Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 [5] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

где ф (to) - скалярная функция от ш;

где с - постоянная величина;

3) -[*(со).Ь(ш)] =

= M«).b(co)+.a(co); (1.98) ао) dot

4) xb(£oO =

= X Ь(со) + а(со) X -(1.99)

fjo) di4

В (1.99) переставлять множители местами нельзя (см. выше свойства векторного произведения векторов),

"1

Опредмеииый интеграл J в(ш)б/о) для

вектора а (со) может быть выражен через координаты:

(01 щ

J" а (to) d(o = 1 J (to) dat +

(I>t (О,

(>] (Ol

+ j jfl,(to)dto+b Ja,(to)rf(u. (1.100)

В расчетах по автоматике приходится иметь дело не только с постоянными векторами или векторами, из меняющимися в зависимости от скалярного аргумента ю. но и с более с;южными случаями, когда с каждой точкой рассматриваемою пространства свя1ывается значение некоторою скаляра или вектора. Рассматриваемое пространство называется тогда скалярным или векторным полем - смотря по тому, какая функция, скалярная или векторная, изучается- Так, в неоднородной среде можно рассматривать скалярное поле плотности, так как каждой точке среды соответствует своя плотность, в трубопроводе с движущейся жидкостью имеется векторное поле скорости частиц жидкости н т. д.

Понятия скалярного н векторного полей в теорив автоматического регулирования распространяются на воэмутсние воздействия и обобщенные координаты движения автомаз ической системы.

Если в рассматриваемом, например трехмерном, просфанстве лакрепить начало координат, то каждую гочку это1 о пространства можно определить ее радиусом-век; ором г (т. е. вектором, проведенным из начала координат в данною точку) с координатами

X. у, Z. Чтобы задать в рассматриваемом пространстве скалярное или векторное поле, необходимо привести в соответствие радиу-су-векюру г значение некоторой скалярной функции / (г) или некоторой векторной функции Г (г). Таким образом, скалярное поле есть скалярная функция точки f {т) = f {х, у, z) вместе с областью ее определения Поверхности

/ (г) "= / (Ху У-. 2) = const

называются поверхностями уровня тюля; они позволяют представить поле геометрически.

Векторное поле есть векторная функция точки f(r) = f(x, у, г) вместе с областью ее опрелелення. Векторное поле f (г) может быть представлено геометрически своими векторными линиями. Эти линии можно построить следующим способом (рис, 1.5), Возьмем какую-нибудь точку поля а и отложим вдоль отвечающего этой точке вектора f (г) отрезок Дг малой длины, в результате придем в точку Ь, нз которой опять отложим отрезок Дг вдоль отвечающею этой точке вектора f(г), и т.д. В результате получается ломаная лииня /, в пределе (Дг-*0) переходящая в плавную векторную линию , в каждой точке которой вектор f (г) имеет направление касательной к линии /.

Векторные линии определяются диффе-ренциальнымн уравыекиямк

</rxf(r) = 0 (1.101)

dx/fAx, у. 2) = </у/Л(Х, >, Z) = dz/fAx, у, 2).

(1.102)

Ориентировка векторных линий дает направление вектора f(r) в каждой точке поля, а относительная плотность векторных линий в каждой точке пропорциональна модулю I f (г) .

Часто скалярные или векторные функции являются функциями времени, т. е. /(г, О, f(г, 0; соответствующие поля тогда называются нестационарными; поля, не меняю-

Рис. 1.5. Геометрическая интерпретация векторных линий векторного поля

шиеся с течением времени, называются стационарными.

Для характеристики скалярных и векторных полей применяются три функции:

1) градиент - векторная функция, аргументом которой является скалярная функция точки;

2) дивергенция - скалярная функция, аргументом которой является векторная функция точки;

3) ротор (или вихрь) - векторная функция, аргументом которой является векторная функция точки.

Градиент. Рассмотрим скалярное поле функции / (г) = / (х, у, z). Градиентом этой функции в декартовой системе координат называется вектор с координатами df{r)/dx; dfirydy; df{T)/8z.

Он обозначается grad / (г). Согласно определению

grad/(r)-ia/(r)/ax-f-

+ l6f(r)/8y + k8f{T)/8z. (1.103)

Этот вектор имеет направление нормали к поверхности уровня в сторону возрастания /(г), а его модуль

igrad/(r) =

= !/(?/"(г)/ал) -К5/(г)/ау)* НдЩд (1.104)

Из других обозначений градиента /(г) наиболее употребительное V f (г), где знак V читается кнавлая. При л-ом обозначении

V/" (г) = j 8f{T)ldx + j df{T)ldy + к df{t)ldz.

(1.105)

Из (1.105) ВИЕЩО, что V можно рассматривать как векторно-дифференциальный оператор

V = \dl8x+\ 8/8у + к d/dz. (1.106)

Оператор V впервые был прел;южен Гамильтоном, и поэтому его называют оператором Гамильтона.

В декартовых координатах оператор Гамильтона определяется выражением (1.106). Ею применение к скалярным и векторным функциям точки формально соответствует некоммутативной операции умножения на вектор с декартовыми координатамв б/дх, б/ду, д/дг, т. е.

7/(r) = grad/(r);

V-f(rr=divf(r); > (1.107)

7 X f (r) = rotf(r).

Оператор W = = Д называется onepa-тпро.л Лапласа, В декартовых координатах оператор Лапласа {.гапласиан) выражается

формулой

Adldx + б1бу + dldz. (1.108)

Этот оператор может быть применен к скалярным и векторным функциям точки с помощью некоммутативного скалярного умножения:

А/-(г) = {didx- -f- didy + aVc2)/(г); (i.io9)

Af (г) = i ДЛ -f-МЛ + Ь A/;. (1.110)

Применение опера юров Гамильтона и Лапласа к скалярным и векторным функциям позволяет значительно упростить запись выражений и операции над ними. Правила вычисления градиента: grad а = 0; grad [/i(r)-b/3(r)]-= giad/i (г)-ь grad.А (г); grad [(i/(r)]=flgrad/(r); grad[/i(r)/3(r)] = = /i(r)grad/3(r)-f-4-/3(r)grad/,(r).

Дивергенция. Рассмотрим вектор

а = -f- Ja, -ь ко,.

Дивергенцией этого вектора а называется скалярная величина (обозначается div а), определяемая для декар!овой системы координат соотношением

оа,

(1.112)

(1-111)

diva =

бх 8у dz

ДиверЕенция представима в виде суммы скапярных произведений:

- - (1.113)

diva =! -f-j.

Sy cz

Ротор. Ротор вектора я - это векторная величина, определяемая для декартовой системы координат соотношением

rota = l(4

да { dz

8а са

(1.114)

дх J " \ Sx ду }

Ротор можно представить в виде суммы следующих векторных произведений:

rot я = I X -- +JX - -f-kx -

бх ду ,Ь

(1.115)

Чтобы уяснить физический смысл ;1нвер-генции и ротора, рассмотрим плоскую площадку S в скалярном илн векторном поле, 01раниченную контуром с (рис. 1.6). Вектором плоской пдощадкн S, ограниченной контуром с, называется вектор s, модуль

Рис. 1.6. к определению вектора ппоской площадки

которого равен площади площадки Е, а направление s выбрано перпендикулярно Е гак, чтобы, если смотреть с конца вектора s, обход площадки казался идущим против часовой стрелки. Таким образом, выбор направления на контуре площадки свя)ан с выбором лицевой стороны шющадки. т. с стороны, от которой отходит вектор s. Эта связь переноснюя на любую кривую поверхность, ограниченную конуроч

1.5. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Основные поюггня

Исторически ионя гие матрицы н матричного исчисления возникло в связи с изучением сиоем линекиых уравнений. Впоследствии матрицы стали объектом самостоя-тельного изучения в математике

Рассмотрим систему т линейных уравнений с п неизвестными, за]исанную в слс-дун)1цем виде"

a,nixi + а„2Х2 + ... + а„„Хп = «„о

(1.116)

PeiueHHCM системы (1.116) называется упорядоченная совокупность " чисел у., 0-2, .., Qt„, которые, будучи поставленными в уравнения системы вместо соответствующих неизвестных Xj, Xj, х„, обращают их в тождества. Система (1.116) называйся совместной., если оиа имеет хотя бы о;що решение, и несовместной, еспи она не имеет ни одного решения. Совмес ная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопреде lenuou, еспи она имес! больше одного решс{ия

Пример 1.11. 1. Система

2xi - Х2 = - 1; Xi + Х2 = 4

имеет одно-единсгвенное решение х = 1, Х2 = 3, следовательно, система является определенной.

2. Система

2х, - 3x2 = 4;

4x1 - 6x2 = 8

является неопределенной, так как второе уравнение является следствием первого. Решив систему относительно Xi, получим

X, = 2 + 1,5x2-

Задавая множество любых значений Хг, получаем соответственно бесчисленное множество решений для Х].

3 Система

2xi - .Х2 =4,

4x2 - 6x3 = 10

является несовместной, так как, сократив второе уравнение на 2, получим 2xi - 3xj = = 5; образовалось два уравнения с одинаковыми левыми частями и неравными правыми; 1аким ofipaJOM, оба уравнения не могут одновременно удовлетворяться ни при каких значениях Xt и Л2.

Рассмотрим систему из двух линешшх уравнений вида

aiti +122 ="10; OiiXj + ацХ2 = aio.

(1.117)

Будем каждую пару значений х, и xj, удовлетворяющих каждому из уравнений системы (1.117), рассматрива1ь как координаты точки в плоскости X,, Х2 Тогда для каждого уравнения геоме1рическое место точек образует прямую линию. Решение системы уравнений с двумя неизвестными геометрически изобрази!си ючкои пересечения двух прямых, соответствующих данным уравнениям.

На рис. 1 7 построены прямые, соответствующие уравнениям из систем, рассмотренных в примере 1.11 Как видно из рис 1 7. я, прямые, соответствующие 0!ipe;!e-ленной системе, пересекаются в ючке с координатами (1, 3), прямые, соогвв1С1вующие неопределенной системе, сливаются в одну прямую (рис 1.7,(5); уравнениям несовместной системы соответствуют две параллельные прямые, ие имеющие точек пересечения (рис. 1.7, в).

Достаточ1ю наглядная i еометрическая иллюстрация решения систем двух уравнений с двумя неизвестными привела к идее геометрического анализа сиеi ем уравнений с любым числом неизвестных х„. Чтобы использова1Ь ! еометрическне представления при анали le систем уравнений с любым

0 1 2 3 4 [5] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121