Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 [7] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

Если произведение двух магрии А и А~ например равно единице, то матрица А" является обратной матрицей И вычисляется по следующему правилу

а) вь[писываю1 матрицу А, транспонированную По отнощеиию к матрице А;

б) заменяют каждый элемент матрицы А" его шцебранческим дополнением А,, деленным на ollpeдeJштeль Л матрицы А.

Првм 1.12. Вычислим матрицу, обратную матрице например

2 3		-1 2		1 5
				3 9
-1 4		4 5

3 Произведение матрицы А размера m X п на ска;гяр а есть матрица С размера m X п с элементами

г,* = СШ,ь

(1.134)

	X 2 3		1 2 4
	4 5 6		4 5 6
	2 S 9	4. Произведение л

OпpcдeлиeJJь этой матрицы Д = 1(45 -4S)- 2(36- 12) + 3(32 - Ш) = 15.

Транспонированная матрица 1. 4 2

2 5 S

3 6 9

Заменим в згой матрице каждый ее элемент соответствующим алгебраическим дополнением

-3 6 -3 -24 3 6 22 -4 -3

Разделив каждый элемент полученной матрицы на Д = 15, получим обратную матрицу

-1/5 2/5 -1/5 А-= = -S/5 1/5 2/5 22/15 -4/15 -1/5

При вычислении обратной матрицы пред-[юлагается, что определитель матрицы не равен нулю, т, е, матрица невырожденная, В противном случае определить обратную матрицу невозможно

Операции над матрицами. Oire-рации над матрицами онределяются с помощью операцнн на;( их элементами.

1. Матрицы А и В соо1ветствепно с элементами я,» и pa (мера m х п равны ;ФУ1 Другу (А = В) в том и I олько в том случае, когда = b,t для всех i и к

2. Сумма матриц А и В размера m X и есть матрица С размера т у п с элементами

3 6 12 12 15 18

1а1рицы А размера m X и С элементами на матрицу В размера п х г с элементами есть матрица С размера т х г с элементами

(I.I35)

Таким образом, элемент с. матрицы С = АВ есть сумма прои)ведеиий элементов (-Й строки матрицы А иа соответствующие злементы к-го столбца матрицы В (рис. 1.8). В произведении матриц АВ число п столбцов матрицы А должно равняться числу строк матрицы В (говорят, что формы матриц А и В должны быть согласованными). Из существования произведения АВ вовсе не следует существование произведения ВА. Если суп)ествуют оба произведения АВ и ВА (матрицы А и В квадратные), то в общем случае АВ ВА - но свойство некоммутативности умножения является отличительной особенностью алгебры ма1риц.

Правило умножения двух квадратных матриц то же, что и умножения двух определителей, однако аналотя между матричньЕМ исчислением и операциями с определителями на этом заканчивается. Например, правило умножения на число н правило сложения существенно различны:

аа аЬ ас ixd

а Ь
с d

, но

а, Ь,		«а

а, + aj 2bi Ci + Ci 2di

«1 bi		«2 bi		Oi +a2
		C2 dt

fit = 1.A + b,it,

(1 133)

He будем останавливаться на глубоком различии ц сущности двух понятий: матрицы

Строка i

Стлбецк

Рис. l.S. Схема вычисления элемента произведения двух матриг!

и определителя. Важно подчеркнуть, что внешняя аналог ия ис должна приводить к ошибкам Hi-)a смешения правил вычисления.

1.6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Случайные событии

Всякий фак1, который в ре1ультате опьиа может протоЙ1И или не произойти, называется случайным событиел. Случайное событие А характеризуется некоторым чис-j(OM - вероятностью р{А\ которая яв.11яегся численной мерой степени объективной возможности jToro события. Если в результате опыта событие называется д01т<терным, то для него р[А)= I Рели в результате опыта событие А не может произойш, то это событие называется невозможным и р{А) = О. Вероятность любого события 0 4р(Л)1. EaiH в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из собьиий Ai, Ai,.. то такие события называются полной группой событий.

Если два и более любых событий могут появляться Вместе, то такие события называются совместными. Несколько событий в данном опыте считаются несовместными, если никакие два из ннх не могут появляться вместе. Если по условиям опыта нет оснований считать какое-либо событие более возможным, чем любое другое, то события в данном опыте называются равиовозмож-ными.

Если несколько событий несовместны, равновозможны и образуют полную группу, то они называются случаями. Если появление случая влечет за собой появление события, то случай называется благоприятны» событию.

Если результаты om>i i а сводятся к схеме случая, то

P{A)=NaIN,

(1.136)

где Nj - число случаев, благоприятных событию А; N - общее число случаев.

Допустим, что происходит серия испытаний, с которыми связано появление или не-iiOHBjTCHHe случайного события А с вероятностью р{Л), которую называют безусловной вероятностью. Пусть с Э1им же испытанием связано появление или непоявление другого события В с безусговиой вероятностью р(В). Отберем нэ всех N испыганяй лишь их часть Nff, при которых появилось событие В. Пусть в этих Ng испытаниях в i,B случаях появилось также событие А. При большом числе испытаний отношение

p{AlB) = hllslNii

(1 1.37)

называется yt ловной вероятностью события А (при условии, что событ ие в появилось).

Пользуясь понятиями безусловной и условной вероятностей, рассмотрим сложение и умножение вероятностей. В теории вероятностей под суммой нескольких событий понимается событие, состоящее в ноявтснни хотя бы одного из событий, а под произведением событий понимается событие, состоящее в совмес гном появлении всех этих собы тий.

Если события 4, несовместны, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т. е.

(1.13S)

Для совместных событий А,

+ .. + (-1)""х

X p(AiA2A3...A„), (1.139)

где суммы распространяются на все возможные комбинации различных индексов т, j, к..., взятых по Одному, по два, по три и т. д.

Если события Af несовместны и образуют гюлную группу, то

1/(<) = 1.

(1.140)

Если события А и В независимы, т. е. 1юявление одного из них не меняет вероя!- ности появления другою, то

р(А1В) = р{Ау, р{В/А) = р{В). (1.141)

Для нескольких независимых событий А,

р(П-4.)= Пр(.)- (1-142)

Для зaвиcиfыx событий А, теорема умножения вероятное гей имеет вид

p{AiA2...A„}p{Ai}p{Ai/Ai} X

хр{Аз/А1Аг)...р(А„/А,Аг...А,-1 (1.143)

Допустим, что ло некот орого испытания вероятности несовместных событий Л, {априорные еероятиоспш) имели значения р{А,). Если в результате испытания появляется событие В, то после опыта, когда появилась новая информация, необходимо переопределить вероятности событий Л,. Эти новые вероятности теперь будут уже условными вероятностями р (Л,/В) -так называемыми апостериорными вероятностями.

Для их подсчета применяется формула Байеса

Р(Л/В)=-Р-(»Ь (М44)

tpiAdPiB/Ao t-i

Случайные величины

Случайная величина представляет собой более сложное понятие, чем случайное событие. Это - величина, которая в результате опыта принимает одно и только одно заранее неизвестное значение из множества возможных значений. Поэтому чтобы охарактеризовать случайную величину х, необходимо задать как множество ее возможных значений х, так и нх вероятности.

Пусть возможные значения xj, xj,...,x„ случайной величины X дискретны, тогда нужно задать п вероятностей вида р, = р(х,), где р, - вероятность случайного события, заключающегося в появлении значения х, случайной величины X. Поскольку события Л" = X, для разных / несовместны и по определению случайной величины образуют полную группу, то

I р( = 1. 1-1

(1.145)

Если случайная величина X непрерывна, т. е. может принимать любые зггачеиия в некотором интервале, то для задания ее вероятностной характеристики применяется функция распределения F(x)jro вероятность случайного события X < х, заключающегося в том, что значение X оказалось меньше некоторого фиксированного значения х:

F{x) = p{X <х).

(1.146)

попадания X в интервал о < X Ь:

piaX Ь] = F(b) - Fiay (1.147)

Функция F(x) есть монотонная неубывающая функция от X, причем f(-ао) = 0, F(co) = 1. Функция

P(x) = rff(x)/rfx (1.148)

называется плотностью вероятности или дифференциальным законом распра>еления случайной величины X.

BejrHHUHa p(x)dx представляет собой вероятность для случайной величины X и находится в бесконечно малом интервале X < X X + dx. Вероятность величины X находится в ин гервале о < ЛГ < Ь и определяется выражением

р1а=Х=Ь) = F{b) - F{a) = j p(x)dx. (1.149)

Из (1.149) следует, что

j p(x)dx=l.

(1.150)

Функция Ffx) (или интегральный закон распределения) позволяет найти вероятность

Важными характеристиками случайной величины, хотя и не вполне исчерпываю щими, являются ее моменты. Моментом порядка к называется некоторое число, определяемое выражением

о» = I xp{x)dx. (1.151)

Момент первого порядка «1 называется математичесни ожиданием или средним значение и случайной величины X, обозначается т:

«1 = ffix = j xp[x)dx (1.152)

и характеризует среднее арифметическое Хер ар значение случайной величины X в том смысле, что При достаточно большом числе испытаний Хар мало Отличается от т. Центральным моментом к-то порядка называегся момент А-го порядка разности (х - mj:

11= I (X - mJpx)dx. (1.153)

Особое значение имеет центральный момент второго порядка, который называется дисперсией и обозначается Z),.

D= J (x~m)p{x)dx. (1.154)

0 1 2 3 4 5 6 [7] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121