Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 [49] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

с МКР [5.12] область D .произвольной формы разбиваем на шрямоугольные элементарные участии (элементы) игаи, иначе говоря, строим шрямюугольную .сетку с шагом h (рис. 5.2). Вместо задачи (5.10), (5.11), ие имеющей аналитического решения 1пр.и .произвольной границе, будем искать значения Е в отдельных точках области D - узлах сетки, т. е. будем искать приближенное решение (точное анал.итичеаиое решение задачи давало бы значе-

•---г%

Рис. 5.2. Дискретизация области D плавкого элемента с произвольной границей Г на элементарные участки:

D-область, охватывающая все внутренние узловые точки; Г-старая (непрерывная) граница, заданная исходной кривой E=f(r); -новая (дискретная) граница после интерполяции; i, j - координаты узловой точки (узла)

ния функции в любой точке области D). Прежде чем приступать к расчету, необходимо получить новые граничные условия в отдельных узлах на границе или .вбл1изи нее путем интерполяции граничных условий на исходной кривой (новая граница показана на рисунке ивадратикамй). Границу сеточной области следует выбирать так, чтобы она лучше всего приближала границу F к области D; при этом граничные узлы могут лежать как вне, так и внутри D. Поскольку заданные на кривой Г значения функции Е переносятся в узлы сеточной области с помощью интерполирования, значение Е в таких граничных узлах считается известным. Неизвестными считаются значения Е во внутренних узлах сетки, для определения которых (5.10) и (5.11) необходимо преобразовать к конечно-разиостному виду. С этой целью воспользуемся известным разложением в ряд Тейлора искомой функции Е в виде

E{x + h. у) = Е(х. г/)+1/г + -(А

Eix-h. y) = Eix, y)-.h-\--J. (5.12)

Исходя «3 этого можно получить следующие аппроксимации частных производных:

дЕ(х, у) E{x + h, у)-Е(х, у) дх h

(5.13)

<дЕ{х,1 .E{x + h, у)-2Е(х. y) + E(x~h, у)\, (5.14)

дЕ(х, у) Е{х. у, к) - Е{х, у) ду к

(5.15)

С учетом приведенных преобразований уравнение Лапласа (5.10) в результате замены частных цроизвод-яых их конечно-разностными аппроксимациями принимает следующий Вид для ироизволъного узла с координатами i, j в области D (для случая, иогда ряд Тейлора записан до третьего члена):

Etj = (£, + ,. ; i + Ei. + £ (5.17)

Решение hij ап1Гфокс1ИМИруется средним значением решения но четырем соседним узлам и 1опра1ведливо для воех внутренних узлов сетки; искать ело будем методом итерации. Задаемся произвольной начальной системой значений Е во /внутренних узлах сетни (например, удобно использовать средние значения граничных условий) и находим среднеарифметичеоюие значений этой оистемы. При этом для некоторых узлов потребуется применение известных значений Е в граничных узлах. Полученные среднеарифметические дадут первое приближение. Затем находим среднеарифметические значений первой системы, BHOiBb используя для некоторых узлов известные траничные условия, и получим BTopioe приближение и т. д. Процедура счета может быть организована произвольно (например, по строкам или столбцам), а процесс его продолжается до тех пор, пока переход от (п-1)-й системы к «-Й не даст изменений в пределах требуемой точности. Таким образом, после определенного количества операций процесс сойдется к приближенному решению задачи, иначе говоря, приближенное решение краевой стационарной задачи (5.10) сводится к решению системы алгебраических уравнений для значений функции ibo внутренних

узлах. Значения решения оиределяются одновременню вО всех этих узлах, .а число урлвнений совпадает с числом внутренних узлов сетки.

В связи с заменой точного решения конечно-разностной аппроксимацией важно оценить сходимость и точность решения [5.12]. Решение разностной задачи в точке 1 сводится к решению (Исходного дифферевциального уравнения в частных производных при и Л->-0, если

maxllf -£(,)0 (5.18)

при 0 7; E=ih; tjjAt; At=tf/No, t=0, 1, 2,...,Ni /=0, 1, No; - аппроксимирующая функция; E - искомая функция.

Схема решения сходится со скоростью Q(h-\-At") г)/гг>0, /г5>0, или имеет точность 0(Л"Ч-А/") порядка т по h и порядка п по А, если при достаточно малых h-ho. и tto получаем

max -£(1)<Л (/г»Н-Д") (5.19)

при QtjT; Л = соп81>0 и не зависит от h и At.

Расчет токораспределения методом конечных элементов (МКЭ). В ряде случаев более удобным является использование МКЭ, .который обеспечивает получение кусочно-непрерывного решения для всей .исследуемой области, в то время как МКР дает решение только для отдельных точек (узлов). МКЭ основан на использовании вариационного принципа Дирихле [5.11], ,в соответствии с которым из множества функций, непрерывных в D-D+F, имеющих непрерывную первую производную в D и удовлетворяющих (5.11),функция, минимизирующая интеграл Дирихле

является гармоничной в Z) и, значит, является решением задачи (5.10), (5.11).

Иначе говоря, вместо решения (5.10), (5.11) ищем множество кусочно-непрерывных функций £, минимизирующих (5.20) с заданной точностью. С этой целью исследуемую область целесообразно разбивать на треугольные элементы. Рассмотрим лроиззо.лъный треугольный элемент, имеющий узлы i, j, k в своих 1верш,инах. Координаты каждого из этих трех узлов известны, это (л:,-, yi), {Xj, у,), {Xh, Ук) в прямоугольной системе координат. Значения функции Е в каждом узле также известны и равны Ei, Ej,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 [49] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92