|
| |
|
Слаботочка Книги 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [51] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 Темпер.атура каждого элемента характеризуется узловой точкой, KOTopiaH является типичной теМ[Пературной точной в элементе. При выборе формы элемента и узловой точки необходимо, чтобы отрезок линии, соединяющий узловые точни смежных элементов, был перпендикулярен разделяющей их границе. В качестве узловых точек на рис. 5.3 выбраны точки пересечения биссектрис, перпендикулярных каждой границе элемента. Форма элементов.
Рис. 5.4. Треугольный элемент температурного поля: Го-температура в узловой точке О элемента; ri-rs-температура в узловых точках /-3, смежных с данным элементом; а\, ch - расстояния между узловой точкой О данного элемента и узловыми точками смежных элементов находящихся вблизи граничной поверхности, должна соответствовать ее форме. При этом узловые точки располагают иа границе, что (позволяет описать любое двумерное поле. В некоторых случаях сначала выбирают позиции узловых точек, а затем по ним производят разбиение на элементы. В качестве примера кыведем уравнение в конечных разностях для треугольного элемента (рис. 5.4,а). Вывод для элементов другой формы аналогичен. Пусть Qu Q2, Qz - тепловые истоки, втекающие в элемент от соседних элементов со сторон АВ, ВС и СА. Тогда ва основании законов сохранения энергии ,и Фурье ур.ав!нение теплового баланса можно записать в виде (QiSi-I-Q2S2+Q353) At=Avca{To - То), (5.27) где Si - S3 - площадь по боковым стороиам элемента соответственно АВ, ВС и АС; То - темпер.атур.а т узловой точке О элемента в произвольный момент времени t; То - температура в узловой точке О в момент времени t-\-At; с - удельная теплоемкость материала элемента; а - 156 плотность материала; Av - удельный объем треуголъного элемента на единицу толщины, Д0 = 1/ Д/ (Д/ - S,) (Д/ - 5,) (Д/ - 5з); Д/ = -1-(5, + 5, + 5з). Для рассматриваемого элемента ло закону Фурье можно записать Qi=HT,-ro)/ai; Q2=k(T2 - To)/a2; Qs=K{n-To)/as, (5.28) где X - коэффициент тенлопроводности материала. Выражения (5.28) справедливы для элемента, находящегося внутри темшературного поля. Если же одна из поверхностей, например АС, является граничной (рис. 5.4, б) и теплоизолированной, то в этом случае (2з=0. Если эта граничная поверхвостъ характеризуется линейной теплоотдачей с постоянным коэффициентом k, то Q3=k{Too - - То), где Too - температура окружающей среды. Подставив это выражение Qa, а также приведенные выше выражения Qi и Q2 в (5.27), получим уравнение в ко-«ечных разностях для данного элемента т, = г„ + (Г, - Т,) -f (Г, - г.)+ где р - коэффициент температуропроводности. Такие уравнения составляют для всех узловых точек, задают температуру для некоторого начального момента времени t и рассчитывают температуру для времени t-\-4-At,, что позволяет рассчитать нестационарный процесс распределения температуры. Уравнения типа (5.29) называются эксплицитными, так как в них искомая переменная присутствует в явном йиде. Также широко ПрНМеня-ются имплицитные уравнения, в которых искомая переменная неявно вьфажена, например в описанной выше схеме KpaiHKa - Николсона. Применение МКЭ для расчета темшературного поли предохранителя в принципе аналогично описанному выше. Здесь также используется одна из самых распрООТ-раненных математических реализаций МКЭ, основанная на вариационном подходе [5.4]. Суть его заключается в том, что вместо решения исходного дифференциального уравнения (5.1) решается другое специалъню построенное математическое соотношение, которое эививалентно исходному по своему решению. В соответствии с МКЭ предлагается рассмотреть связанный с (5.1) функционал J 2 I \ дх J \ ду ) \ дг ) \ dS, (5.30) где /(Г) - функция, зависящая от конкретных гр.анич-яых условий. В теории вариационного исчисления доказывается, что условия, при которых функционал (5.30) принимает минималыное значение, полностью удовлетворяют ypiaBHe-нию (5.1). То есть любое распределение температуры Т, при котором функционал J{T) становится минимальным, также удовлетворяет уравнению (5.1) и, значит, является •решением исходной задачи. Таким образом, исходная задача сводится к задаче минимизации функционала (5.30). Этот функционал принимает м1инималЪНое значение, если его вариация б/ обр1аЩается в нуль. Значения функционала и его вариации определяются путем подстановки в (5.30) значений температуры Tij юа)ждого элемента, полученных аппроксимацией с помощью полиномов. Связь МКЭ с процедурой минимизадии некоторого функционала /позволяет использовать этот метод как для инженерных расчетов, так и для численного решения дифференциальных уравнений. Процесс минимизации сводится 1к решению систем линейных алгебр аичесних ypiam-нений относительно узловых точек Tij{x, у). Процедура построения соответствующего функционала для дифференциального уравнения, которое требуется реши1ть, может быть реализована в ооответствии с правилами вариационного исчисления. Для наиболее часто встречающихся видов задач имеются таблицы функционалов [5.11]. Уравнения для определения температуры отдельных элементов могут быть получены не только описанным выше путем .м/иннмизации некоторого функционала на ос-HOBie вариационного принципа, но и друпими методами, •например методом Галеркина, исходным пунктом для которого служит само инффербнциальвое уравнение, опи- ;158 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [51] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 |
||||||||||