Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [60] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

лом анал-итическое представление, как правило, предпочтительнее эмпирической зависимости. Однако если объемы экспериментального материала, необходимого для построения приемлемого аналитического выражения и получения простой эмпирической формулы, жестко не связанной с исходным уравнением, соизмеримы, то в ряде случаев цели идентификации быстрее и экономичнее достигаются с помощью эксперимента. Это совершенно не означает отказ от совершенствования аналитических зависимостей на основе дальнейшего развития теории и экспериментальных исследований.

Весьма общим непараметрическим представлением неизвестного объекта является его описание в виде какого-либо ряда. При создании моделей электрических аппаратов в большинстве случаев оказьшается достаточным обращение к рядам Тейлора и Фурье, например в виде

¥(х„ Хг,..., Xfe)=Po+2 Рг/Х{*/ + Х ¥>иЧ+-. (5.53). 1=1 1=1

где t, J= 1, 2,... , k, 1ф j;

dxi dXidXj 2 dxi

или использование части ряда в качестве модели.

Поскольку в задачах идентификации необходимо прогнозировать реакцию объекта на некоторое множество возможных входных сигналов, весьма эффективен метод так называемых численных экспериментов с помощью ЭВМ, обладающий следующими преимуществами:

а) возможность точной воспроизводимости эксперимента, что позволяет проверять неожиданные результаты и установить их причину;

б) гибкость, полная безопасность и неограниченные масштабы численных экспериментов, обеспечивающие экономичность их реализации;

в) возможность использования масштабов времени, на несколько порядков меньших реального времени процессов в исследуемом объекте, что позволяет значительно ускорить анализ.

При построении модели на основе аппаратурного эксперимента важное значение имеют методы статистической оценки (методы наименьших квадратов, максимального правдоподобия) и многомерного статистического (дисперсионного, регрессивного) анализа. В ряде случаев при отсутствии строгой математической модели целесообразно обращение к абстрактным идеализированным моделям, когда несущественные особенности ситуации отбрасываются и исходная сложная задача сводится к идеализированной, поддающейся математическому анализу. Такой подход привел к появлению в преобразовательной технике идеальных вентилей, идеальной вольт-секундной характери-

стики дуги и т. д. Часто такой подход позволяет выполнить более глубокий анализ в сжатые сроки и с меньшими затратами по сравнению с применением эмпирических моделей.

Задачи оптимизации. В общем случае задача оптимизации состоит в отыскании таких значений регулируемых

параметров Xi, Х2.....Хп, при которых целевая функция

у=у{хи Х2, ... , Хп) как количественный критерий оптимизации принимает максимальное или минимальное значение при некоторых функциональных ограничениях вида Zi=Zi{xi, Х2, ... , x«)=0 и параметрических ограничениях вида ai=ai (i, xz, Жп):<илиили<Сили»ао.

На практике чаще встречаются задачи, в которых целевая функция аналитически не задана. Для их решения нельзя использовать классический аппарат вариационного исчисления и необходимо обращение к специальным методам.

Если целевая функция линейно зависит от Xi, Х2,- • > Хп а налагаемые ограничения имеют вид линейных равенств, или неравенств, то задача оптимизации называется задачей линейного программирования. Она формулируется следующим образом: найти значение переменных xi, Х2, ... ,Хп которые удовлетворяют условиям

(5.54>

и обращают в максимум (минимум) целевую функцию-этих переменных

y=CiXi-\-C2X2+ ... -bCnXn-vmax. (5.55)

При малом числе переменных «слепой перебор» возможных комбинаций переменных может довольно быстро привести к оптимуму. Однако при часто встречающихся на практике сложных задачах с большим числом переменных оптимальное решение находится с помощью целенаправленного перебора, например на основе использования симплексного метода. Если целевая функция является произвольной нелинейной функцией при наличии системы ограничений произвольного типа, то поиск ее экстремума представляет собой так называемую задачу нелинейного программирования.

Эта задача не имеет общего решения, и в каждом конкретном случае способ решения зависит от вида функции

(5.57)

и ограничений. То же самое можно сказать и о задаче динамического программирования, в которой поиск оптимального решения сложного процесса разбивается на ряд шагов, в пределах каждого из которых оптимизация осуществляется также и с учетом достижения общей цели.

При разработке аппаратов защиты весьма полезными следует считать принцип максимума Понтрягина, а также простые процедуры: метод «золотого сечения» и метод Фибоначчи.

Считается, что точка Xk{Xk) осуществляет «золотое» сечение отрезка [at, bh], если справедливы соотношения

-0,382; --.0,618, k-oo. (5.56)

Иначе говоря, выбор точек Xk, Xk внутри исследуемого интервала осуществляется в соответствии со следующими выражениями:

л, = 0,382 (6,-А,) + а,; .г, =0,618 (6,-а,)4-а,

V -fe h - k Q g28-

-«fe bk-ak

Достоинство этого метода заключается в том, что он не требует предварительного определения числа точек, в которых производится оценивание.

Теоретический анализ показывает, что фибоначчиев план выбора шага итерации при одномерном поиске является единственным оптимальным из всех возможных л-шаговых планов. Согласно этому плану параметры нового опыта жестко не регламентируются, а определяются по результатам предыдущего опыта. Формулировка задачи в математических терминах приводит к определению с наименьшей погрешностью Е точки х", минимизирующей искомую функцию f(x) на отрезке [ft, bk] за N щагов (опытов). В соответствии с этим методом внутри отрезка [аЬк] выбираются точки и хи, определяемые равенствами

Xk = {bk - flfe) + «fc. (5.59)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [60] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92