|
| |
|
Слаботочка Книги Если произведение двух магрии А и А~ например равно единице, то матрица А" является обратной матрицей И вычисляется по следующему правилу а) вь[писываю1 матрицу А, транспонированную По отнощеиию к матрице А; б) заменяют каждый элемент матрицы А" его шцебранческим дополнением А,, деленным на ollpeдeJштeль Л матрицы А. Првм 1.12. Вычислим матрицу, обратную матрице например
3 Произведение матрицы А размера m X п на ска;гяр а есть матрица С размера m X п с элементами г,* = СШ,ь (1.134)
OпpcдeлиeJJь этой матрицы Д = 1(45 -4S)- 2(36- 12) + 3(32 - Ш) = 15. Транспонированная матрица 1. 4 2 2 5 S 3 6 9 Заменим в згой матрице каждый ее элемент соответствующим алгебраическим дополнением -3 6 -3 -24 3 6 22 -4 -3 Разделив каждый элемент полученной матрицы на Д = 15, получим обратную матрицу -1/5 2/5 -1/5 А-= = -S/5 1/5 2/5 22/15 -4/15 -1/5 При вычислении обратной матрицы пред-[юлагается, что определитель матрицы не равен нулю, т, е, матрица невырожденная, В противном случае определить обратную матрицу невозможно Операции над матрицами. Oire-рации над матрицами онределяются с помощью операцнн на;( их элементами. 1. Матрицы А и В соо1ветствепно с элементами я,» и pa (мера m х п равны ;ФУ1 Другу (А = В) в том и I олько в том случае, когда = b,t для всех i и к 2. Сумма матриц А и В размера m X и есть матрица С размера т у п с элементами 3 6 12 12 15 18 1а1рицы А размера m X и С элементами на матрицу В размера п х г с элементами есть матрица С размера т х г с элементами (I.I35) Таким образом, элемент с. матрицы С = АВ есть сумма прои)ведеиий элементов (-Й строки матрицы А иа соответствующие злементы к-го столбца матрицы В (рис. 1.8). В произведении матриц АВ число п столбцов матрицы А должно равняться числу строк матрицы В (говорят, что формы матриц А и В должны быть согласованными). Из существования произведения АВ вовсе не следует существование произведения ВА. Если суп)ествуют оба произведения АВ и ВА (матрицы А и В квадратные), то в общем случае АВ ВА - но свойство некоммутативности умножения является отличительной особенностью алгебры ма1риц. Правило умножения двух квадратных матриц то же, что и умножения двух определителей, однако аналотя между матричньЕМ исчислением и операциями с определителями на этом заканчивается. Например, правило умножения на число н правило сложения существенно различны: аа аЬ ас ixd
, но
а, + aj 2bi Ci + Ci 2di
fit = 1.A + b,it, (1 133) He будем останавливаться на глубоком различии ц сущности двух понятий: матрицы Строка i Стлбецк Рис. l.S. Схема вычисления элемента произведения двух матриг! и определителя. Важно подчеркнуть, что внешняя аналог ия ис должна приводить к ошибкам Hi-)a смешения правил вычисления. 1.6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Случайные событии Всякий фак1, который в ре1ультате опьиа может протоЙ1И или не произойти, называется случайным событиел. Случайное событие А характеризуется некоторым чис-j(OM - вероятностью р{А\ которая яв.11яегся численной мерой степени объективной возможности jToro события. Если в результате опыта событие называется д01т<терным, то для него р[А)= I Рели в результате опыта событие А не может произойш, то это событие называется невозможным и р{А) = О. Вероятность любого события 0 4р(Л)1. EaiH в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из собьиий Ai, Ai,.. то такие события называются полной группой событий. Если два и более любых событий могут появляться Вместе, то такие события называются совместными. Несколько событий в данном опыте считаются несовместными, если никакие два из ннх не могут появляться вместе. Если по условиям опыта нет оснований считать какое-либо событие более возможным, чем любое другое, то события в данном опыте называются равиовозмож-ными. Если несколько событий несовместны, равновозможны и образуют полную группу, то они называются случаями. Если появление случая влечет за собой появление события, то случай называется благоприятны» событию. Если результаты om>i i а сводятся к схеме случая, то P{A)=NaIN, (1.136) где Nj - число случаев, благоприятных событию А; N - общее число случаев. Допустим, что происходит серия испытаний, с которыми связано появление или не-iiOHBjTCHHe случайного события А с вероятностью р{Л), которую называют безусловной вероятностью. Пусть с Э1им же испытанием связано появление или непоявление другого события В с безусговиой вероятностью р(В). Отберем нэ всех N испыганяй лишь их часть Nff, при которых появилось событие В. Пусть в этих Ng испытаниях в i,B случаях появилось также событие А. При большом числе испытаний отношение p{AlB) = hllslNii (1 1.37) называется yt ловной вероятностью события А (при условии, что событ ие в появилось). Пользуясь понятиями безусловной и условной вероятностей, рассмотрим сложение и умножение вероятностей. В теории вероятностей под суммой нескольких событий понимается событие, состоящее в ноявтснни хотя бы одного из событий, а под произведением событий понимается событие, состоящее в совмес гном появлении всех этих собы тий. Если события 4, несовместны, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т. е. (1.13S) Для совместных событий А, + .. + (-1)""х X p(AiA2A3...A„), (1.139) где суммы распространяются на все возможные комбинации различных индексов т, j, к..., взятых по Одному, по два, по три и т. д. Если события Af несовместны и образуют гюлную группу, то 1/(<) = 1. (1.140) Если события А и В независимы, т. е. 1юявление одного из них не меняет вероя!- ности появления другою, то р(А1В) = р{Ау, р{В/А) = р{В). (1.141) Для нескольких независимых событий А, р(П-4.)= Пр(.)- (1-142) Для зaвиcиfыx событий А, теорема умножения вероятное гей имеет вид p{AiA2...A„}p{Ai}p{Ai/Ai} X хр{Аз/А1Аг)...р(А„/А,Аг...А,-1 (1.143) Допустим, что ло некот орого испытания вероятности несовместных событий Л, {априорные еероятиоспш) имели значения р{А,). Если в результате испытания появляется событие В, то после опыта, когда появилась новая информация, необходимо переопределить вероятности событий Л,. Эти новые вероятности теперь будут уже условными вероятностями р (Л,/В) -так называемыми апостериорными вероятностями. Для их подсчета применяется формула Байеса Р(Л/В)=-Р-(»Ь (М44) tpiAdPiB/Ao t-i Случайные величины Случайная величина представляет собой более сложное понятие, чем случайное событие. Это - величина, которая в результате опыта принимает одно и только одно заранее неизвестное значение из множества возможных значений. Поэтому чтобы охарактеризовать случайную величину х, необходимо задать как множество ее возможных значений х, так и нх вероятности. Пусть возможные значения xj, xj,...,x„ случайной величины X дискретны, тогда нужно задать п вероятностей вида р, = р(х,), где р, - вероятность случайного события, заключающегося в появлении значения х, случайной величины X. Поскольку события Л" = X, для разных / несовместны и по определению случайной величины образуют полную группу, то I р( = 1. 1-1 (1.145) Если случайная величина X непрерывна, т. е. может принимать любые зггачеиия в некотором интервале, то для задания ее вероятностной характеристики применяется функция распределения F(x)jro вероятность случайного события X < х, заключающегося в том, что значение X оказалось меньше некоторого фиксированного значения х: F{x) = p{X <х). (1.146) попадания X в интервал о < X Ь: piaX Ь] = F(b) - Fiay (1.147) Функция F(x) есть монотонная неубывающая функция от X, причем f(-ао) = 0, F(co) = 1. Функция P(x) = rff(x)/rfx (1.148) называется плотностью вероятности или дифференциальным законом распра>еления случайной величины X. BejrHHUHa p(x)dx представляет собой вероятность для случайной величины X и находится в бесконечно малом интервале X < X X + dx. Вероятность величины X находится в ин гервале о < ЛГ < Ь и определяется выражением р1а=Х=Ь) = F{b) - F{a) = j p(x)dx. (1.149) Из (1.149) следует, что j p(x)dx=l. (1.150) Функция Ffx) (или интегральный закон распределения) позволяет найти вероятность Важными характеристиками случайной величины, хотя и не вполне исчерпываю щими, являются ее моменты. Моментом порядка к называется некоторое число, определяемое выражением о» = I xp{x)dx. (1.151) Момент первого порядка «1 называется математичесни ожиданием или средним значение и случайной величины X, обозначается т: «1 = ffix = j xp[x)dx (1.152) и характеризует среднее арифметическое Хер ар значение случайной величины X в том смысле, что При достаточно большом числе испытаний Хар мало Отличается от т. Центральным моментом к-то порядка называегся момент А-го порядка разности (х - mj: 11= I (X - mJpx)dx. (1.153) Особое значение имеет центральный момент второго порядка, который называется дисперсией и обозначается Z),. D= J (x~m)p{x)dx. (1.154) 0 1 2 3 4 5 6 [7] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||