Слаботочка Книги

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 [61] 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

СЛ-1

где Fk=.Fk-i+Fk-2; Fo=i=l - числа Фибоначчи (каждый член ряда чисел Фибоначчи равен сумме двух предыдущих).

На первом шаге рассматривается отрезок [а*, bk] - вся исходная область определения функции. На последующих шагах происходит постепенное сужение отрезка в результате изменения одной из границ предшествующего опыта (правой или левой). Если значение функции в точке Xk меньше, чем в точке хк, l{x)<f{xk), то следующий интервал неопределенности выбирается равным [ak+ibt+il-[akXk]; если же f{xi,)>f(xk), то обследуется интервал [a+i, bk+i]==[Xk, М- Если окажется, что f(xt)=f(xk), то в качестве следующего интервала можно взять либо [аХк], либо [х\Ьк], поскольку оба интервала обладают одинаковой длиной [Ьа-дг*] - [х-яд]. Последние точки определяются следующим образом:

\ (5.60)

*Л-1 (Л?-! - "Л-l) +"л-1-

Если задаваться минимально допустимой погрешностью е, то это однозначно определит минимальное количество опытов N, и наоборот, если задано количество опытов, то можно указать предельную погрешность определения точки экстремума. Для иллюстрации укажем первые десять членов одного из рядов чисел Фибоначчи I, I, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.

Например, если задана предельная погрешность е=57о, то для достижения цели потребуется минимум шесть -опытов, ибо f6+i<20< <Fe+2, т. е. 13<20<21.

Если же имеется возможность проведения десяти опытов, то погрешность не превысит 0,69%.

Многокритериальные задачи. Математическая постановка задачи оптимизации предполагает наличие лишь одного критерия эффективности (целевой функции). Однако случаи, когда четко ясен критерий эффективности и требуется найти экстремум лишь одного показателя, встречаются не так уж часто. Во многих реальных случаях эффективность не может быть охарактеризована с помощью одного показателя, необходимо решение многокритериальной задачи. В общем случае задача многокритериальной оптимизации не является до конца формализованной и окончательный выбор зависит от исследователя. Возможны различные варианты. Можно выделить один главный критерий, а остальные перевести в разряд ограничений. Некоторая субъективность в этом случае обусловливается выбором пределов ограничений. Можно построить смешанный критерий, пред-

ставляющий собой некоторую функцию показателей, в которую каждый частный показатель входит с каким-то своим весом

У=а\У\+а2У2+ +о.пУп. (5.61)

Здесь субъективный фактор оказывается особенно сильным, поскольку выбор и самих показателей, и весовых коэффициентов производится в соответствии с качественным представлением постановщика задачи об относительной важности различных критериев, хотя они и позволяют установить систему приоритетов по степени значимости получения той или иной характеристики. Представляется рациональным обращение к обобщенному критерию оптимальности, построенному в виде суммы частных критериев, для которых известно «идеальное» или предельное значение, к которому желательно или необходимо стремиться. Если уо1 - наилучшее идеальное значение i-критерия (например, значение джоулева дугового интеграла при прямоугольной форме напряжения на дуге, равного максимально допустимому значению), то разность

Уи-Уы

можно рассматривать как некоторую меру близости к идеалу или пределу.

С целью исключения влияния знака разности и размерности целесообразен переход к следующей форме обобщенного критерия:

У-fi У (5.62)

Выбор в качестве yij одинаково важных с точки зрения надежности предохранителя показателей позволяет значительно снизить роль субъективного фактора, установив весовые коэффициенты а« = 1. Например, при разработке предохранителей ПП59 использованы следующие показатели: У.01-джоулев дуговой интеграл (идеальное значение); Уо2 - предельное значение температуры на выводах; Уоз - наибольший пропускаемый ток; уо4 - предельная циклическая стойкость. В большинстве случаев для разработчика все указанные характеристики, регламентированные требованиями технического задания, равноценны, но нельзя исключить необходимость приоритетов для тех или иных Показателей, что может быть сделано с помощью соответ-

ствующего выбора весовых коэффициентов. Очевидно, что при достижении идеальных и предельных значений частных критериев обобщенная функция у становится равной нулю. Очевидно также, что решение этого нелинейного уравнения может быть найдено на основе эксперимента. А эту задачу целесообразно свести к задаче минимизации некоторой функции нескольких переменных, в качестве которых выступают параметры предохранителя и аварийного контура тока. Такая задача была решена градиентным методом (методом наискорейшего спуска). Параметрами конструкции были сечения перешейков, их форма, плотность материала наполнителя, вид термокомпенсации плавкого элемента. Оптимизация параметров конструкции предохранителя при заданных ограничениях на его основные характеристики- джоулевы интегралы, циклическую стойкость, энергию дуги, наибольший пропускаемый ток, температуру выводов и др. - и внешние условия (параметры тока контура) представляет собой главную и самую общую задачу оптимизации предохранителя. Кроме того, при разработке быстродействующих предохранителей возникают частные задачи оптимизации. Например необходимо найти:

1) параметры конструкции предохранителя, обеспечивающие минимальное значение дугового интеграла в контуре тока наибольшей энергии дуги;

2) параметры тока контура, при которых среднеинтег-ральное напряжение на дуге достигает экстремального значения;

3) форму напряжения на дуге, при которой энергия дуги минимальна;

4) оптимальные значения гранулометрического состава наполнителя, параметров засыпочного стенда и вибраций при ограничениях на материало- и энергоемкость при обеспечении требуемых характеристик.

В общем для решения оптимизационных задач, связанных с разработкой предохранителей, могут быть применены методы теоретической и экспериментальной оптимизации. Представляется рациональным использование комбинации этих методов, каждый из которых можно было бы применить для начальной и конечной фаз решения задачи.

Оптимальность по Парето. Одним из первых на многокритериальную или векторную оптимизацию как на задачу, в наибольшей степени соответствующую реальным условиям в технических приложениях, обратил внимание в начале 60-х годов американский ученый L. А. Zadeh. Первые попытки ее практической реализации основывались на фор-

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 [61] 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92