Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 7 8 [9] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

Если на вдол стационарной линейной автоматической системы регулирования поступает стационарная случайная функция Х{1), то спустя некоторое время, достаточное для затухания переходных процессов, стучайная функция У (г) на выходе системы также будег стационарной. Спектральные плотности входного и выходного сигналов связаны соотношением

(1.191)

где Wij(u) - комплексная частотная характеристика системы.

При рассмотрении ряда вопросов теории автоматического ре1улирования часто непрерывный случайный процесс X (l) заменяют последовательностью связанных случайных величин x{ti),.. .,х{с„), являющихся ei о значениями в дискретные моменты времени i I,,.., Эт о можно сделать, если частотный спектр всех реализаций случайного процесса огранчен частотой (и„ а длительность - временем Т. Обычно частоз е (а соответствует начало «хвоста» частотного спектра с малой интенсивносгью. Нмесго функции X{t} можно без потери информации о ней рассматривать литпь ряд ее дискретных значений x.(ti), . ,x(t„), разделенных расстоянием во времени не более чем Д( = jc/wc- Общее число дискретных значений Х{1) получается равным Г/Д/.

Обозначив x(l,) = х„ можно ввести понятие случайного «-мерного вектора х с координатами (хь Х2,..,,х„), для которого будут справедливы все соотношения, приведенные выше.

Прнмер 1.13. Определим корреляционную функцию К{т) и спектральную плотность для сигнала, изменяющегося но закону x(t) = 4sin(t0(,f + ф),

Поскольку х(1) является эрголическим процессом, то по формуле (1 186)

KT) = lim

x(t)x(r + x)dz =

= -COSWoT,

I де To = 2т1Шо.

Спектральную плотность вычиатяем по

Рис. 1.11. Спектральные плотности единичных импульсных функций б (Ш - (Во) и б (Ю -Ь Ыо)

формуле (1.187);

5Л») =

-[5 (ш - йо) -f- б (ш -f- Юо)], i.

где б((и -юо) и б (ш + сИо) - единичные импульсные функции, спектральная плотность Которых предсЕавлена на рис. 1.11.

Пример 1.14. В разомкнутом состоянии автоматическая система имеет передаточную функцию

И(р) = [>{Тр + 1)].

На входе системы действует помеха в виде белО! о шума со спектральной eltot-Иосгью So = Л. Определим дисперсию выходного си1нала.

Передаточная функция замкнутой системы

УМ = у{рШ + = N{Tp + Р + к).

Спектральная плотность на выходе системы определяется формулой (1.191):

5,(й)) = 5оЖ,0ю)-

Г(/о))2+усо + Л

Дисперсию выходного сигна.па определяем гео формуле (1.185):

Ву = Ку{0).

Применив обратное преобразоватше Фурье к выражению (1.187), получим



1.7. ОСНОВЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Непрерывные функции

Исследование переходных процессов в автоматических системах управления обычно связано с решением различного рода дифференциальных уравнений, что значительно упрощается, если для этих целей использовать операционное исчисление.

Основные этапы решения дифференциальных уравнений движения систем автоматического управления обычно сводятся к следующему:

1) функция ф (г) вещественной переменной I преобразуется в функцию (р(р) комплексной переменной р;

2] находится решение для функции ф(р);

3) найденное решение для ф(р) преобразуется в ф(0-

В основе операционных методов лежат так называемые прямое и o6paiHoe преобразования Лапласа, основные идеи которых рассмотрены ниже.

Пусть имеется некоторая функция ф (г) независимой переменной t, удовлетворяющая следующим условиям;

1) функция ф(£) непрерывна вместе со своей производной во всех точках - со(сс, за исключением тех значений 1, в которых ф (t) и ее производна я имеют разрывы первого рода;

2) имеется ограниченное число точек разрыва первого рода на каждом конечном интервале изменения (;

3) для функции ф(г) М0Ж1Ю указать такие не зависящие от г постоянные а к Ь. что при любом t > о выполняется неравенство

интеграл

ф (г) I < а..

(1.192)

где число Ь называется показателем роста функции ф(Г),

Пусть задано комплексное число р = а + jto, тогда выражение

(1.194)

сходи гея.

Обычно в автоматических системах регулирования переходные процессы исследуют, начиная с времени t = 0. поэтому без ограничения общности можно считать, что все функции ф(1), которые используются в теории ав тематического регулирования, удовлетворяю! уаговию ф(1) = Опри I < 0. Для таких функций выражение

(1.195)

называется односторонним интегралом Лапласа, а функция ф(р) - односторО}1иим изображением Лапласа оригинала ф(1), В дальнейшем будем рассматривать одностороннее изображение Лапласа, обозначая его сокращенно термшюм «изображение».

Может случиться 1ак, что интеграл (1.195) не существует ни при каких значениях р, в зтом случае преобразование невозможно. Возможност ь существования преобразования (1.195) определяется следующей теоремой если функция ф(0 удовлетворяет приведенным выше условиям, то ее изображение ф(р) определено для всех комплексных значений р = о + j(u, вещественная часть которых а превосходит показатель роста h функции ф(Г).

Пример 1.15. Найдем изображения ряда функций:

1) ф(0 = 1(г); Ф(р) =

2) ф(Г) = е"; ф(р)= e"e--dt =

ф(р)= j ф(Ое •dt

(1.193)

3) ф(Г) = sirldJi; ф(р) = smoH "dt =

называется двусторонним интегралом Лапласа, а функция ф(р) - двусторонним изображением Лапласа оригинала (функции) (pit). Если о = О, то двустороннее преобразование Лапласа сводится к преобразованию Фурье, Двустороннее преобразование Лапласа возможно тогда, когда существует диапазон вещественных чисел т, в котором функция ф(г) a6cojwTHo интегрируема в интервале -со I О), т. е. если в этом интернале

е e-)e-"dt =

2/ \ Р - /tu р 4- j(u ) р + (0

В табл. 1.1 приведены изображения для некоторых функций.



Таблица 1.1 Преобразования Лапласа для некоторых функций

Оригинал

Изображение

Оригинал

Изображение

а = const

sin m cos at

- Ctt Sin M

r cos ax e " sin at cos at

Gt P

p + 1

(/J + a}-a

r + a

P + P

(p + P) + (X

обратный переход от изображения к оригиналу для функций, удовлетворяющих приведенным выше условиям, осушествляегся по формуле обращения

ф(0 =

ф(р)е"Я (П96)

Здесь интегрирование производится вдоль любой прямой, параллельной мнимой оси и расположенной на расстоянии oi нее Cq > ь, где h - похазатсчь роста функции ф(0.

Если функция ф(г) имеет разрыв первого рода и ее значения справа и uieaa от точки разрыва соответственно равны ф(( - 0) и ф (/ - ОХ то

Ф (р) еЧр = - [ф(Г -( 0) + ф(! - 0)].

(1.197)

1-е- t

sh он

ch (xr

- (e" - 1)

(Р + аГ"

P Vp + a 1 / 1

- sm 0И

p \p- 1

arctg - P

Рассмотрим основные свойства преобразования Лапласа. Для сокращсиин вместо формул (1.195) и (1.196) Г)удем использовать символическую запись

Ф(л) = Ь[ф(0]; (1-198)

ф{0 = 1Г[ф(р)1. (1 199)

1. Линейность преобразования. Если ф1(р) = Ь[ф1(0];

Ф„(Л) = [(р„(0].

Z а.<р,(р) = L 1-1

и* 1

(JJOO)

где 1 - (юстоянные величины, яс зависящие от t. Лнало! ичио если

Ф.(о = 1-Чф1(р)]; Ф„(о = ь-1[ф„(р)],



http://west-stroi.ru/ производители металлочерепицы и профнастила.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 [9] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121
Яндекс.Метрика