|
| |
|
Слаботочка Книги Если на вдол стационарной линейной автоматической системы регулирования поступает стационарная случайная функция Х{1), то спустя некоторое время, достаточное для затухания переходных процессов, стучайная функция У (г) на выходе системы также будег стационарной. Спектральные плотности входного и выходного сигналов связаны соотношением (1.191) где Wij(u) - комплексная частотная характеристика системы. При рассмотрении ряда вопросов теории автоматического ре1улирования часто непрерывный случайный процесс X (l) заменяют последовательностью связанных случайных величин x{ti),.. .,х{с„), являющихся ei о значениями в дискретные моменты времени i I,,.., Эт о можно сделать, если частотный спектр всех реализаций случайного процесса огранчен частотой (и„ а длительность - временем Т. Обычно частоз е (а соответствует начало «хвоста» частотного спектра с малой интенсивносгью. Нмесго функции X{t} можно без потери информации о ней рассматривать литпь ряд ее дискретных значений x.(ti), . ,x(t„), разделенных расстоянием во времени не более чем Д( = jc/wc- Общее число дискретных значений Х{1) получается равным Г/Д/. Обозначив x(l,) = х„ можно ввести понятие случайного «-мерного вектора х с координатами (хь Х2,..,,х„), для которого будут справедливы все соотношения, приведенные выше. Прнмер 1.13. Определим корреляционную функцию К{т) и спектральную плотность для сигнала, изменяющегося но закону x(t) = 4sin(t0(,f + ф), Поскольку х(1) является эрголическим процессом, то по формуле (1 186) KT) = lim x(t)x(r + x)dz = = -COSWoT, I де To = 2т1Шо. Спектральную плотность вычиатяем по Рис. 1.11. Спектральные плотности единичных импульсных функций б (Ш - (Во) и б (Ю -Ь Ыо) формуле (1.187); 5Л») = -[5 (ш - йо) -f- б (ш -f- Юо)], i. где б((и -юо) и б (ш + сИо) - единичные импульсные функции, спектральная плотность Которых предсЕавлена на рис. 1.11. Пример 1.14. В разомкнутом состоянии автоматическая система имеет передаточную функцию И(р) = [>{Тр + 1)]. На входе системы действует помеха в виде белО! о шума со спектральной eltot-Иосгью So = Л. Определим дисперсию выходного си1нала. Передаточная функция замкнутой системы УМ = у{рШ + = N{Tp + Р + к). Спектральная плотность на выходе системы определяется формулой (1.191): 5,(й)) = 5оЖ,0ю)- Г(/о))2+усо + Л Дисперсию выходного сигна.па определяем гео формуле (1.185): Ву = Ку{0). Применив обратное преобразоватше Фурье к выражению (1.187), получим 1.7. ОСНОВЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Непрерывные функции Исследование переходных процессов в автоматических системах управления обычно связано с решением различного рода дифференциальных уравнений, что значительно упрощается, если для этих целей использовать операционное исчисление. Основные этапы решения дифференциальных уравнений движения систем автоматического управления обычно сводятся к следующему: 1) функция ф (г) вещественной переменной I преобразуется в функцию (р(р) комплексной переменной р; 2] находится решение для функции ф(р); 3) найденное решение для ф(р) преобразуется в ф(0- В основе операционных методов лежат так называемые прямое и o6paiHoe преобразования Лапласа, основные идеи которых рассмотрены ниже. Пусть имеется некоторая функция ф (г) независимой переменной t, удовлетворяющая следующим условиям; 1) функция ф(£) непрерывна вместе со своей производной во всех точках - со(сс, за исключением тех значений 1, в которых ф (t) и ее производна я имеют разрывы первого рода; 2) имеется ограниченное число точек разрыва первого рода на каждом конечном интервале изменения (; 3) для функции ф(г) М0Ж1Ю указать такие не зависящие от г постоянные а к Ь. что при любом t > о выполняется неравенство интеграл ф (г) I < а.. (1.192) где число Ь называется показателем роста функции ф(Г), Пусть задано комплексное число р = а + jto, тогда выражение (1.194) сходи гея. Обычно в автоматических системах регулирования переходные процессы исследуют, начиная с времени t = 0. поэтому без ограничения общности можно считать, что все функции ф(1), которые используются в теории ав тематического регулирования, удовлетворяю! уаговию ф(1) = Опри I < 0. Для таких функций выражение (1.195) называется односторонним интегралом Лапласа, а функция ф(р) - односторО}1иим изображением Лапласа оригинала ф(1), В дальнейшем будем рассматривать одностороннее изображение Лапласа, обозначая его сокращенно термшюм «изображение». Может случиться 1ак, что интеграл (1.195) не существует ни при каких значениях р, в зтом случае преобразование невозможно. Возможност ь существования преобразования (1.195) определяется следующей теоремой если функция ф(0 удовлетворяет приведенным выше условиям, то ее изображение ф(р) определено для всех комплексных значений р = о + j(u, вещественная часть которых а превосходит показатель роста h функции ф(Г). Пример 1.15. Найдем изображения ряда функций: 1) ф(0 = 1(г); Ф(р) = 2) ф(Г) = е"; ф(р)= e"e--dt = ф(р)= j ф(Ое •dt (1.193) 3) ф(Г) = sirldJi; ф(р) = smoH "dt = называется двусторонним интегралом Лапласа, а функция ф(р) - двусторонним изображением Лапласа оригинала (функции) (pit). Если о = О, то двустороннее преобразование Лапласа сводится к преобразованию Фурье, Двустороннее преобразование Лапласа возможно тогда, когда существует диапазон вещественных чисел т, в котором функция ф(г) a6cojwTHo интегрируема в интервале -со I О), т. е. если в этом интернале е e-)e-"dt = 2/ \ Р - /tu р 4- j(u ) р + (0 В табл. 1.1 приведены изображения для некоторых функций. Таблица 1.1 Преобразования Лапласа для некоторых функций Оригинал Изображение Оригинал Изображение а = const sin m cos at - Ctt Sin M r cos ax e " sin at cos at Gt P p + 1 (/J + a}-a r + a P + P (p + P) + (X обратный переход от изображения к оригиналу для функций, удовлетворяющих приведенным выше условиям, осушествляегся по формуле обращения ф(0 = ф(р)е"Я (П96) Здесь интегрирование производится вдоль любой прямой, параллельной мнимой оси и расположенной на расстоянии oi нее Cq > ь, где h - похазатсчь роста функции ф(0. Если функция ф(г) имеет разрыв первого рода и ее значения справа и uieaa от точки разрыва соответственно равны ф(( - 0) и ф (/ - ОХ то Ф (р) еЧр = - [ф(Г -( 0) + ф(! - 0)]. (1.197) 1-е- t sh он ch (xr - (e" - 1) (Р + аГ" P Vp + a 1 / 1 - sm 0И p \p- 1 arctg - P Рассмотрим основные свойства преобразования Лапласа. Для сокращсиин вместо формул (1.195) и (1.196) Г)удем использовать символическую запись Ф(л) = Ь[ф(0]; (1-198) ф{0 = 1Г[ф(р)1. (1 199) 1. Линейность преобразования. Если ф1(р) = Ь[ф1(0]; Ф„(Л) = [(р„(0]. Z а.<р,(р) = L 1-1 и* 1 (JJOO) где 1 - (юстоянные величины, яс зависящие от t. Лнало! ичио если Ф.(о = 1-Чф1(р)]; Ф„(о = ь-1[ф„(р)], 0 1 2 3 4 5 6 7 8 [9] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 |