотношения:

ixi=jxj-кхк - 0;

ixj = k; jxk = i; к х I=j;

а X b = {Uyb - афу) i -j-

+ (ab - ah) j + {aby - ab) k.

Выражение для векторного произведения а X Ь из (1.88) можно также записать в виде определителя:

j к

а X b =

b„ b.

(1.S9)

Смешанным (векторно-скалярным) произведением ipex векторов называются выражения

а . (Ь X с) = b (а X с) = с (Ь X а). (1.90)

В прямоугольных декартовых координатах

а -(Ь X с) = {Ьс - ЬСу] + {Ь,( - Ьс] а„ + + {Ь<у - ЬуС) а„ (I 91)

а-(Ь X с)=

(1.92)

Следует отметить, что одно векторное уравнение в общем случае даже при одном неизвестном векторе не является определенным.

В качестве примера рассмотрим два простейших \равпеиня со скалярным и векторным произведениями с одним неизвестным вектором X и известными векторами а и Ь.

1. Уравнение ях = Ь является неопределенным, так как если все векторы х, удовлетворяющие этому уравнению, свести началами в одну точку, то их концы будут

лежать в плоскости Р, перпендикулярной вектору а. Уравнение а х = ft называется векторным уравнениеч плоскости Р. Этому уравнению удовлетворяет бесчисленное множество векторов X, которые исходят из одной точки и концы которых лежат в плоскости Р.

2. Уравнение ахх = Ь тоже неопределенное, так как этому уравнению будет удовлетворять бесконечное множество векторов X, которые исходят из одной точки и концы которых лежат на прямой, перпендикулярной вектору а. Уравнение а хх=Ь называется векторным уравнением этой прямой. Неопределенность векторного уравнения с одним неизвестным вектором объясняется тем, что вектор определяется двумя величинами: модулем и направлением. Дяя получения определенного решения относительно неизвестного вектора необходимо решать систему из двух векторных уравнений с одним тгеизвестным вектором.

Векторный анализ

Допустим, 410 каждому шачению скалярной переменной w соответствует определенный вектор а. В этом случае iоворят, что вектор является функцией скалярной переменной от го (вектор-функцией), и записывают его в виде а (го). Координатное задание вектор-функции а (го) эквивалентно заданию трех скалярных функций от са: «1 (и), flj (со), £(j (со), так как

а (го) = ia, (го) + jfl (ш) + ка (со). (1.93)

Если при различных значениях со откладывать вектор а (со) от общего начала, то конец вектора а (ш) 01[ишет нековорую кривую, которая называется годографом вектора а (го). Производная вектор-функции

da {(i}}/d(a = lim {[а (о) + Дсо) - а (го)]/Дсо}

Представляет собой новую векторную функцию от ш, HanpaBjieHHe которой совпадает с направлением касательной к годографу вектора а (со) в соответствуютцсй точке. Правила дифференгшровантя.

1) -;[а(го)-ь Ь(го)-ьс(ш) + . ..] = асо

tfa (со) db (со) tfc(cQ) gi

d<o

d ddi

t/ф (ro)

2) [ф (CO) a (CO)] =

da (ro)

a (ro) + ф (ш)

(1.96)

0 1 2 3 [4] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121